在教材對比中溯本源在本質理解中長智慧
——“雞兔同籠”習題研究

□ 莊旦丹

一、在“測”題中感知“本質”

面對雞兔同籠問題，教師常常有這樣的憂慮：直接放手，大部分學生探究不出結果怎么辦？讓學生在教師的引導下通過列表舉例的方法解決，顯然探究力度不足……基于以上問題，筆者挑選了適量的“雞兔同籠”習題進行前測，以此了解學生的認知起點，前測題如下：

1.觀察下面的圖形，圖中一共有多少條線段，請先把圖形中的每一條線段都寫出來。

2.雞和兔關在同一個籠子里，發現它們的頭有8個，腳有22只，問雞和兔各有多少只。

3.小榮有1元、5角的硬幣共35枚，一共21元5角。那么，1元硬幣有多少枚，5角硬幣有多少枚？

本次前測以125名四年級學生為主體展開調查研究，3題都不會的占調查總人數的29.6%，3題全對的僅占10.6%，52.6%的同學只能答對其中的1～2題。從前測中，引發了筆者3個思考。

思考1：基礎薄弱——學生能找到切入口嗎？

從前測中可以看出，大約一半的學生都是零起點，我們發現這些學生大多數有著最樸素的方法——猜測。如果構建起雞兔只數與總腿數之間的數量關系，是不是就能找到一把解決“雞兔同籠”問題的鑰匙呢？

思考2：方法單一——學生能多角度思考嗎？

從第2、3題的前測結果可以看出，學生的方法比較單一，主要集中在列表法和假設法上。如果能增加選材的豐厚度，將過程多元地演繹出來，是不是可以碰撞出更多思維的火花呢？

思考3：價值缺失——學生能明白意義嗎？

有的學生雖然用假設法解決了雞兔同籠問題，卻無法有理有據地說明思考方法。如果能綜合多種學習資源的共同作用，是不是能更好、更透徹地遷移雞兔同籠的模型思想呢？

基于以上思考，筆者以國內幾個主要版本教材的“雞兔同籠”習題為研究目標，試圖從習題的數量、類型、選材、認知水平等維度出發進行具體比較，發現習題在各個維度上的差別，以此更好地促進本課的教學。

二、在數“題”中理解“本質”

（一）習題數量研究——知差異

表1 “雞兔同籠”各版本教材習題數量統計表

續表

從表1中可以發現，各個版本的教材在習題的數量上還是有比較大的差異：（1）人教版教材把“雞兔同籠”問題單獨放在了“數學廣角”，習題總數量明顯多于其他版本教材。（2）綜合練習在安排的序列和次數上存在差異，如北師大版的題目主要出現在“整理和復習”及總復習中，而其他版本教材的題目則出現在例題后面的專題練習中。需要教師在備課的時候進行挖掘，投入更多的精力。針對思考1中基礎薄弱這一問題，筆者認為人教版在“雞兔同籠”問題習題的安排上相對有更完整的體系，值得一線教師借鑒。

（二）習題水平研究——求提升

筆者參照顧泠沅的數學認知水平層次表對每個版本教材的題目進行了劃分，其中人教版和蘇教版的習題水平情況如表2所示。

表2 數學認知水平層次表

從表2中我們可以清楚地看到兩點:（1）缺少高認知水平的習題。這是否因為“雞兔同籠”這個知識點的內容本身已具有比較綜合的策略運用，因而相對高認知水平的題目會少一些？（2）人教版教材的習題，數學認知水平層次主要集中在水平2至水平3，且同一水平題目有變化。蘇教版則集中在水平1至水平2上，其中蘇教版教材的習題水平1高達83%，沒有較高認知水平的題目。在隨堂練習和綜合性練習中，多數練習都與例題形式完全相同，直接模仿例題解答的練習題比例較高。因此筆者認為，應該設置各種水平層次的習題，讓起點低的學生循序漸進，從而更好地進行學習的遷移。

三、在觀“題”中研究“本質”

