在尋找數(shù)字與計(jì)算之間的聯(lián)系中發(fā)展數(shù)感例談

黃慧華

（南平建陽(yáng)區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué)，福建 南平 354200）

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》把數(shù)感作為“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域十大核心概念中的第一個(gè)核心概念，對(duì)數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果的估計(jì)等方面的感悟稱為“數(shù)感”。朱莉婭·安吉萊瑞把學(xué)生對(duì)數(shù)字之間的關(guān)聯(lián)意識(shí)和靈活解決數(shù)字問(wèn)題的能力稱為數(shù)感，學(xué)生能歸納數(shù)字模式和計(jì)算過(guò)程，把新舊知相聯(lián)系。［1］教會(huì)學(xué)生認(rèn)識(shí)并理解其中的數(shù)字關(guān)聯(lián)是形成數(shù)感的關(guān)鍵，要重視培養(yǎng)學(xué)生尋找數(shù)字之間關(guān)聯(lián)的意識(shí)，多角度地理解數(shù)的意義，重視口算的教學(xué)。如何引導(dǎo)學(xué)生在尋找數(shù)字與計(jì)算之間的聯(lián)系中發(fā)展數(shù)感？

一、在拆數(shù)游戲中初步感受數(shù)字間的聯(lián)系——感悟數(shù)感。

朱莉婭·安吉萊瑞認(rèn)為，教師要讓學(xué)生靈活熟練地運(yùn)用數(shù)字，運(yùn)用數(shù)字之間的關(guān)聯(lián)來(lái)理解問(wèn)題。教學(xué)中應(yīng)該對(duì)邏輯結(jié)構(gòu)中潛在的數(shù)字和數(shù)字運(yùn)算之間的關(guān)系給予重視，要鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行心算、觀察數(shù)字模式、預(yù)測(cè)計(jì)算結(jié)果，并討論其中存在的數(shù)字聯(lián)系，讓學(xué)生不僅會(huì)辨別數(shù)字模式和數(shù)字關(guān)系，而且能在兩者之間生成聯(lián)系，從而產(chǎn)生“感覺(jué)”。因此教師要把培養(yǎng)學(xué)生形成“數(shù)感”作為學(xué)校課程教學(xué)的主要目標(biāo)，培養(yǎng)學(xué)生計(jì)算的“靈活性”和“創(chuàng)造性”，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)理解力，培養(yǎng)他們積極的學(xué)習(xí)態(tài)度和信心。

例如，《隊(duì)列表演（一）》是在學(xué)生掌握了一位數(shù)乘兩、三位數(shù)和兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)的口算乘法的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。上課伊始創(chuàng)設(shè)“拆數(shù)游戲”活動(dòng)，12可以拆成（ ）×（ ），還可以拆成（ ）+（ ）。設(shè)計(jì)本環(huán)節(jié)的目的，一是創(chuàng)設(shè)情境，提供由舊到新的支撐點(diǎn)，建立起新、舊知識(shí)之間的聯(lián)系，為新知學(xué)習(xí)提供巧妙的支撐；二是讓學(xué)生對(duì)12與其它數(shù)字之間的關(guān)聯(lián)進(jìn)行聯(lián)想，如12可以是1和12的積，2和6的積，3和4的積，還可以是11和1的和，10和2的和， 9和3的和，8和4的和，7和5的和，6和6的和，2個(gè)6 的和，6個(gè)2的和，3個(gè)4的和，4個(gè)3的和……等等，強(qiáng)調(diào)把12拆成兩數(shù)相加時(shí)分成10+2最快最好，在活躍氣氛的同時(shí)為后續(xù)點(diǎn)子圖的拆分和數(shù)字的分解、算法多樣化和算法優(yōu)化的呈現(xiàn)埋下伏筆，從中感悟數(shù)感。

二、在尋找點(diǎn)子圖與數(shù)字間的聯(lián)系中明算理——建立數(shù)感

《隊(duì)列表演（一）》在引進(jìn)算式環(huán)節(jié)創(chuàng)設(shè)了“觀看隊(duì)列表演的視頻——點(diǎn)子圖——算式”這一情境，實(shí)現(xiàn)了從實(shí)物的直觀感知到點(diǎn)子圖的抽象過(guò)程。在后面的引導(dǎo)學(xué)生探究算法的過(guò)程中讓學(xué)生經(jīng)歷“乘法口算的圖式化”——“數(shù)形結(jié)合”的過(guò)程，即利用點(diǎn)子圖這一計(jì)數(shù)工具探索兩位數(shù)乘兩位數(shù)的口算乘法。

《隊(duì)列表演（一）》一課借助“形”（點(diǎn)子圖）的生動(dòng)和直觀性來(lái)認(rèn)識(shí)“數(shù)”（12和14的分解）。在課堂展示環(huán)節(jié)，將學(xué)生不同的點(diǎn)子圖圈法整理成條理清晰的三部分，第一種是平均分法（如圖8）：橫著把12平均分2個(gè)6（如圖1）、6個(gè)2（如圖2）、4個(gè)3（如圖3）、3個(gè)4（如圖4）；還有把全部點(diǎn)子平均分成4個(gè)6×7（如圖5）（這種分法是有局限性的）；豎著平均分成2個(gè)7（如圖6）、7個(gè)2（如圖7）。

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

圖7

圖8

第二種是將一個(gè)乘數(shù)分成整十?dāng)?shù)和一位數(shù)的形式（這種分法任何兩位數(shù)都可以這樣分，也是豎式計(jì)算的原型）：把12分成10+2（如圖9），把14分成10+4（如圖10）。

