圓的定義的妙用

江志杰

圓是中學數學最基本的幾何圖形之一，也是建構數學問題、探索解題思路的直觀模型.利用圓的軌跡描述、分析數學問題，建立數與形的聯系，有助于我們進一步發(fā)展幾何直觀和空間想象能力，增強運用圖形和直觀想象思考問題的意識，提升數形結合的能力，感悟數學問題的本質，培養(yǎng)創(chuàng)新思維.下面筆者根據中學階段圓的若干定義，談談如何利用圓的定義構造圓直觀簡捷地化解相關數學問題，并且在分析和解決問題中發(fā)展直觀想象核心素養(yǎng)！

一、從原始定義構造圓

中學階段圓的最基本定義：平面內到定點的距離等于定長的點的軌跡是圓，其中定點和定長分別為該圓的圓心和半徑.據此，我們經常借助“距離”模型來形象看待有關含向量（或復數）模的方程，進而構成圓的軌跡雛形.比如復數z滿足|z|=1，則復數z對應的點落在單位圓上；又如向量AB滿足|AB|=2，則向量AB的長度為2，當其中點B的位置固定時，點A落在以點B為圓心、半徑為2的圓上…….我們平時就要有這樣數形結合、動靜相輔的眼光以及直觀想象的素養(yǎng)，來觀察、理解、分析各類不同方式表達的數學問題，增強直觀轉化、形象化解的能力！

例1 已知a，b是單位向量，a·b=0，若向量c滿足|c-a-b|=1，則|c|的取值范圍是 .

解析：本題|c-a-b|=1即|c-（a+b）|=1，可理解為動向量c的終點P與定向量a+b的終點M的距離為1（兩向量的起點均為原點O），由單位正方形模型易得|a+b|=2，不妨將向量a+b的終點M固定在點（2，0），則點P在以點M為圓心、半徑為1的圓上運動，易得|PO|=|c|∈[2-1，2+1].從而使得本題在直觀形象的模型中輕易地化解，我們熟知圓的各種定義其實就是構建合理數學模型的思維基礎！