□王 鑫 沈中宇

一、引言

早在19世紀(jì)，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育之間的關(guān)系就受到歐美數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)史家的關(guān)注。1972年，在第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)上，成立了專門的數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育關(guān)系國(guó)際研究小組（International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics，簡(jiǎn)稱HPM），標(biāo)志著數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育（也簡(jiǎn)稱為HPM）成為數(shù)學(xué)教育學(xué)科中重要的研究領(lǐng)域之一。而在國(guó)內(nèi)，直到21世紀(jì)初，HPM才開始受到學(xué)術(shù)界的普遍關(guān)注，近年來HPM在國(guó)內(nèi)取得了長(zhǎng)足的發(fā)展，教育取向的數(shù)學(xué)史研究逐漸深入，數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐與日俱增[1]。國(guó)內(nèi)小學(xué)階段的HPM研究雖起步較晚，但已涌現(xiàn)了一批精彩的HPM課例，受到越來越多研究者與教師的關(guān)注。

鑒于國(guó)際上HPM研究早有傳統(tǒng)，學(xué)習(xí)和分析國(guó)際HPM研究有助于促進(jìn)我國(guó)數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的研究，然而已有研究表明，國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究缺乏對(duì)國(guó)際上該領(lǐng)域研究動(dòng)態(tài)及成果的關(guān)注[2]，目前國(guó)內(nèi)也鮮有對(duì)國(guó)際上小學(xué)HPM領(lǐng)域教學(xué)實(shí)踐的相關(guān)介紹。因此，我們將從國(guó)際的視野出發(fā)，采擷國(guó)際上典型的HPM課例進(jìn)行介紹，從中歸納出這些課例的特點(diǎn)，給今后的HPM實(shí)踐帶來借鑒和啟示。

二、課例選取

在希臘的數(shù)學(xué)課程中，數(shù)學(xué)史是重要的組成部分，早在20世紀(jì)末期，其教材的每一章中都滲透了數(shù)學(xué)史，且教師必須在課堂中使用[3]，在《學(xué)校中的數(shù)學(xué)》和《科學(xué)與教育》等國(guó)際數(shù)學(xué)教育雜志中也時(shí)常可見來自希臘的HPM研究。在中國(guó)臺(tái)灣地區(qū)，臺(tái)灣師范大學(xué)數(shù)學(xué)系洪萬生教授及其研究團(tuán)隊(duì)多年來一直致力于HPM的研究與實(shí)踐，他們創(chuàng)辦的《HPM通訊》已有十余載，其成果對(duì)海峽兩岸數(shù)學(xué)教育界都產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響[4]。

因此，我們選取了來自希臘和中國(guó)臺(tái)灣地區(qū)的4個(gè)HPM課例[5-8]，其中2個(gè)涉及一筆畫問題，1個(gè)涉及分?jǐn)?shù)乘、除法，1個(gè)涉及圓周率π，期望通過對(duì)這些課例的分析，了解國(guó)際視野下小學(xué)HPM研究的動(dòng)態(tài)，從中汲取經(jīng)驗(yàn)。

三、課例分析

（一）穿越哥尼斯堡橋

“穿越哥尼斯堡橋”是2003年在希臘塞薩洛尼基實(shí)施的一則HPM課例，授課對(duì)象為11歲左右的六年級(jí)學(xué)生。整節(jié)課圍繞以下情境：很多年前，瑞士的大數(shù)學(xué)家歐拉（Leonhard Euler，1707-1783）到德國(guó)哥尼斯堡訪問，偶遇了一群好奇的散步者，他們向歐拉提出心中困惑已久的疑問：能否找到這樣的一條路線，使得從哥尼斯堡的任何地方出發(fā)，不重不漏地穿過所有七座橋（圖1）？