（一）習題類型研究——促多元

“雞兔同籠”問題和其他知識點有所不同，其側重點是幫助學生形成解決問題的策略，所以在習題類型上，它通常以模塊的形式呈現，類型比較單一，詳見表3。

表3 “雞兔同籠”各版本教材習題類型統計表

從表3中我們不難發現，各版本教材在習題類型上有著比較明顯的差異：人教版、青島版教材只有“解答題”一種習題類型，因為這兩個版本教材側重的是多種方法（列表、假設、方程法）。北師大版只有填空一種習題類型，主要關注學生如何用不同的列表法來解決問題，其各自的側重點非常明顯。蘇教版教材有兩種習題類型，填空題占了總題量的85.7%，作圖題占了14.2%，這一習題類型的設計更追求用具體、形象的策略來幫助學生破解“雞兔同籠”的知識難點。

（二）習題開放性研究——顯個性

開放題是答案不固定或者條件不完備的習題，可以開拓學生的思維。筆者對幾個版本教材的習題開放性進行了統計，詳見表4。

表4 “雞兔同籠”各版本教材習題開放性統計表

從表4中，我們可以發現這五套教材中均有一定數量的開放題和封閉題。其中蘇教版教材的開放題和封閉題的題量相當，其他版本教材的開放題和封閉題的題量基本呈一邊倒。（1）人教版、青島版滲透從簡單問題入手的策略，呈現了三種方法，即“列表法”“假設法”和“方程法”。編者的意圖是讓學生感受“雞兔同籠”問題的趣味性，基本體現出“精而深”的特點。（2）北師大版教材在五年級上冊的“嘗試與猜想”中安排了“雞兔同籠”問題，強調通過列表解決問題。編者意圖很明確，主要借助“雞兔同籠”這個載體讓學生經歷列表的過程，體會解決問題的一般策略，開放度相對較低，基本體現出“廣而淺”的特點。針對思考2中方法單一這一問題，筆者認為應該增加開放題的比例，給學生的思考架起一個支點，有效地溝通各種方法之間的聯系，促進學生的深層思考。

四、在辨“題”中深化“本質”

（一）習題選材研究——尋策略

本研究采用鮑建生教授對數學習題背景層次的劃分和界定，對五個版本教科書中的“雞兔同籠”習題選材進行分析，詳見表5。

表5 “雞兔同籠”各版本教材習題選材統計表

從表5可以看到，在習題選材上比較集中在“無背景”和“個人生活”兩個層次。（1）人教版兩個版本“無背景”層次中選擇的素材是比較相似的，主要是雞、兔、龜、鶴、蛐蛐、蜘蛛等動物，并且都配有相應的圖，學生比較容易將例題的方法直接遷移到這一類題中。（2）在“個人生活”層次選擇的素材上，善于選擇學生熟知的、身邊的物體引入來引導學生進行比較。試圖通過“雞兔同籠”問題的教學，讓學生能夠熟練地判斷出與這一模型相似的習題，用不同的策略去解決。

（二）習題理念研究——明價值

如果把“雞兔同籠”的多元價值看成是它的“原生價值”，編入不同的教材中，文本的價值就會發生變化。教師只有讀懂教材，才能明確教學價值，進而做出合理的教學反應。

1.鼓勵多種方法，側重一種方法

新人教版教材把“雞兔同籠”問題放在四年級，教師要有意識地引導學生從列表法聯想到假設法。雖然教材里的這幾種方法是并列的，但教師教學時應將重心放在假設法上，理由有三：其一，列表嘗試法雖是最樸素的，但思維層次低；其二，假設法思維層次高，符合四年級學生的認知水平，對培養邏輯推理能力很有價值；其三，方程法是后續學習的基礎，但容易形成思維定式，削弱學生溝通列表法及假設法之間的聯系，所以新人教版教材把“雞兔同籠”從六年級改到了四年級。北師大版教材著力在列表法上做足功夫，可謂“任憑弱水三千，我只取一瓢飲”，引導學生應用逐一列表法、跳躍列表法、取中列表法等來解決“雞兔同籠”問題。

2.滲透多種思想，變出一種思想

人教版教材雖呈現多種方法，但主要定位在假設法上，突出假設推理的思想；北師大版教材完全定位在列表法上，力挺逼近思想。而分類思想、代數思想、模型思想等則根據課堂生成情況加以滲透。只要教師有明確的定位，就不會受到“旁逸斜出”的困擾。針對思考3價值缺失這一問題，上面提到的兩個“一”很好地進行了詮釋。

總之，在“雞兔同籠”的學習中，習題設計非常關鍵。應該做到習題維度更多元、習題類型更豐富、習題編寫更有層次，這樣才能真正地揭示問題的本質，有助于學生的觀察、分析、綜合、推理等核心數學能力的培養。