“深”入尚需“淺”出
——吳正憲老師《比的意義》一課賞析

潘紅娟（特級教師）

（作者單位：浙江杭州市江干區(qū)教育發(fā)展研究院）

一次教學，能用“深入淺出”來形容，至少可以說明兩點，其一，反映教者對教學內容的內涵、體系、價值的深度把握；其二，反映教者對學習者認知基礎、認知形態(tài)的透析了解。無疑，吳正憲老師正是這樣一位“數(shù)學”研究與“兒童”研究的高手。借《比的意義》一課，我們一起來回顧欣賞，分析吳老師課中的“深”與“淺”。

【教學片斷】

片斷一：什么是比？

師：大家在哪兒聽說過比？

生：金龍魚廣告 1∶1∶1。

生：足球賽進球 1∶2。

生：比如牛奶中的奶粉和水的比例。

……

（出示：沏牛奶，奶粉是牛奶的三分之一）

師：水要放上幾份？為什么？

生：奶粉是牛奶的三分之一，表示把牛奶平均分成 3 份，2 份放水，1份放奶粉。（板演：2∶1）

師：大家能讀懂2∶1的意思嗎？

生：“2”就是放 2 份水，“1”就是放 1 份奶粉。

師：如果奶粉放10g，水就應該放幾克？

生：20g。

師：如果奶粉放20g，水應該放幾克？

生：40g。

師：如果奶粉放40g呢？能繼續(xù)配嗎？

生：不管怎么樣，水的質量都是奶粉的2倍。

師：和過去的知識息息相關，水擴大2倍、4倍，奶粉也擴大2倍、4倍。你變，我也變。但不管怎么變化——

生：水都比奶粉多，水是奶粉的2倍，奶粉永遠是水的一半。

在師生討論中形成板書：

片斷二：還有哪些情境也可用比來表示？

出示：下面情境中的數(shù)量能用比來表示嗎？

●材料1：小亮身高155cm，我身高1m。

展開討論：

三位學生分別板演：

生：155∶1。

生：55∶100。

生：100∶1。

生：兩個個體，不能比較。

生：能比較，只是單位要統(tǒng)一，應該是1.55∶1。

師：同學們很厲害，有錯誤不要緊，錯著錯著就對了。

●材料2：某縣城一所學校有學生3000人，教師100人。

展開討論：

指名學生板演：

生：3000∶100。

生：30∶1。

生：學生人數(shù)與教師人數(shù)的比是3000∶100。

生：如果表示倍數(shù)關系的話，也可以是30∶1。

師：30∶1 是什么意思？

生：30∶1就是“學生人數(shù)是老師人數(shù)的30倍”。

●材料3：從北京到上海全程為1500千米，需行駛5小時。從杭州到北京全程為1500千米，需行駛15小時。

教師布置任務：寫一寫比。

生：300∶100，表示兩次行程的平均速度的比。

師：如果是 1500∶5，1500∶15，說說是什么意思？

生：這兩個比表示“路程∶時間”。

師：也就是表示什么意思？

生：如果把5小時換成1小時，1500就變成了300，比是 300∶1，也就是 1小時行駛 300千米；把15小時換成1小時，1500就變成100，比是100∶1，也就是1小時行駛100千米。

師：講得真好！1500∶5，也就是速度是300；1500∶15，得出速度是100。那么請大家推想一下，1小時行300千米，一定是用什么交通工具？

生：高鐵。

師：1小時行100千米呢？

生：火車。

師：路程∶時間會產(chǎn)生一個新的量——速度，這樣可以進行比較和判斷。

討論：怎樣用比來表示？

生：如果混凝土用10份來表示，那么水泥、沙子、石子的比就是 2∶3∶5。

生：一共是10份，也就是說水泥、沙子、石子的比是 2∶3∶5，各占 2 份、3 份、5 份。

……

【賞評與啟示】

一、“深”入——基于“數(shù)學”的深度認知

所謂“深入”，主要從目標維度分析。從目標定位看，顯然，吳老師并不滿足于將“比”看作“除法”的“附庸”，而是試圖探尋“比”更為寬廣的教育價值與教學伸展的可能。我們至少可以解讀出以下幾個方面的目標預設與實踐。

1.凸顯概念內涵。

“比較兩個同類量的關系時，如果以b為單位來度量a，稱為a∶b”，這是關于比的概念的本質描述。如何讓學生體會這一本質？吳老師以“水與奶粉的比是2∶1”為例，引導學生理解：“奶粉是1份，水有這樣的2份”“水占了三分之二、奶粉占了三分之一”“也就是水的質量是奶粉的2倍”……從原概念“份”“倍”“分數(shù)”出發(fā)，遷移歸納，揭示“比”的本質意義。更為重要的是，教師在后面的教學展開中，通過“正例”“變式”“反例”的辨析，對“比是一種關系”“比必須要統(tǒng)一標準”“可以是同類量的比，也可以是不同類量的比”“比是有順序的”“可以是兩個量的比，也可是多個量的比”等等，有了深刻的認識。