教師先給學(xué)生講述了這個(gè)著名的七橋問題，畫出示意圖（圖2），然后拋出問題1供學(xué)生探究：起點(diǎn)的選取對(duì)找到符合要求的路線有影響嗎？學(xué)生的嘗試均以失敗告終，由此得出結(jié)論：無論起點(diǎn)在哪，都無法找到符合要求的路線，并猜測(cè)這一事實(shí)可能與橋的數(shù)量有關(guān)。于是，教師提出問題2：橋的數(shù)量是導(dǎo)致無法找到路線的原因嗎？如果少一座橋或多一座橋，那么有可能找到不重不漏一次走完的路線嗎？教師分別將六座橋與八座橋的不同分布圖隨機(jī)分發(fā)給學(xué)生，學(xué)生很快便找出符合要求的路線，經(jīng)過分享交流，發(fā)現(xiàn)每種分布圖中符合要求的路線可能還不止一條，但起點(diǎn)與終點(diǎn)始終都是其中特定的某兩個(gè)點(diǎn)。進(jìn)一步，教師又提出問題3：路線存在與否真的是取決于橋的總數(shù)嗎？還是說，取決于橋的分布即連接四個(gè)地區(qū)之間橋的特定數(shù)量呢？三個(gè)問題環(huán)環(huán)相扣，層層深入，最終答案通向一筆畫問題的本質(zhì)，只有以下兩種情形才能找到符合要求的路線：（a）每一地區(qū)都有偶數(shù)座橋與之相連；（b）有且僅有起點(diǎn)和終點(diǎn)兩個(gè)地區(qū)有奇數(shù)座橋與之相連，其余地區(qū)都有偶數(shù)座橋與之相連。

圖1 哥尼斯堡七橋問題

圖2 七橋問題示意圖

（二）阿基米德與π

“阿基米德與π”是2013年在希臘實(shí)施的HPM課例，授課對(duì)象為27名六年級(jí)學(xué)生。教科書上介紹了半徑為α的圓的面積大約是以圓的半徑為邊長(zhǎng)的正方形面積的3.14倍（圖3），那么，為什么π大約是3.14而不是其他的數(shù)，比如3.13或3.15呢？為了回答學(xué)生的這一疑問，教師基于古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德（Archimedes，287B.C.-212B.C.）的方法設(shè)計(jì)了本節(jié)課。

首先，教師提出問題1：為了找出圖3中的圓面積是正方形面積的多少倍，我們需要知道哪些條件？問題2：你們認(rèn)為用圓內(nèi)接等邊三角形的面積來近似替代圓的面積是一個(gè)好辦法嗎？圓外切等邊三角形呢？問題3：如果第一個(gè)三角形（指圓內(nèi)接等邊三角形）的面積比圓面積小，第二個(gè)三角形（指圓外切等邊三角形）的面積比圓面積大，那么你對(duì)圓的面積有何看法？由此學(xué)生產(chǎn)生了一種上限與下限夾逼的思想，從而想到用它們的平均數(shù)來近似替代圓的面積，只需比較圓的近似面積與正方形面積就可以求出π的近似值。借助Cabri軟件的測(cè)量面積功能，學(xué)生算出面積之比為3.247551，與3.14還有一定出入，于是教師又提出問題4：顯然你們對(duì)我給出的三角形并不滿意，關(guān)于如何進(jìn)行下去你們有什么好的建議嗎？受此啟發(fā)，學(xué)生產(chǎn)生了與偉大的數(shù)學(xué)家阿基米德同樣的想法，即增加內(nèi)接與外切多邊形的邊數(shù)。利用軟件作圖、測(cè)量，學(xué)生依次計(jì)算出正六邊形對(duì)應(yīng)的面積之比為3.031122（圖4），正十二邊形對(duì)應(yīng)的面積之比為3.107653，正二十四邊形對(duì)應(yīng)的面積之比為3.132755，正四十八邊形對(duì)應(yīng)的面積之比為3.1393，這是一個(gè)比較令人滿意的π的近似值了。進(jìn)一步，教師又讓學(xué)生挑戰(zhàn)圓內(nèi)接與外切九十六邊形。最后通過問題5：難道你們不認(rèn)為繼續(xù)增加多邊形的邊數(shù)直到將圓完全覆蓋是一個(gè)好主意嗎？給學(xué)生滲透了極限的思想。