圖9

圖10

第三種是將兩個(gè)乘數(shù)都分成整十?dāng)?shù)和一位數(shù)的形式（這種分法滲透了因式分解思想）。溝通點(diǎn)子圖與表格法之間聯(lián)系，深度地理解了圖表之間的關(guān)系，并能很好地溝通和轉(zhuǎn)化兩種算法，能夠在點(diǎn)子圖中找到表格法中數(shù)據(jù)的原型，在表格中找到點(diǎn)子圖中的數(shù)據(jù)所在，也是下節(jié)課豎式中每個(gè)數(shù)位上的數(shù)代表的含義即算理所在，滲透因式分解含義，實(shí)現(xiàn)了“表中有圖，圖中有表，圖表一家”的理念。（如圖11）

圖11

以“形”助“數(shù)”，借助而點(diǎn)子圖這一抓手讓教師清晰地讀懂了學(xué)生的思維過(guò)程，將抽象的算理和數(shù)字之間的聯(lián)系形象化、簡(jiǎn)單化。本課的難點(diǎn)在于理解算式每一步的含義，借助點(diǎn)子圖挖掘數(shù)與形之間內(nèi)在聯(lián)系，清晰地“說(shuō)”出各個(gè)數(shù)字與圖之間的關(guān)系，在“說(shuō)”中理解算理。如（圖1）的算法（14×12=14×6×2）就表示“把點(diǎn)子圖平均分成了2份，一份有6行，2份就有2個(gè)6行，先算出一份是多少，一份里面有6個(gè)14，就是14乘6，就是84，2份就有兩個(gè)84，就是84乘2，就等于168”。同理其它算法也可以借助點(diǎn)子圖一目了然地理解和“說(shuō)”出每種算法的算理。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想使數(shù)量之間的內(nèi)在聯(lián)系變得直觀，把枯燥的計(jì)算教學(xué)課與圖形——“點(diǎn)子圖”聯(lián)系在一起，幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，找到解題的捷徑。

三、在尋找數(shù)字與計(jì)算之間的聯(lián)系中感受算法多樣化——發(fā)展數(shù)感

朱莉婭·安吉萊瑞指出，要教會(huì)學(xué)生綜合應(yīng)用心算和預(yù)測(cè)結(jié)果的方法提高計(jì)算能力，提高計(jì)算的正確率。［1］教會(huì)學(xué)生理解數(shù)字之間相互聯(lián)系的方式、不同的可能表達(dá)形式與不同運(yùn)算相聯(lián)系的意義，從而建立起數(shù)字與計(jì)算之間的聯(lián)系形成數(shù)感。

教學(xué)《隊(duì)列表演（一）》時(shí)，要充分挖掘知識(shí)間的“縱向”聯(lián)系，有效地實(shí)現(xiàn)新舊知間的鏈接，滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,培養(yǎng)數(shù)感。要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)已經(jīng)學(xué)過(guò)的兩三位數(shù)乘一位數(shù)和兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)知識(shí)進(jìn)行整合，把算式進(jìn)行等值變形（算式變形而保持值不變），推導(dǎo)出新的知識(shí)；或者是將新的知識(shí)通過(guò)改造，轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過(guò)兩位數(shù)乘一位數(shù)和兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)來(lái)解決。引導(dǎo)學(xué)生直接對(duì)乘法算式進(jìn)行口算，對(duì)數(shù)字進(jìn)行思考，思考數(shù)字與計(jì)算之間的聯(lián)系，探索運(yùn)算規(guī)律，滲透乘法的運(yùn)算規(guī)律，第一學(xué)段雖然沒(méi)有正式乘法的交換律和結(jié)合律，但乘法的這兩個(gè)規(guī)律都涵蓋在積不變的規(guī)律之中，要關(guān)注學(xué)生是否在計(jì)算中已經(jīng)自覺(jué)或不自覺(jué)運(yùn)用這些規(guī)律。算法1∶14×12=14×2×6=28×6=168；算法2∶1 4×1 2=1 4×6×2=8 4×2=1 6 8；算法3：14×12=14×3×4=42×4=168；算法4：1 4×1 2=1 4×4×3=4 6×3=1 6 8；算法5：14×12=6×7×4=42×4=168；算法6：①14×10=140②14×2=28③140+28=168；算法7：①10×12=120②4×12=48③120+48=168。算法多樣化，取決于豐富多樣的數(shù)字關(guān)系，要依靠數(shù)感對(duì)抽象的數(shù)字、算式進(jìn)行思維，不僅要握數(shù)的相對(duì)大小關(guān)系，還要把握一個(gè)數(shù)與其他數(shù)字間的關(guān)聯(lián)。所以需要根據(jù)運(yùn)算律與運(yùn)算性質(zhì)對(duì)算式進(jìn)行等值變形，提高運(yùn)算效率，運(yùn)用數(shù)字關(guān)聯(lián)，數(shù)字的組合與分解，由程序性思維到關(guān)系性思維轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)學(xué)生的關(guān)系性思維，即代數(shù)思維。［2］不僅要會(huì)計(jì)算，還要能看懂別人的算法，不是所有的數(shù)都能拆成兩數(shù)相乘，像11就只能拆成兩數(shù)相加，因?yàn)椴鸪?1乘1沒(méi)有意義，在梳理算法的過(guò)程不知不覺(jué)的使學(xué)生明白要有一雙數(shù)學(xué)的眼睛，把數(shù)字看活，使計(jì)算簡(jiǎn)便。

［1］［英］朱莉婭·安吉萊瑞.如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感 ［M］.徐文彬，譯.北京：北京師范大學(xué)出版社，2007.

［2］教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［3］王永.數(shù)學(xué)化的視界——小學(xué)“數(shù)與代數(shù)”的教與學(xué)［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2013.