具有交叉擴散的全寄生藥用植物和寄主植物共存問題

胡穎，馬云桐，譚啟建

寄生植物約有4200多種，在全世界有廣泛分布[1]，其中的寄生藥用植物是中藥中的一個特殊類群。已經有很多作者對寄生植物的特殊性、它們與其寄主植物的關系以及生物數學模型進行了研究[1～8]。寄生類型包括全寄生與半寄生。

考慮寄生植物和其寄主植物的擴散模型，寄生植物擴散的密度通量將依賴于寄主植物的密度，即有交叉擴散的現象[9]。依據所考慮的區域，這種擴散有兩種類型，即當所考慮的區域只有一種自然條件時，擴散系數、交叉擴散系數和反應函數是連續的，對這類問題和類似的捕食-食餌模型已經有大量文獻報導[10～15]。而當所考慮的區域包含不同自然條件時，擴散系數、交叉擴散系數和反應函數都是允許間斷的。這種交叉擴散生態模型最近也有數學理論的研究[16]。

我們知道，全寄生植物的導管和篩管分別與寄主植物的導管和篩管相通，從寄主植物上獲取自身生活需要的全部營養物質[1]。在自然界中有些藥用植物就是全寄生的，比如名貴中藥肉蓯蓉(Cistanchede serticolaY.C.Ma) 完全寄生于藜科梭梭屬植物梭梭(Haloxylon ammodendron(C.A.Mey.)Bunge) 和白梭梭(H.pericum Bunge ex Boiss。)根部[1～2]，從這些寄主上獲取需要的全部營養物質。而且我們還注意到，肉蓯蓉生活在含沙漠和綠洲的這種有不同自然條件的區域。所以本文將重點討論全寄生藥用植物和其寄主植物在一個含不同自然條件區域上共存的條件，為資源可持續利用提供理論依據。

1 數學模型

考慮全寄生藥用植物和其寄主植物的兩種群交叉擴散模型。第一種植物是寄主植物，它的擴散密度通量與寄生植物無關； 第二種植物是全寄生藥用植物，它的擴散密度通量與寄主植物有關，即有交叉擴散現象。

為利用文獻[16]的理論結果，本文采用它的記號系統。設?是上的一個有界開區域，??是其邊界。Гj( j=1,..., m-1)是一些彼此不相交的曲線，它們把?分割成m個子區域?i(i=1,..., m)。假設在各子區域上的自然條件允許不同。以ul=ul(x,t)記第l種生物的密度函數，l=1,2。假設在Гj上，密度函數和擴散密度通量是連續的，則滿足[16]。

其中，是梯度算子，表函數v在跨過內邊界時的躍度，是v的Г法向，是擴散系數，

和都是正常數。分別是寄主植物和寄生藥用植物的自擴散系數，它們體現了擴散密度通量受自身密度的影響；而是交叉擴散系數，它體現了寄生藥用植物的擴散密度通量受寄主植物密度的影響。問題(1)中的反應函數由下面定義：

其中，都是正常數。在是寄主植物的內稟自然增長率，體現了兩種群密度的增加對寄主植物增長率的阻滯作用；在表示如果沒有寄主植物時，全寄生藥用植物的死亡率，表示寄生藥用植物的增長率也是密度制約的，表示寄主植物對寄生藥用植物增長率的促進作用。

2 種群的共存條件

要做到資源的可持續利用，就是要使得寄生藥用植物和寄主植物共存。在數學上, 就是要利用文獻[16]的理論結果, 找出問題(1)正解存在的種群密度條件，這是本文的主要目的，它由下列定理描述：

定理 1.如果下列條件(i) (ii) 滿足，則問題(1)存在文[16]中定義2.1意義下的正解u：

(i)對所有且存在使得

(ii) 存在正常數使得

和對所有

其中，

證明：對任意

于是只要記(5)的逆

存在，其中

對任意正常數定義

其中從而由[16]知，對任意給定的正常數問題(1)可以被寫成等價形式

取

從(6)得到

如果

則當時， 對非u1降，對u2非增，而對u1，u2都非降。

根據文[16]中的(3.4)-(3.7)和定理2.1知，如果存在正常數使得對所有

則是(7)在文[16]定義2.2下的耦合弱上下解，且問題(1)有正解滿足其中

下面找滿足上述條件的正常數(10)等價于

我們發現，如果M1，M2和m1滿足

那么對充分小的正數m2，(13)成立，從而(10)成立。

關系(11)等價于

這等價于

如果M1，M2和m1適合

則對充分小的正數m2，(15)得到滿足，于是(11)也得到滿足。

注意到如果(15)的第一個不等式成立，則從而(8)也成立。所以，綜合以上推理，滿足(3)和(4)的正常數M1，M2，m1，能夠保證對充分小的m2，使得(8)，(14)和(16)得到滿足。這樣(8)-(11)也都得到滿足。于是，對充分小的m2是(7)的耦合弱上下解，且問題(1) 存在正解u滿足從而，定理1得到了證明。

3 結論與討論

1）從二種群的共存條件看出，要保證二種群共存，相關量和參數復雜地耦合在一起。我們注意到，要(4)的第一個不等式滿足，必須

這意味著寄主植物的密度的最小值必須要大于量

即增大寄主植物的密度。要(4)的第二個不等式滿足，必須這意味著寄生藥用植物的密度的最大值必須要小于量

即寄生藥用植物的密度不能夠太大。

由上面的討論，我們得到結論：增大寄主植物的密度，使得其密度的最小值大于一個與寄生藥用植物相關的量； 同時， 控制寄生藥用植物密度， 使得其最大值必須要小于一個與寄主植物相關的量。

2）如果區域?上只有一種自然條件，則是常值函數，無關，且(1)中不含在Г上的內邊界條件。可以從定理1得到相應的共存條件。

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