2.實現(xiàn)知識貫通。

利用學習者認知結構中原有的概念，找出兩者的聯(lián)系，通過比較新舊概念的差異，進而使學習者獲得概念的過程，我們稱之為“概念同化”。分析吳老師《比的意義》教學軌跡，無疑，正是讓學生充分經(jīng)歷了概念同化的過程。而概念同化的過程中，自然地將新知納入已有認知結構，實現(xiàn)了概念之間的關系溝通。課堂現(xiàn)場看，從“水和奶粉的比是2∶1”理解，到學生自主舉例“當 1g 糖，10g 水時，糖和水的比是1∶10，糖是10份、水是1份，也就是水占了十一分之一，糖占了十一分之十”，顯然，比與“份”“分數(shù)”等知識的貫通理解已十分清晰。

3.滲透函數(shù)思想。

如果“比”與“倍”“份”“分數(shù)”“除法”是一回事，那么，引入“比”這一概念的價值與意義是什么？引用吳老師的闡述：“比是為比例學習做準備的，可以擴展為變量之間的函數(shù)關系?！被谶@樣的認識，吳老師引導學生思考：奶粉10克，水幾克？——水擴大2倍呢？——水擴大4倍呢？通過“你變我也變”“一個量擴大幾倍，另一個量也擴大幾倍”等表達，讓學生體會“變量中的函數(shù)關系”。顯然，函數(shù)思想的滲透還原了“比”的本質。

4.導向問題解決。

“概念學習”的價值最終會走向“概念應用”。吳老師的課中，借助“師生人數(shù)比”“北京到上海、杭州到北京的路程時間比”等素材，思考“知道路程∶時間=300∶1，路程∶時間=100∶1，可以推想出分別坐了什么交通工具？”不斷讓學生體會“比是一把尺子”“比可以進行比較”“比可以幫助判斷”。在豐富情境中，基于概念理解，止于問題解決，目標視角逐漸走高。

二、“淺”出——基于“兒童”的經(jīng)驗對接

所謂“淺出”，主要是從學生維度所作的思考。吳老師一直是“兒童中心”的積極倡導者和實踐者，在她的課堂上，“順兒童思考而教”“善用童言童智”“將學生置于學的主體”等理念有了最為真實的展現(xiàn)。

1.前在經(jīng)驗、潛在認知的真實呈現(xiàn)與激活。

分析吳老師的教學路徑，經(jīng)歷了“原概念呈現(xiàn)——新舊概念聯(lián)結——概念本質辨析”的過程。激活學生的生活經(jīng)驗，把握學生的前概念理解，是吳老師基于兒童教學的真實寫照。

——“你在哪兒聽說過比？”回答“金龍魚廣告中 1∶1∶1”“足球比賽中進球比是 1∶2”“比成績”“比分數(shù)”……讓我們看到了吳老師帶領學生直面起點、直面錯誤、直面差異的勇氣與智慧。

——“大家讀懂了水與奶粉的比是2∶1嗎？說說你的理解”，我們看到，吳老師鼓勵學生自主完成新舊概念的聯(lián)結，聯(lián)結方式從直白告知變?yōu)槁?lián)想推理，而這樣的聯(lián)想推理又是學生自發(fā)完成的。

——“路程∶時間=速度，1500∶5=300∶1，1500∶15=100∶1，說說是什么意思？”“速度是 300，也就是300∶1，即1小時行了300千米?！蔽覀兛吹剑安煌惲康谋犬a(chǎn)生新的量”，當“速度”以比值形式出現(xiàn)的時候，是學習的難點，吳老師依然不忘將其還原為生活理解，突破難點。

2.好材料、好任務驅動自主建構。

“潤物細無聲”，將“高目標”融于“自然對話”，是吳老師《比的意義》一課的鮮明特點。為什么能實現(xiàn)如此細膩、豐富的目標，一方面得益于吳老師與學生的溝通藝術，筆者以為，好材料本身所蘊含的獨特功能功不可沒。試以部分練習材料及相應的功能，舉例如下：

材料 1：小亮 155cm，我1m——實現(xiàn)了從“同單位”到“不同單位”的變化，自主形成單位統(tǒng)一的認識；

材料2：某縣城一所學校有學生3000人，教師100人——自主實現(xiàn)了從“具體量”到“份”的跨越，滲透“最簡比”的意識；

材料3：從北京到上海全程1500千米，行駛5小時。從杭州到北京全程1500千米，行駛15小時——實現(xiàn)了從“同類量”到“不同類量”的變式，豐富“比”的類型；

值得欣賞的是，幾乎每一個情境的展開中，教師都沒有刻意的引導，而是學生基于比的本源意義——“以（）作標準，（）就有這樣的幾份”，自主完成“比”的理解與表達。

材料 1，學生寫出的三個比為“155∶1”“155∶100”“100∶1”，通過“標準比較”的思路，自然排除了“155∶1”與“100∶1”兩個錯誤答案，學生對于“單位要統(tǒng)一”也就不言自明。材料2，學生板演的比是“3000∶100”與“30∶1”，前者僅停留于“具體量”的比，后者自然地將其提升為“份”的思考：如果老師是1份，學生有這樣的30份。材料3，則更是一個極好的開放性材料，學生可以寫出多個比，又自然引出不同類量的比。材料4，雖然變式為“三量”關系，但學生依然基于“標準”的思考，如果以沙子作標準，占10份中的3份，那么水泥則是10份中的2 份，石子是 10 份中的 1 份，三者的比是“2∶3∶5”。由此，一方面，我們由衷感嘆吳老師基于“比較”“標準”“關系”把握基礎上的“比”的本質挖掘，另一方面，也佩服吳老師為實現(xiàn)目標所設計的結構化材料與驅動性任務。

“深入”尚需“淺出”——教學的不懈追求！