□ 宋煜陽

一、問題思考

（一）剪拼法與倍拼法有無主次之分？

在小學教材里，三角形的面積公式推導路徑主要有兩種：一是在面積不變前提下通過三角形的底或高折半、剪拼，轉化為長方形或平行四邊形（以下簡稱剪拼法）；二是通過構造全等三角形，與原三角形拼組轉化為平行四邊形或長方形，使得新圖形面積是原圖形的兩倍后再折半（以下簡稱倍拼法）。

剪拼法和倍拼法在各版本教材中編排的比重存在一定差異。以人教版、北師大版、蘇教版、浙教版、西師版、青島版六個版本為例，每個版本均安排了倍拼法的例題，而剪拼法只在浙教版中有例題安排，人教版只是在“你知道嗎”欄目里進行了補充。多個版本教材重視倍拼法、淡化剪拼法的編排，導致較多的教師認為“三角形的面積公式推導中，倍拼法比剪拼法更好、更重要”。

那么，在三角形的面積公式推導中，剪拼法和倍拼法究竟有沒有主次之分呢？筆者認為，從公式推導的思維要求來說，剪拼法比倍拼法更為復雜多變，兩者有難易之別，但并沒有主次之分。

第一，對具體轉化方法的地位需要從整個方法序列來認識。在教材面積公式推導中，轉化方法的學習依次經歷了平行四邊形的面積、三角形的面積、梯形的面積、多邊形的面積、圓形的面積等多個階段。僅以轉化方法的適用性而言，剪拼法比倍拼法應用更為廣泛，如多邊形的面積、圓形的面積采用剪拼法實現轉化。而在中國臺灣地區教材和韓國教材中，平面圖形面積公式推導的轉化方法序列并非從平行四邊形開始的，而是先得出三角形的面積公式，然后研究平行四邊形的面積公式。可見，平面圖形面積公式推導的轉化方法序列是沒有“固定”的，自然也不存在轉化方法的主次之分。

第二，對具體轉化方法的地位需要從學段目標來理解。課程標準第二學段目標中指出，“探索并掌握三角形、平行四邊形和梯形的面積公式”“探索并掌握圓的面積公式”。在整個面積公式探索的化歸思想進程中，平行四邊形的面積公式推導是化歸思想的啟蒙，三角形的面積公式推導是化歸思想的深化。主要表現為在剪拼法、倍拼法等多種轉化方式的探索活動中落實化歸的思想，提高推理、空間觀念等核心素養。

（二）需要給學生提供怎樣的學習材料？

在本課教學中，我們總會圍繞“需要提供方格圖嗎”“需要提供三角形操作嗎”“需要提供怎樣的三角形”等關于學習材料的問題展開討論。本質上這些問題的討論都是在思辨、考量學生自主探索的空間與可行性。

1.方格圖問題。

在三角形面積的獨立探索中，是否提供方格圖是當前教學設計走向的分水嶺。

持不介入方格圖觀點的典型教學設計路徑為：

（1）分組提供等腰三角形和不等邊三角形，供學生自主探究。

（2）交流反饋，梳理得出等腰三角形能剪拼轉化為長方形，得出剪拼的兩個三角形形狀一樣才可以實現轉化。

（3）討論思考如何讓不等邊三角形也能實現轉化，學生提出倍拼法，組織學生用倍拼法推導面積公式。

（4）補充介紹剪拼法，說明用剪拼法也能實現轉化。

在整個面積公式推導中，沒有介入方格圖，表面上探索空間很大，實際上從剪拼法到倍拼法的轉身，多數學生是缺乏心理準備和方法準備的。在短短的1分鐘內能夠想到倍拼法的只是個別優秀學生（不排除課前了解倍拼法），并沒有給多數學生提供真正的探索空間與方向。

當有了方格圖，學生又有怎樣的探索水平呢？筆者對寧波市奉化城區72名五年級學生進行了前測，要求通過多種方法分別求出方格圖中（邊長為1厘米）直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形的面積。前測情況統計如下表。

類型作品略方法數格子比例13.9%直角三角形 銳角三角形 鈍角三角形88.9%剪拼法倍拼法公式數格子剪拼法略48.6%6.9%12.5%36.1%倍拼法6.9%6.9%9.7%0 0 6.9%公式數格子剪拼法倍拼法公式略無無

上表數據可以反映出兩方面的基本學情。一方面，在方格圖支持下近半學生能夠在直角三角形內完成剪拼法到倍拼法的自我轉身。另一方面，學生對銳角三角形、鈍角三角形的剪拼法存在較大困難，對已有的經驗方法不善于提煉和遷移運用，如倍拼法沒能從直角三角形的運用遷移到鈍角三角形和銳角三角形。

2.三角形操作問題。

關于三角形操作問題的討論，分為兩種情形。情形一，學生已經在方格圖內完成三角形倍拼法的面積公式轉化后，是否還需要提供三角形實物進行操作；情形二，在明確三角形操作活動后，該提供幾個三角形實物進行操作。

