聚焦20 17年高考中的平面向量問題

■張啟兆 陳偉斌

平面向量是高中數學的重要內容，它集“數”“形”于一體，是溝通代數與幾何的橋梁。高考主要考查向量的基本概念及基本運算，其中對向量的線性運算、坐標運算、數量積運算的考查尤為突出，同時也注重考查向量與其他知識的交匯問題。下面從20 17年高考的平面向量試題中選取典型題目，剖析高考中此類問題的命題方向和考查目標，希望對同學們的學習有所幫助。

一、向量的線性運算

例 1 (20 17年高考天津卷改編)已知D為△ABC所在平面內的一點，若=則( )。

評注：在△ABC中是平面向量的減法運算法則，熟練掌握這一運算法則有助于快速解題。

二、向量的坐標運算

例2(20 17年高考山東卷改編)已知向量a=(2，6)，b=(-1，3λ)，若a∥b，則λ=____。

解：由a∥b，可得-1×6=6λ?λ=-1。

評注：向量的坐標運算是向量中最簡單、最基本的運算，它把向量的幾何運算轉化為代數運算，是以“數”解“形”的典型例證。本題主要考查了向量平行與向量的坐標運算。解答本題的關鍵是要熟記兩向量平行的坐標表示。

例3(20 17年高考新課標卷改編)已知向量a=(-1，2)，b=(7m，1)。若向量a+b與a垂直，則m=____。

解：由題意得a+b=(7m -1，3)。

由a+b⊥a，可得 (a + b)·a=0，所以-(7m -1)+2×3=0，解得m=1。

評注：解答本題的關鍵是要熟記向量垂直的坐標表示。

三、向量的模

例4(20 17年高考新課標卷改編)已知向量a，b的夾角為30°，|a|=2，|b|=3，則|a+2b|=____。

評注：在向量模的計算中，求平方是常用且有效的方法，通過平方以及利用向量數量積等知識將向量的模轉化為實數問題來研究。

四、向量的數量積

例5(20 17年高考新課標卷改編)已知三角形ABC是邊長為2的等邊三角形，P為三角形ABC所在平面內一點，則2的最小值是( )。

解：如圖1，以BC的中點D為坐標原點，BC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系x Dy，則點B(-1，0)，C(1，0)，A(0，3)。

圖1

設點P(x，y)，則=(-x，-y)，(-1-x，-y)，=(1-x，-y)，

評注：抓住問題的特點，建立適當的坐標系，利用坐標法解決向量問題是一種重要的解題手段。求解向量的數量積問題有“三法”：定義法、坐標法、基底法。本題也可以用定義法和基底法來求解。向量的數量積有兩種表現形式：一是已知兩個向量的模和夾角求數量積，二是已知兩個向量的坐標求數量積。

評注：本題是利用“算兩次”的思想方法求解的。解題時，通過向量的模與向量運算的靈活轉換，應用平面向量的夾角公式，建立方程求得λ的值。

圖2

五、平面向量的基本定理

例 8(20 17年高考天津卷)如圖3，在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2。若(λ∈R)，且=-4，則λ 的值為 。

圖3

評注：解答本題時，選取基底很重要。題中向量的模和夾角已知，選作基底易于計算數量積。

例 9(20 17年高考新課標卷)如圖4，在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上。若則λ+μ的最大值為( )。

圖4

解：由圖4可建立直角坐標系x By，則點A0，1()，B0，0()，C2，0()，D2，1()，P x，y()。

評注：應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用向量的平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數乘運算。用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決問題。

六、平面向量與三角函數的交匯

例 10(20 17年高考江蘇卷)已知向量a=(cosx，sinx)，b=(3，-)，x∈[0，π]。

(1)若a∥b，求x的值。

(2)記f(x)=a·b，求f(x)的最大值和最小值以及對應的x的值。

解：(1)因為a=(cosx，sinx)，b=(3，-)，a∥b，所以-cosx=3sinx。

若cosx=0，則sinx=0，這時與sin2x+cos2x=1矛盾，故cosx≠0，于是可得

評注：向量與三角函數的交匯問題，通常有向量與解三角形相結合的問題，也有向量與三角函數圖像平移相結合的問題，考查的難度屬于中等偏易。