HPM與數學德育*

□ 岳增成

一、引言

鑒于“德”在學生成長中的重要作用，德育一直是我國教育的傳統。近年來，隨著“立德樹人”教育根本任務的提出，德育受到了更為廣泛的關注。數學作為基礎教育的重要學科之一，理應在德育方面扮演重要的角色。然而，由于數學學科演繹為主的屬性，使得很多數學教師認為，數學在德育方面發揮的作用有限，除了理性精神，數學教學很難體現出多元的德育價值。那么，數學教學是否真的很難在德育方面發揮作用？本文將從HPM（History and Pedagogy of Mathematics，數學史與數學教育）的視角出發，來探索數學教學與德育的關系。特別地，本文將從數學史與德育的關系出發，探索數學史教育價值中的德育元素，并借助已開發的HPM課例來說明小學數學教學中進行德育應遵循的原則。

二、數學史教育價值中的德育元素

數學史的教育價值一直是HPM研究的重要課題，早在1972年HPM國際研究小組成立之前，就有很多數學家、數學史家對此進行了論述。比如美國數學史家瓊斯（P.S.Jones，1912-2002）認為數學史能激發學生的學習興趣，并讓他們欣賞和熱愛數學；數學概念漫長而曲折的歷史，能讓學生獲得心理安慰，學生不會因自己的不理解而擔憂；數學史能夠澄清數學的意義，解釋數學的本質，加深學生對數學的理解[1]。HPM國際研究小組成立后，對數學史教育價值的論述更為系統，Tzanakis與Arciva從數學學習、數學和數學活動的本質、教師的背景知識、數學情感、作為文化活動的數學五個方面梳理了數學史的教育價值[2]，Gulikers、Blom在總結前人的基礎上，建立了數學史教育價值的三維框架：概念視角、文化視角、動機視角，并從學生、教師兩個方面對每一個維度進行了說明[3]。從中不難發現大量德育元素的存在。

考慮到教育文化的差異性，比如國外HPM學者強調數學課堂中原始文獻的使用，這在中國的小學數學教學中是行不通的，除了小學生的認知水平、語言水平較弱外，這樣的做法無益于教學目標的達成，因此，本文從具有本土特色的數學史教育價值出發，來闡明數學史教育價值中的德育元素。具有中國特色的數學史教育價值是基于已開發的多個HPM課例，建立在與四基、四能、數學核心素養、情感與信念緊密的關系之上，結合國外數學史教育價值方面的文獻構建出來的，包括知識之諧、方法之美、探究之樂、能力之助、文化之魅、德育之效[4][5]。需要說明的是，數學史教育價值中已有德育之效一維，下述前五種價值中的德育元素都可歸類于此，但出于為教學實踐提供參考的目的，本文對每一種價值中的德育元素進行了討論，且為了避免重復，僅在德育之效中討論前述五種價值未涉及的德育元素。

（一）知識之諧

數學是什么？很少有小學生會去思考這個問題，當然也不需要他們去思考這個問題。但這一數學觀的認識論問題又無時無刻不在影響著小學生的數學學習。因此，教師應該引導小學生形成理想的數學觀。什么是理想的數學觀？柏拉圖主義的數學觀，即數學是由永恒準確的事實構成的穩定體系，工具主義數學觀，即數學是安排有序的工具集合，不是理想的數學觀，教師應引導小學生認識到數學是源于并指向某些人類需要的數學知識的進化體。該如何引導？數學史為我們提供了一條近路。因為數學史告訴我們，數學并不是一開始發現時的樣子，它經歷了從不完善到相對完善的過程。因此，借鑒、重構歷史的數學教學，將使知識的發生、發展相對自然，符合學生的認知基礎，易于為學生所理解，同時學生在經歷知識發生、發展的過程中，感受到了數學知識進化的本質特征，有利于學生理想數學觀的形成。此外，學生在知識的發生、發展過程中，感受到了知識學習的必要性，激發了自身的學習動機。

