解析幾何定點定值問題“攻堅戰”

田利劍

解析幾何中的定點與定值問題，一直是高考命題的熱點，也是難點.如何突破這個難點？一直是困擾考生們的一個難題.我們一起來攻克這個“堡壘”！

一、定點問題

1.處理定點問題的思路：

（1）確定題目中的核心變量（此處設為k）；

（2）利用條件找到k與過定點的曲線F（x，y）=0的聯系，得到有關k與x，y的等式；

（3）所謂定點，是指存在一個特殊的點（x0，y0），使得無論k的值如何變化，等式恒成立.此時要將關于k與x，y的等式進行變形，直至易于找到x0，y0.常見的變形方向如下：

①若等式的形式為整式，則考慮將含k的項歸在一組，變形為“k·g（x，y）”的形式，從而x0，y0只需要先滿足g（x，y）=0即可；

②若等式為含k的分式，x0，y0的取值一方面可以考慮使其分子為0，從而分式與分母的取值無關；或者考慮讓分子分母消去k的式子變成常數（這兩方面本質上可以通過分離常數進行相互轉化，但通常選擇容易觀察到的形式）.

2.一些技巧與注意事項：

（1）面對復雜問題時，可從特殊情況入手，以確定可能的定點（或定直線）.然后再驗證該點（或該直線）對一般情況是否符合.屬于“先猜再證”.

（2）有些題目所求與定值無關，但是在條件中會隱藏定點，且該定點通常是解題的關鍵條件.所以當遇到含參數的方程時，要清楚該方程為一類曲線（或直線），從而觀察這一類曲線是否過定點.尤其在含參數的直線方程中，要能夠找到定點，抓住關鍵條件.例如：直線l：y=kx+k-1，就應該能夠意識到y=k（x+1）-1，進而直線過定點（-1，-1）.

例1 橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率為12，其左焦點到點P（2，1）的距離為10.

（1）求橢圓C的標準方程；……