圖3 圓和以圓的半徑為邊長(zhǎng)的正方形

圖4 圓內(nèi)接與外切多邊形

（三）魔術(shù)橋

“魔術(shù)橋”是2009年在中國(guó)臺(tái)灣地區(qū)實(shí)施的一系列數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)模塊課程，由三節(jié)內(nèi)容相關(guān)的課構(gòu)成，在五年級(jí)和六年級(jí)的兩個(gè)班級(jí)分別實(shí)施了實(shí)驗(yàn)教學(xué)。圍繞數(shù)學(xué)家歐拉及七橋問題等相關(guān)數(shù)學(xué)史，教師設(shè)計(jì)了十張學(xué)習(xí)單（圖5），包含四大主題：認(rèn)識(shí)歐拉、一筆神功、數(shù)獨(dú)和魔方陣。第一節(jié)課介紹了一筆畫問題，首先，教師播放Flash動(dòng)畫來描述七橋問題，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合學(xué)習(xí)單上的圖解討論歐拉是如何解決這個(gè)問題的，引出一筆畫問題。然后，通過練習(xí)簡(jiǎn)單圖形引導(dǎo)學(xué)生歸納一筆畫問題的原理，并給學(xué)生提供自由設(shè)計(jì)圖形的空間。最后，以拉丁方塊（一種n×n的方陣，恰有n種不同的元素，每一種元素在同一行或同一列里只出現(xiàn)一次）為重點(diǎn)講解歐拉的其他發(fā)明故事，為第二節(jié)課做鋪墊。

圖5 學(xué)習(xí)單“認(rèn)識(shí)歐拉”

第二節(jié)課教師便介紹了改編自拉丁方塊的數(shù)獨(dú)（一種9×9的方陣，根據(jù)已知數(shù)字推理出所有剩余空格的數(shù)字，并滿足每一行、每一列、每一個(gè)粗線宮3×3內(nèi)的數(shù)字均含1～9，不重復(fù)，又稱九宮格），講解過程中融入了數(shù)獨(dú)的歷史。緊接著，第三節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容是相似概念的魔方陣（一種n×n的方陣，組成元素為自然數(shù)1、2、…n，滿足每行、每列及主、副對(duì)角線上各n個(gè)元素之和都相等，又稱幻方或縱橫圖），其間也穿插了魔方陣的歷史。這三節(jié)課的每一主題難度由淺入深，可分開進(jìn)行獨(dú)立教學(xué)，整合起來又構(gòu)成一個(gè)完整的單元。

（四）分?jǐn)?shù)乘、除法

“分?jǐn)?shù)乘、除法”是2009年在中國(guó)臺(tái)灣地區(qū)實(shí)施的單元教學(xué)實(shí)驗(yàn)，對(duì)象為小學(xué)六年級(jí)學(xué)生，教師設(shè)計(jì)了八張相關(guān)的數(shù)學(xué)史學(xué)習(xí)單。首先，圍繞“約分”這一分?jǐn)?shù)乘法的基本活動(dòng)，教師介紹了我國(guó)《九章算術(shù)》中的“更相減損法”以及為其作注解的數(shù)學(xué)家劉徽（公元3世紀(jì)），還有西方的“輾轉(zhuǎn)相除法”，并介紹了古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得（Euclid，330B.C.-275B.C.）和《幾何原本》（圖6）。然后，教師帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)了五年級(jí)所學(xué)的分?jǐn)?shù)加、減法，并引入《九章算術(shù)》中的合分術(shù)（分?jǐn)?shù)的加法）與減分術(shù)（分?jǐn)?shù)的減法），結(jié)合方田章中的題目，讓學(xué)生比較古今算法的異同。接著，利用方田章中已知長(zhǎng)方形土地的長(zhǎng)與寬，求面積的題目和分財(cái)產(chǎn)的問題分別介紹了《九章算術(shù)》中的乘分術(shù)（分?jǐn)?shù)的乘法）與經(jīng)分術(shù)（分?jǐn)?shù)的除法），古今對(duì)照，揭示法則的含義。

圖6 學(xué)習(xí)單“更相減損法”與“輾轉(zhuǎn)相除法”

四、國(guó)際視野下小學(xué)HPM實(shí)踐的特點(diǎn)

