巧用化歸轉化思想速解數學問題

劉懷成

解答數學問題離不開轉化與化歸，它既是一種數學思想，又是一種數學能力，是高考重點考查的數學思想方法之一.當解題思維受阻時，考慮尋求簡單方法或從一種情形轉化到另一種情形，也就是轉化到另一種情境使問題容易得到解決，這種轉化是解決問題的有效策略.轉化有等價轉化和非等價轉化，等價轉化前后是充要條件，所以盡可能使轉化具有等價性.通過不斷地轉化，把不熟悉、不規范、復雜的問題轉化為熟悉、規范、簡單的問題.在不得已的情況下，進行不等價轉化，應附加限制條件，以保持等價性，或對所得結論進行必要的驗證.

熱點考向一 具體與抽象、特殊與一般的轉化

例1 若橢圓C的方程為x25+y2m=1，焦點在x軸上，與直線y=kx+1總有公共點，那么m的取值范圍為 .

解析：由橢圓C的方程及焦點在x軸上，知0

又直線與橢圓總有公共點，直線恒過點（0，1），

則定點（0，1）必在橢圓內部或邊界上.

則025+12m≤1，即m≥1.

故m的取值范圍為[1，5）.答案：[1，5）.

點評：特殊與一般轉化法是在解決問題過程中，將某些一般問題進行特殊化處理或將某些特殊問題進行一般化處理的方法.

熱點考向二 正難則反的轉化

例2 已知m∈R，設命題P：|m-5|≤3；命題Q：函數f（x）=3x2+2mx+m+43有兩個不同的零點.求使命題“P或Q”為真命題的實數的取值范圍.

解：對P：|m-5|≤3，即2≤m≤8，

對Q：由已知得f（x）=3x2+2mx+m+43=0的判別式Δ=4m2-12（m+43）=4m2-12m-16>0，

得m<-1或m>4.

所以，要使“P或Q”為真命題，只需求其反面，P假且Q假，

即m>8或m<2

-1≤m≤4，∴-1≤m<2，

∴實數m的取值范圍是（-∞，-1）∪[2，+∞）.

點評：本題主要考查復合命題的真假應用，利用正難則反的原則，將P，Q至少有一個為真命……