例說(shuō)平面向量中的四個(gè)常用結(jié)論

■侯怡含

從近幾年高考題中的平面向量問(wèn)題可以看出，在選擇題和填空題中主要考查向量的基本知識(shí)，在解答題中主要考查有關(guān)向量的計(jì)算問(wèn)題。下面舉例說(shuō)明平面向量中的四個(gè)常用的結(jié)論，供大家學(xué)習(xí)與參考。

結(jié)論1：設(shè)向量不共線，點(diǎn)P在直線AB上，則，且λ+μ=1，λ，μ∈R。

例 1設(shè)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，則=( )。

解：因?yàn)镈，E，F(xiàn)分別為△ABC的邊BC，選A。

例 2如圖1，在△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，若AB=為( )。

圖1

解：因?yàn)锽，D，C三點(diǎn)共線，所以λ=1，解得λ=

過(guò)點(diǎn)D分別作AC，AB的平行線交AB，AC于點(diǎn)M，N，則

因?yàn)椤螧AC=60°，所以四邊形ANDM是菱形，可得||=3，即得||=12。

友情提醒：解答本題的關(guān)鍵是利用結(jié)論1求出λ的值。

結(jié)論2：若向量a，b不共線，則λ a+μb=0的充要條件是λ=μ=0。

例 3已知向量a=2e1-3e2，b=2e1+3e2，其中e1，e2不共線，向量c=2e1-9e2。問(wèn)是否存在這樣的實(shí)數(shù)λ，μ，使得向量d=λ a+μb與c共線。

解：向量d=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)=(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2，要使向量d與c共線，則存在實(shí)數(shù)k滿(mǎn)足d=k c，即(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2=2k e1-9k e2，

故存在這樣的實(shí)數(shù)λ，μ，只要λ=-2μ，就能使得d與c共線。

友情提醒：在求解向量問(wèn)題中，要注意結(jié)論2與待定系數(shù)法的結(jié)合應(yīng)用。

(方法2)如圖2，連接MN 并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T。

圖2

友情提醒：平面上任意向量v可分解為不共線向量e1，e2的線性組合:v=x e1+y e2。若e1，e2是平面內(nèi)的一組基底，則對(duì)該平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2，特別地，當(dāng)a=0，即λ1e1+λ2e2=0時(shí)，必有λ1=λ2=0。

結(jié)論3：對(duì)于不為0的實(shí)數(shù)λ，若=λ則A，B，C三點(diǎn)共線。

例 5設(shè)D，E，F(xiàn)分別是△ABC的邊BC，CA，AB上的點(diǎn)，且，則( )。

A.反向平行 B.同向平行

C.互相垂直 D.既不平行也不垂直

友情提醒：利用結(jié)論3是解答本題的關(guān)鍵。證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，可用向量共線來(lái)解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線。

圖3

解：由=0，可知G為△ABC的重心。

取AB的中點(diǎn)D，連接G D，則

友情提醒：三角形的三條中線必相交于一點(diǎn)，其交點(diǎn)為三角形的重心。三角形的重心分割中線所成的線段之比為2∶1。本題主要考查向量的平行四邊形法則的應(yīng)用。