（二）探究之樂

數學活動的本質是什么？使學生獲得這一問題的正確答案將有助于他們的數學學習。歷史告訴我們數學是人做出來的，數學家也會犯錯誤。因此，利用數學史設計探究活動供學生深度參與將是發展學生數學活動觀的重要一步，比如從歷史上看，對角的認識有質（形狀和特征）、量（大小）、關系（兩邊的關系）三個方面，為了幫助二年級的學生從量的角度認識角，教師設計了鳥媽媽喂食三個鳥寶寶，誰嘴巴張開得大，先喂誰的探究任務，學生在“做數學”的過程中，合作探尋問題的答案。在諸如此類的探究活動中，學生將積累豐富的數學活動經驗，同時通過努力解決問題會有成功的體驗，當然，探究不會一帆風順，當學生遭遇挫折時，如果讓他們知道數學家面對相同的問題時，也遭遇了挫折，將會極大提升他們數學學習的自信心，培養他們的應挫能力，進一步激發他們克服困難的勇氣。

（三）方法之美

歷史上很多問題的解答、很多命題的證明會有多種多樣的方法，而課堂中學生想出的方法相對有限。當學生探究出了一個問題的多種解法，比如學生合作探究出了計算“67÷5”的多種方法，一個一個地減，將67拆分成60和7，再分別除以5，將67拆分成50和17，再分別除以5，豎式除法等，一個命題的多種證明方法，比如證明自己畫出的兩條直線平行時，學生想出了“垂直于同一直線的兩直線平行”“如果兩條直線間的距離相等，那么這兩條直線平行”，讓他們穿越時空，與古人對話，比如康熙皇帝編制的《御制數理精蘊》中的除法計算方法，比如墨家著作《墨經》中的“平，同高也”，將會拓寬他們的視野，使他們感受到古人的偉大，同時當他們發現自己的方法與古代偉人的方法相似時，或自己的方法比古人的方法更精妙時，自信心得到提升。這些都將激勵他們開拓進取，思考出更加精妙的方法。

（四）能力之助

能力與德育屬于不同的范疇。能力之助是指數學史有利于培養學生的數學核心素養以及閱讀、寫作等方面的能力，這樣的解釋很難讓人聯想到能力與德育的關系。事實上，能力與德育并不是完全分離的，比如合作能力與表達能力，以數學史為參照設計的探究活動有利于這兩種能力的培養，同時此類探究小組合作的要求，需要學生相互尊重、相互配合、學會傾聽，這些都屬于德育的范疇。因此在能力之助中也有德育的元素，但這些并不是數學史本身所蘊含的德育元素，而是融入數學史的探究活動帶來的。

（五）文化之魅

數學是不同時代、不同民族、不同地域的人基于不同的目的創造出來并不斷完善起來的。因此，將數學史融入數學教學，比如阿基米德、劉徽求解圓面積的方法等內容，不僅會使學生認識到數學發展的特征、數學文化的多樣性，意識到數學是全人類共有的成果，同時還可以讓學生認識到某些地區某個年代獨特的數學魅力。同時，數學的發展與社會、其他學科甚至是數學內部分支的發展密切相關，將數學史融入教學，比如中國古代的土地測量與面積計算，將學生“帶回”知識產生的特殊時代背景下，讓他們認識到數學與社會生產、社會背景的緊密聯系。