在三角形實物操作問題上，很容易走入指令性實物操作和去實物操作兩個極端。實際教學顯示，較多學生盡管能夠在方格圖內完成倍拼法的圖示解說，但在兩個全等銳角三角形、鈍角三角形的實物拼組中出現困難，典型錯誤主要為“將兩個全等三角形的底重合拼組成平行四邊形”（見圖1），主要原因有兩個：一是學生只顧著拼組成平行四邊形，并未進入轉化前后圖形內部聯系的思考，找不到對應的底和高；二是學生離開方格圖，將另一個全等三角形翻轉拼組存在困難（見圖2）。

圖1

圖2

至于需要提供幾個三角形進行操作，關鍵取決于學生對三角形面積公式的已知程度。一旦學生知道了三角形的面積公式，操作活動的性質就從發現公式轉向解釋公式。學生在問題“長方形、平行四邊形面積公式沒有除以2，為什么三角形的面積公式要除以2”的驅動下，對“底×高”“底×高÷2”兩者加強關聯性思考，也就不難用倍拼法進行解釋。而當學生形成倍拼法的操作思路，對于三角形的數量與形狀也就不存在困難。

（三）面積公式推導環節中的著力點是什么？

三角形面積公式推導的整個流程主要包括圖形轉化、尋找聯系、推導公式三個環節，哪個環節是學生最為困難的呢？無論是前測還是課堂探索都顯示，學生對尋找轉化前后圖形內部聯系的意識與能力都非常弱，是面積公式推導的著力點。

以圖3的銳角三角形面積公式推導為例，學生能在方格圖中借助剪拼法將銳角三角形轉化為長方形，列式計算出“3×4=12（平方厘米）”，但在長方形的長、寬與三角形的底、高之間建立對應聯系缺乏思考。簡單地說，在具體三角形面積探索時，學生關注點是算式，而從算式走向公式的推理意識較為薄弱，推理的環節成為面積公式推導過程的重點和難點。實際教學中，多數教師把探索公式的重心放在了圖形轉化上，推理過程只采用了集體問答、教師演示講解的方式，一帶而過，削弱了學生對尋找聯系、推理分析的獨立思考與交流的時空。

圖3

二、教學實踐

（一）直角三角形的面積公式推導

1.回憶三角形按角分類，指出對三角形的面積研究可以從直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形三類進行研究。

2.直角三角形的前測作品分析交流。

圖4-1

圖4-2

圖4-3

圖4-4

圖4-5

整體呈現前測五幅作品（見圖4），組織觀察討論：在直角三角形面積計算方法的探索中，同學們想到了這五種方法，你能看懂嗎？哪些方法是類似的？

生：1、2、3為一類，都是剪下一部分移過去的；4、5為一類，都是用一個相同的三角形拼成了長方形或平行四邊形，面積是原來的2倍。

結合學生的回答提煉“剪拼法”“倍拼法”等方法名稱，對同屬倍拼法的方法圖4-4、圖4-5進行討論：通過倍拼法三角形轉化為長方形，長方形的面積公式是“長×寬”，直角三角形的面積公式是什么？

生1：長×寬÷2。

生2：應該是底×高÷2，長是底，寬是高。

結合生2回答在圖上標注出“底”“高”，并出示箭頭圖，點撥推導過程：長方形的長相當于直角三角形的底，長方形的寬相當于直角三角形的高，因為長方形面積是直角三角形面積的2倍，所以直角三角形的面積公式是底×高÷2。

學生集體完成圖4-5倍拼為平行四邊形的公式推導梳理，得出“直角三角形的面積=底×高÷2”。

組織學生對圖4-1、圖4-2中轉化為長方形的方法進行推導，分別得出“直角三角形的面積=底×高÷2”“直角三角形的面積=底÷2×高”，觀察比較：這兩種方法都轉化為長方形，有什么不同？

生：第一幅（圖4-1）是沿著高的一半剪，第2幅（圖4-2）是沿著底的一半剪。

結合學生的回答，課件演示高折半、底折半所在的中位線。

再次整體呈現圖4的五幅作品，討論：通過倍拼法和剪拼法都把新學的圖形轉化為原來學過的圖形，發現直角三角形的面積公式為“底×高÷2”。這里的“÷2”意思一樣嗎？

生：不一樣，有的是高÷2，有的是底÷2，有的是面積÷2。

小結：采用剪拼法，轉化前后的圖形面積不變；而倍拼法轉化后的圖形面積是原來的2倍。

（二）銳角三角形、鈍角三角形的面積公式推導

1.猜測銳角三角形面積公式，明確探究任務。

通過猜測得出銳角三角形面積公式后，提供學習單，明確探究任務：同桌合作分別采用倍拼法、剪拼法，通過算一算、寫一寫，說明銳角三角形的面積公式是“底×高÷2”。

2.小組合作探究銳角三角形面積公式，全班交流反饋。

選取學生作品（見圖5），學生上臺展示交流，側重介紹轉化方法和公式推導過程。交流中臺上、臺下同學互動提問點評。

圖5-1

圖5-2

圖5-3

圖5-4

圖5-5

3.銳角三角形倍拼法操作活動。

每人提供2個全等的銳角三角形（標注出底），采用倍拼法將三角形轉化為平行四邊形，同桌互相介紹、指認轉化前后圖形的底和高。

呈現將兩個三角形的底重合拼成的平行四邊形錯例（見圖1），組織討論發現，只有將三角形翻轉、底倒著倍拼成的平行四邊形，底和高才是和原來的三角形對應的，才能解釋“底×高÷2”的含義。