通過對(duì)上述課例的分析，我們可以歸納出國(guó)際上小學(xué)HPM實(shí)踐具有以下特點(diǎn)。

（一）數(shù)學(xué)問題環(huán)環(huán)相扣，信息技術(shù)凸顯高效

數(shù)學(xué)史是一個(gè)巨大而豐富的寶藏，歷史上的數(shù)學(xué)問題可以為今天的課堂教學(xué)提供借鑒。“基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)問題串”是以相關(guān)數(shù)學(xué)史料為主線，緊扣數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)，運(yùn)用一定策略提出的一系列具有內(nèi)在聯(lián)系、構(gòu)成一個(gè)整體的數(shù)學(xué)問題。問題串的設(shè)計(jì)與使用為學(xué)生提供了“再創(chuàng)造”的機(jī)會(huì)，有助于學(xué)生在探究中經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感受“探究之樂”，體會(huì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，同時(shí)也有助于增強(qiáng)數(shù)學(xué)教學(xué)的層次性、連貫性和整體性。在“穿越哥尼斯堡橋”與“阿基米德與π”兩個(gè)課例中，均涉及基于數(shù)學(xué)史提出的問題串。前者的問題串如圖7所示，三個(gè)問題使學(xué)生的關(guān)注點(diǎn)從起點(diǎn)的選取到橋的總數(shù)，再到四個(gè)地區(qū)之間橋的數(shù)量分布，大膽猜想，小心驗(yàn)證，一步步揭示出一筆畫問題的本質(zhì)。后者的問題串如圖8所示，經(jīng)過前四個(gè)問題的啟發(fā)，學(xué)生自然而然產(chǎn)生了倍增多邊形邊數(shù)的想法，與阿基米德的方法不謀而合。

圖7 “穿越哥尼斯堡橋”問題串

圖8 “阿基米德與π”問題串

隨著現(xiàn)代信息技術(shù)的飛速發(fā)展，信息技術(shù)在數(shù)學(xué)課堂中發(fā)揮著愈來愈積極的作用，其優(yōu)點(diǎn)至少體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：（1）利用信息技術(shù)可以克服傳統(tǒng)教學(xué)所面臨的困難，創(chuàng)設(shè)良好的教學(xué)環(huán)境，把學(xué)生看不見、摸不著的數(shù)學(xué)生動(dòng)直觀地呈現(xiàn)出來，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，促進(jìn)理解；（2）變學(xué)數(shù)學(xué)為“做”數(shù)學(xué)，使學(xué)生有機(jī)會(huì)像數(shù)學(xué)家一樣去實(shí)踐操作、發(fā)現(xiàn)真理，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的奧秘，收獲成功的喜悅；（3）信息技術(shù)的運(yùn)用可以降低問題解決的難度，符合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)。在“阿基米德與π”一課中，教師借助信息技術(shù)的力量克服了一系列的困難和障礙，讓每一名學(xué)生都有機(jī)會(huì)成為小小數(shù)學(xué)家，把常規(guī)課堂上靠黑板和粉筆難以實(shí)現(xiàn)的操作變?yōu)楝F(xiàn)實(shí)，從正三角形到正六邊形、正十二邊形……最后到正九十六邊形，一步步追尋阿基米德的腳步揭開π的神秘面紗。在這個(gè)過程中，信息技術(shù)把古代數(shù)學(xué)家的精彩思想與巧妙方法活靈活現(xiàn)地再現(xiàn)于今日的課堂上，賦予了數(shù)學(xué)史二次生命，讓數(shù)學(xué)教學(xué)更加高效。

