導數復習課教學片斷及反思

摘要：由一道導數的作業題的不同解法講評片斷，發現學生學習的問題，引起對自身教學方法的思考，機械化的模式教學使得能力培養產生了障礙，面對不同的學生，都要切實學生的學，培養學生各方面的能力，以及提高學生面對困難的信心。

關鍵詞：文科導數；引導；困難；能力培養

筆者今年執教于高中文科數學，基于對文科班數學基礎較差的印象及自己的教學經驗，在教學中，常常出現“這種題型常用的解法……”之類的教學方式，不小心容易以一成不變的模式將知識將強灌輸給學生，為了完成“教學任務”課堂上預留給學生獨立思考的時間較少，使得學生在學習過程中容易產生教條主義思想，學習上缺乏主動，產生依賴性，缺乏思想，缺乏個性，被動地學習，遇到困難“知難而退”。本文是筆者的一堂導數應用復習課的實錄，通過此課例，筆者及時發現并嘗試解決學生可能產生的學習上的問題。

導數是高中數學的重要內容，導數在函數里有廣泛應用，高中文科對導數的主要要求是能用導數研究函數的單調性及最值問題，其中利用導數解決函數含參問題在高考中是較為常見的，所以解決導數含參問題是高中數學教學中一個很重要的環節。

課堂片斷實錄。

一、 從一道作業的幾種不同解法談起

筆者在此復習課之前給出了一道作業：

作業：已知函數f（x）=2x3-3（a+1）x2+6ax+8（a∈R）

1. 若f（x）的極大值為8，求a的取值。

2. 若f（x）在x∈（-∞，0）上為增函數，求a的取值范圍。

統計第二步的解答情況，共得到以下兩種做法：

解法一：

f′（x）=6x2-6（a+1）x+6ax

若函數f（x）在x∈（-∞，0）上為增函數，則f′（x）≥0在x∈（-∞，0）上恒成立

即x2-（a+1）x+a≥0恒成立，即a（x-1）≤x2-x

∵x<0∴x-1<0∴a≥x2-xx-1=x恒成立

∵x<0∴a≥0

解法二：

f′（x）=6x2-6（a+1）x+6ax

f′（x）=0解得x=1，或x=a

若a<1，f′（x）<0解得a

從而得函數在（-∞，a）和（1，+∞）單調遞增，若函數f（x）在x∈（-∞，0）上為增函數，則只需0≤a<1

若若a<1，f′（x）<0解得1

從而得函數在（-∞，1）和（a，+∞）單調遞增，則函數f（x）在x∈（-∞，0）上恒為增函數，若a=1，f′（x）≥0恒成立，則函數f（x）在x∈（-∞，0）上恒為增函數，

綜上a≥0

統計作業結果得知，其中有百分之八十的同學采用了第一種方法，有個別同學利用分離參數解題時，并沒有注意判斷x-1的符號，使得答案出錯，而全班只有一位同學采用了解法二（此解法應該是建立在對第一步的討論中得出），還有一位同學嘗試用單調性的定義法去解題，當然并沒有求出結果。

二、 提出問題

鑒于學生作業模式的統一化，筆者產生了一些疑問，此道作業正確率如此之高，但學生是否真正掌握含參問題的實質及解法？學生遇到含參問題是否只能想到分離參數構造函數？學生的思維方式是否已經受限？為了進一步了解及確定學生解題可能存在的問題，筆者在講評作業之前給出了另一道題作為課堂練習：

練習：f（x）=lnx-mx+m<0對x∈（1，+∞）恒成立，求m的取值范圍。

幾乎所有學生的解法都如下：

lnx-mx+m<0對x∈（1，+∞）恒成立，則m（x-1）>lnx

∵x>1∴x-1>0∴m>lnxx-1構造函數令

g（x）=lnxx-1g′（x）=1-1x-lnx（x-1）2

部分學生做到這步，無法得知單調性便停止答題

由于前面有介紹過兩次構造函數求導解決函數單調性的問題，有個別學生繼續構造函數求導

令h（x）=1-1x-lnx，h′（x）=1x2-1x

由于x>1，可得h′（x）<0恒成立，所以有h（x）在（1，+∞）上單調遞減。

從而有h（x）

但是同樣遇到這樣一個問題，函數在1處無意義，無法得出函數最值，那么這道題該如何進行下去呢（這里利用洛必達法則可得limx→1lnxx-1=1，從而解得a≥1，不過為高數內容，在此不作詳述）？個別學生嘗試分類討論，也都沒得到完整準確的答案。

三、 探究問題，共同反思。

筆者授課的對象是所在學校的高二文科班學生，數學基礎較差，自主學習能力不高，雖然在前面幾堂課中，筆者已詳細講授導數解決各種常見函數問題方法，但是學生還是不能很好地完成解答。