4.鈍角三角形倍拼法操作演示推導面積公式。

猜測得出鈍角三角形的面積公式后，教師板貼三個相同的鈍角三角形（不同底邊），組織學生觀察想象：如果把鈍角三角形通過倍拼法研究面積公式，會轉化為什么圖形？另一個鈍角三角形可以怎樣倍拼？

指名學生上臺倍拼另一個鈍角三角形，并比畫平行四邊形和鈍角三角形的底和高，介紹公式推導過程。

5.小結三角形面積公式和字母公式。

（三）三角形面積公式應用與解釋

列式計算鈍角三角形的面積。

反饋算式“10×3÷2”中的“10×3”算的是什么圖形的面積？請你畫出這個平行四邊形。

討論：如果算的是“10×（3÷2）”，你猜采用了哪種轉化方法？你能想象這個轉化過程嗎？

學生結合圖比畫轉化思路，課件演示跟進鈍角三角形剪拼為平行四邊形和長方形的推導過程。

三、教學反思

本課在城鄉多個不同班級進行教學，盡管在面積公式推導的語言表達上存在一定差異，但都表現出很高的探索熱情和探索水平。這一課堂教學效果，充分證實了只要基于學情，探索活動是能真正落地的。

（一）基于學情，扶放結合，探索活動有序充分

讓學生充分經歷三角形面積計算方法的探索過程，是本節課的核心目標。而要讓學生充分經歷多樣化的剪拼、倍拼方法思考過程與方法提煉，既需要充分保障學生的探索時間與空間，又需要教師適度的點撥指導。這就需要對教學內容進行合理取舍，學習任務不宜過多、探索思維跨度不宜過大。

教學中，只保留了基本練習，把大量的時間用于三角形面積公式的探索。面積公式推導也沒有平均用力，而是基于學生前測中三類三角形面積公式自我探索經驗水平，采用了“在直角三角形中梳理發現，提煉方法，形成推導路徑”“在銳角三角形中自主遷移，整體推進，解釋說明公式”“在鈍角三角形中想象類推，主導倍拼，補充說明剪拼”的總體探索框架進行側重，實現了面積公式起于直角三角形、成于銳角（鈍角）三角形的良好格局。

具體地說，先利用直角三角形面積計算前測作品進行梳理提煉，幫助學生明確面積公式探索的路徑、方法與要求；接著將銳角三角形面積公式作為探索活動的主體環節，放手讓學生對倍拼法、剪拼法兩種方法進行自主嘗試、內化遷移；而鈍角三角形面積公式考慮到剪拼法自主探索難度過大，教學中先完成倍拼法的面積公式解釋，然后在練習中進行剪拼法的補充說明。綜觀整個探索過程，目標明確，過程充分，扶放結合，循序漸進。

（二）基于學情，化解難點，學習材料適切有度

在三角形面積公式探索中，主要困難有兩個。一是學生一時無法自發從剪拼法想到倍拼法，二是面積公式推導中不大關注轉化圖形間的內部聯系。

針對第一個難點，教學中選取了格子圖中探索直角三角形、銳角三角形的面積計算方法，在直觀的格子圖中，學生能“看到”倍拼后的圖形，自覺產生采用倍拼法的想法。通過直角三角形面積計算方法的交流梳理，進一步明確了兩種轉化方法。在銳角三角形面積公式推導中，采用了剪拼法、倍拼法整體推進的方式，學生對格子圖表現出較強的探索能力。

針對第二個難點，教學中主要以公式推導的箭頭圖為依托進行提煉、說理。在直角三角形面積計算方法梳理中，重點介入箭頭圖進行推理，并形成面積公式，為銳角三角形面積公式推導提供范例。在銳角三角形面積公式自主探索中，采用了列式計算、公式推導箭頭圖填充兩種形式，列式計算相對具體，為較為抽象的公式推導箭頭圖提供了支持。實際教學顯示，在方格圖中列式計算、填寫箭頭圖能夠讓較多的學生從算式走向公式。

（三）基于學情，注重回應，面積公式理解深刻

三角形面積計算公式含義豐富，學生要深刻理解公式，除了探索過程充分、體驗到位，還需要加強對轉化過程的想象以及轉化后圖形表象的回應。如直角三角形面積公式整體梳理中，組織討論“同樣都是‘底×高÷2’，除以2的意思一樣嗎”，強化了轉化過程的想象。又如，在鈍角三角形倍拼法面積公式推導中，先讓學生想一想“如果把鈍角三角形通過倍拼法研究面積公式，會轉化為什么圖形？另一個鈍角三角形可以怎樣倍拼”。另外，在練習中對“10×3”“3÷2”的追問、補畫和比畫，都有助于學生對轉化后圖形表象的調用，再次回顧了轉化的過程，從而加深了對三角形面積公式的探索印象。