（六）德育之效

數學是理性的代名詞，但數學史特別是歷史上數學人物的奇聞逸事，比如在“大數的認識”中，借用語文片段中阿基米德帶領民眾抵御外侵的故事，引入阿基米德數沙礫數量的故事，進而引出大數，將數學賦予人的元素，恢復了數學背后的人文精神，使數學更有趣味性，激發學生學習數學的興趣，增強學生學習數學的自信心；數學家刻苦鉆研、不怕犧牲的精神，比如笛卡爾觀察蒼蠅發現數對的故事，阿基米德因沉湎于數學研究而被殺害的故事，將會激勵學生刻苦學習，相信真理，勇于奉獻。此外，數學史還將有助于學生歷史感、民族認同、民族自信等的培養，比如讓學生知悉了古埃及人利用加倍和減半的方法進行乘除法運算是人類的一大進步，引導他們莫從現代人的視角來看待這種方法，將使學生走進古人心靈，比如讓學生知道中國2000多年前就開始使用負數，而西方直到20世紀才接受負數，有助于學生民族自信的培育。

三、將數學史融入小學數學教學實施德育的原則

（一）教學目標導向原則

數學史的六種教育價值告訴我們，將數學史融入數學教學的目的是為了教學目標的達成，而不是教數學史。因此，教學目標導向原則，是將數學史融入數學教學進行德育的第一步。所謂的目標導向，是指數學史的融入是為了切實實現多維的教學目標，而不僅僅停留在激發學生學習興趣、培養民族自信等德育價值層面。在“小數的初步認識”教學中，讓學生掌握小數的數位順序表，認識一位小數、兩位小數，并能夠進行正確的讀寫是必須達成的知識目標，除此之外，教師還設置了感受小數產生的必要性；通過小數符號的探究，初步了解小數符號的本質、特點以及各民族對小數符號發展做出的貢獻；了解小數的起源與發展，增強民族自豪感等過程性目標與德育目標。基于此，教師借鑒歷史上小數產生的動因之一——復名數的換算，讓學生認識到小數產生的必要性，通過探究活動理解十分位、百分位，通過小數符號的創造與小數歷史及符號的微視頻介紹，讓學生了解小數的起源與發展，知道中國古代數學家對小數理論的發展做出的卓越貢獻，體會到自己也能像數學家一樣創造符號，在學習興趣濃厚的同時，自信心也隨著增強。

（二）史料的顯性呈現與隱性使用相結合

正如上面所言，數學史融入數學教學不是為了教數學史。那么，在保證其他目標達成的前提下，應該怎樣融入數學史，以便更有效地進行德育？如何融入數學史已經有了答案，即附加式，展示有關數學家的圖片，講授相關數學家的故事等，去掉之后對教學內容沒有太大的影響；復制式，直接采用歷史上的數學問題、解法等；順應式，根據歷史材料，編制數學問題，或對歷史上的數學思想方法進行適當改變；重構式，借鑒或重構知識發生、發展的歷史[6]。但如何更有效地進行德育？鑒于德育需要引導和滲透的特點，在運用數學史料時，要將史料的顯性呈現與隱性使用結合起來。就附加式、復制式而言，它們本身就是數學史料的顯性使用，但將“顯性”運用到什么程度將對德育價值的實現至關重要。比如，就“三角形的面積公式”教學而言，當學生探究出了利用“出入相補法”推導三角形面積的公式時，教師只呈現劉徽的生平、成就，告訴學生劉徽很早就運用這種方法推導出了三角形的面積公式，不會對學生的德育有很大的影響，但如果學生思考出“出入相補法”后，教師呈現劉徽是如何推導三角形面積公式的，并設問“你們覺得劉徽的方法怎樣？”“你們的方法和劉徽的方法比較如何？”“你們對此有什么樣的感受？”學生會更有感觸，如果此時再用學生能夠理解的語言附加地介紹中國古代數學重要基礎“出入相補法”及一些簡單的應用，對學生德育的影響將會更大。順應式是數學史料的隱性使用，如果不加說明，對學生而言，改編后的題目和其他題目沒有區別，而如果對題目、思想原型或者出處稍加介紹，比如改編后的“雞兔同籠”問題，當告訴學生這是中國古代最知名的數學問題之一，世界各地都有相似的題目時，學生就會穿越時空，與古代不同社會的人解決共同的問題。重構式的使用，既可做到顯性呈現，又可做到隱性使用，比如上述“小數的初步認識”中的引入環節，用姚明2米2分米6厘米的身高換算就重構了歷史，因為復名數的換算是小數產生的重要動因之一，此外這一情境的安排讓學生感受到小數產生的必要性，感受到知識的發生、發展過程，這是隱性使用的體現。當然也可在小數概念產生后，附加地介紹小數的歷史，做到隱性使用與顯性呈現的結合。