教師：為什么利用分離參數無法解出此題呢？

學生：在x=1處無意義，無法得出函數最值。

教師：那么有什么方法可以解出此題嗎？

學生：……

教師：退一步來講，為什么遇到含參問題，為什么你會想到分離參數呢？

學生：因為有參數就必須討論。

教師：對，如果討論，那么此題討論的目的是？恒成問題處理方法的實質是什么還記得嗎？

學生：實質就是轉化為最值問題，也就是說要通過討論得到函數的最值。

教師：那么為什么不嘗試求f（x）的最值呢？

學生：討論很難。

至此，筆者意識到學生解決不含參數的函數最值問題，問題不大，但當引入參數，提高門檻，學生就會緊張，解決問題容易避重就輕，逃避困難，思維定勢，缺乏思考。

教師：高中數學里，分類討論是一種重要的邏輯方法，但卻是你們最頭疼的一個問題，那么你們覺得困難在哪？

學生：有時想想好像會做，但不知如何入手。

教師：有時知道要分類，但好像沒辦法考慮得很全面。

學生：……

教師：那來看看能不能一起解決這些問題。有同學說說解題思路嗎？

學生A：先求導，求極值點。

f′（x）=1x-m

f′（x）=0解得極值點x=1m

學生A：考慮定義域，m>0。

學生B：不一定要有極值點，若m≤0沒有極值點，函數還是有意義，所以，需要討論。

接下來，在自然熟悉的思路引導下，與學生共同得到了以下完整解法。

若m≤0，f′（x）>0在（0，+∞）上恒成立，f（x）在（0，+∞）上單調遞增，

所以當x∈（1，+∞）時，f（x）>f（1）=0不成立。

若m>0，f′（x）=0解得極值點x=1m

∵f′（x）>0解得x>1m

∴f（x）在0，1m上單調遞增，在1m，+∞上單調遞減。

當01，則f（x）在（1，1m）上有f（x）>f（1）=0不成立

當m≥1，則在（1，+∞）上都有f（x）

綜上：m≥1

教師：分類討論解決數學問題關鍵是如何正確分類，解決導數中參數分類討論的問題，往往從極值點出發，極值點是否會有意義，區間是否會包含極值點，極值點大小的比較等等，要確保分類的科學，不重不漏，確定完分類標準之后再進行討論，最后進行歸納整理。

四、 一題多解，一題多變

教師：現在，我們一起來看看昨天的作業。

教師板書了解法一。并讓學生C介紹解法二，表揚使用該生，鼓勵學生敢于創新和思考。

教師：能否用恒成立的實質，分類討論導數的最值的方法來解決此題呢？

學生B板書解法三：

即f′（x）=6x2-6（a+1）x+6ax≥0在（-∞，2）恒大于零

導數對稱軸x=-a+12

當x>-1，即-a+12<0，則二次函數存在f′（x）min=f-a+12

當x≤-1，即-a+12≥0，則f′（x）>f（0）只需f（0）=a≥0

綜上，a≥0

教師：恒成立問題是高中數學的一項重要內容，除了分離參數構造函數這個方法外，直接分類討論函數的最值也是重要的方法之一。

介紹三種解題方式，旨在通過一題多解，使課堂變得更加精彩，而此題的一題多解更是從學生的學情角度出發，合理地給出，希望學生能從中找到解題的規律。

教師：若把此題的條件改成f（x）在x∈（-∞，2）上為增函數，求a的取值范圍。此時利用解法二解法三都能順利解題。

在此給出作業的變式，旨在更充分發揮作業的作用，本為一道簡單的作業，適度的引申，合理的變式深化難度，為學生的思維訓練提供契機。

教師：這節課后，你們對于解題有何感想？

學生C：解題的時候，經常都沒有仔細考慮到題目設置的意圖，總是想就著熟悉的方法解題，有時題目都沒有看清楚。

學生D：做題時遇到困難會想逃避，缺少思考。

學生E：這節課重新復習了分類討論的解題方法，好像對于要分類的題目沒有那么害怕了。

本堂課例片斷，筆者為了打破學生的定勢的思維模式，引導學生回歸恒成立問題的本質，即求最值問題，然后體會如何抓住所要面對的困難中的難點，學會一一攻破難點的能力。

本文是筆者由一道正確率頗高的作業的反思，及時的發現學生在學習過程中存在的問題和遇到的困難，并且看出了，在平時的教學中，筆者太過重視培養學生常規作法的解題思路，而忽視了學生對于問題本質的理解，能力培養才是教學的重任，應傳授學生更多探究問題，分析問題的能力，扎實教學過程，解好每一道題，落實每一個解法，提供多角度訓練情境，及時提高學生的應變能力。

并且，筆者認為，在數學教學過程中，無論是面對怎么樣的學生，都要切實關注學生的學，要能夠根據學生可能出現的切實的問題來確定教學的重點，在教學過程中，在學生遇到這樣那樣的挫折和失敗時及時給予幫助和補救，鼓勵學生勇于面對困難，培養解決困難的能力，確保自己不陷入模式機械化的教學。

教學的路還很長，教學的過程是累積經驗的過程，教學過程中的反思更是一個讓我們能夠不斷學習的不斷進步的過程。

作者簡介：李菲燕，福建省南安市，福建省南安國光中學。