（二）單元模塊教學(xué)一線貫穿，數(shù)學(xué)史學(xué)習(xí)單溝通古今

單元模塊教學(xué)是把教科書中具有內(nèi)在聯(lián)系和共同主題的數(shù)學(xué)知識(shí)串聯(lián)成一個(gè)整體進(jìn)行講授，有利于學(xué)生習(xí)得系統(tǒng)的知識(shí)，知曉前后知識(shí)之間的聯(lián)系。臺(tái)灣的數(shù)學(xué)教育研究者采用模塊教學(xué)，開發(fā)出配套的“數(shù)學(xué)史學(xué)習(xí)工作單”（簡(jiǎn)稱學(xué)習(xí)單）。學(xué)習(xí)單是教師根據(jù)教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)主題，基于數(shù)學(xué)史而設(shè)計(jì)，由教師提供給學(xué)生，幫助學(xué)生完成學(xué)習(xí)任務(wù)的一種學(xué)習(xí)、教學(xué)和評(píng)量工具[9]。學(xué)習(xí)單可以培養(yǎng)學(xué)生自主探究、合作交流的能力，拉近學(xué)生與數(shù)學(xué)、歷史與現(xiàn)實(shí)之間的距離，幫助學(xué)生更好地建構(gòu)對(duì)知識(shí)意義的理解，體驗(yàn)“探究之樂”“文化之魅”等多種價(jià)值。也就是說，教師可以采用附加、復(fù)制、順應(yīng)、重構(gòu)[10]等多種方式將史學(xué)形態(tài)的數(shù)學(xué)史料轉(zhuǎn)化成教育形態(tài)的教學(xué)材料，融入到學(xué)習(xí)單中，進(jìn)而融入數(shù)學(xué)教學(xué)。以上課例為我們做出了很好的示范。

模塊課程“魔術(shù)橋”的一系列學(xué)習(xí)單形象生動(dòng)，圖文并茂，用小故事和漫畫的形式講述七橋問題，并從七橋問題衍生出一筆畫問題、拉丁方塊問題等，利用數(shù)學(xué)史串聯(lián)了數(shù)學(xué)知識(shí)。“分?jǐn)?shù)乘、除法”學(xué)習(xí)單既涉及東方著作《九章算術(shù)》“更相減損法”的古今對(duì)照，又有西方經(jīng)典《幾何原本》中的“輾轉(zhuǎn)相除法”與之遙相呼應(yīng)，利用基于數(shù)學(xué)史設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)單讓學(xué)生體會(huì)到了探究的樂趣，并讓劉徽與歐幾里得兩位大數(shù)學(xué)家穿越時(shí)空進(jìn)行“對(duì)話”，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的多元文化。

五、啟示與展望

放眼國(guó)際視野下小學(xué)HPM課堂，我們看到數(shù)學(xué)史的種子已經(jīng)深深種在了各國(guó)數(shù)學(xué)教育研究者的心中。小學(xué)階段是實(shí)施數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的一片亟待開發(fā)的沃土，在今后的HPM實(shí)踐中，我們可以嘗試從以下一些方面進(jìn)行改進(jìn)：對(duì)于概念課的教學(xué)，教師應(yīng)該思考如何順應(yīng)歷史上數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生、發(fā)展來設(shè)計(jì)問題串，為學(xué)生搭建腳手架，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究；小學(xué)生的思維一般離不開具體事物的支持，因此教師要充分利用信息技術(shù)這個(gè)數(shù)與形之間的媒介，再現(xiàn)數(shù)學(xué)家的經(jīng)典思想方法，讓數(shù)學(xué)在課堂上“動(dòng)”起來，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)；此外，數(shù)學(xué)史融入小學(xué)課堂也不僅僅局限于單個(gè)課例的開發(fā)，今后可以更多地嘗試進(jìn)行模塊教學(xué)，尋找合適史料設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)單開展教學(xué)，從而調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性，滲透多元文化，讓數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中的融入發(fā)揮更大的教育價(jià)值。

以上介紹的課例中出現(xiàn)的《九章算術(shù)》與劉徽等史料也提醒我們，曾幾何時(shí)，中國(guó)的數(shù)學(xué)水平世界領(lǐng)先，我們?cè)趯W(xué)習(xí)和借鑒國(guó)外數(shù)學(xué)教育先進(jìn)經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)，還要充分挖掘和利用自己本國(guó)的數(shù)學(xué)史資源和數(shù)學(xué)教學(xué)資源，將中國(guó)博大精深的數(shù)學(xué)文化，具有中國(guó)特色的數(shù)學(xué)教育傳播到世界各地。

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