（三）信息技術支持的原則

相較于其他內容的講解，因教師對數學史內容相對陌生，數學史的使用被賦予了較多的教育價值，其講解難度更大。因此，利用數學史進行德育時，教師應注重信息技術的支持，比如微視頻、計算機軟件動態演示功能的使用。數學史微視頻能將教師課前準備好的與教學內容高度相關的數學史料，用圖、文、聲、像等形式形象地展示出來，吸引學生的目光，讓學生沉浸其中，且避免了教師冗長的講授，以及因不熟悉引發的錯誤，提高了教學的效率。比如，學生在學完平行四邊形、三角形、梯形的面積后，教師播放“出入相補法”的微視頻，微視頻腳本涉及了劉徽的生平介紹，主要事跡特別是《九章算術》的內容梗概與歷史地位，中國古代“出入相補”思想、應用、價值，最后以“任何直線型組合圖形都可通過割補，組合成已學過的圖形，求出其面積”結束。計算機軟件的動態演示功能能將數學史內容的靜態呈現轉變為動態演示，比如學生基本掌握了兩位數被一位數除后，教師利用PPT展示了歷史上整數除法運算的多種方法，其中的一種方法來自《御制數理精蘊》，教師先呈現了改編為數學語言的方法，如圖1左圖（未標記出商、除數、被除數），讓學生猜測、解釋這個算式，然后呈現未標記出的名稱，并將其動態轉化為右圖。

圖1

四、結語

數學德育是一個至關重要但未被深入研究的課題。本文從HPM視角出發，探索了具有中國特色的數學史教育價值中的德育元素，不難發現，這些教育價值中蘊含了豐富的德育元素，數學史融入小學數學教學的確是實施數學德育的一條近路。但利用數學史來實施德育不是一件容易的事情，因為學生需要投入大量的精力與考試評價相關的知識掌握、能力發展，而德育不是考試評價的方向。因此在將數學史融入小學數學教學進行德育時，應合理設置知識、能力、德育目標，并以此為導向進行教學，切莫為了德育而忽略知識、能力目標的達成，為了知識、能力目標的達成而忽視德育的實施；在保證知識、能力目標達成的前提下，顯性呈現、隱性使用數學史，使德育價值最大化；同時，適時地借助微視頻、計算機軟件的動態演示功能提高效率。

總之，在利用數學史實施德育時，應該強調效果和效率：知識、能力、德育目標都要實現；在有限的時間內，通過合理設計使得德育價值最大化。此外，鑒于德育范疇較廣，內涵較難界定的現實，不妨利用行動研究、扎根研究的方法，從教學一線做起，來逐步形成、完善德育理論。

參考文獻：

[1]Jones,P.S.The history of mathematics as a teachingtool[J].Mathmeticsteacher,1957,50(1):59-64.

[2]Fauvel,J.&Van Maanen,J.History in Mathematics Education[M].Dordrecht:Kluwer Academic Publisher,2000:200-204.

[3]Gulikers,I.&Blom,K.‘A history angle’:A survey of recent literature on the use and value of history in geometrical education[J].Educational studies in Mathematics,2001,47(2):223-258.

[4][6]汪曉勤.HPM與小學數學教學[J].小學數學教師，2017，（7-8）：77-82.

[5]Wang,X.,Qi,C.&Wang,K.A categorization model for educational values of the history of mathematics:An empirical study[J].Science&Education,2017,26(7):1029-1052.