平面向量的創新題賞析

■吳琳琳

平面向量作為高考的必考內容，一直受到命題者的青睞，尤其是與平面向量有關的多選填空題，值得大家關注。這類問題形式新穎，內容綜合，具有一定的創新性與挑戰性。讓我們賞析幾例。

一、新坐標系下的向量運算

例 1如圖1，設α∈(0，π)，且當∠x O y=α時，定義平面坐標系x O y為α-仿射坐標系，也稱為斜坐標系。

圖1

在α-仿射坐標系中，任一點P的斜坐標這樣定義:e1，e2分別為與x軸，y軸正向相同的單位向量，若=x e+y e，則記為12=(x，y)，那么在以下的結論中，正確 的是____。(填上所有正確結論的序號)

①設a=(m，n)，b=(s，t)，若a=b，則m=s，n=t；② 設a=(m，n)，則 a =；③設a=(m，n)，b=(s，t)，若a∥b，則m t-n s=0；④設a=(m，n)，b=(s，t)，若a⊥b，則 m s+n t=0；⑤設a=(1，2)，b=

解：顯然①正確。由 a =|m e1+n e2|誤。由a∥b，可得b=λ a(λ∈R)，所以s=λ m，t=λ n，則 m t-n s=0，③正確。由a·b=(m e1+n e2)·(s e1+t e2)=m s+n t+(m t+n s)cosα≠m s+n t，可知④錯誤。根據數量積公式a·b=a bcos〈a，b〉，a =，a·b=4+5e1·e2，可得4+=(5+4e·e)·cos，可知12e·e=--12⑤正確。答案為①③⑤。

評注：對于平面直角坐標系來說，若兩個單位基向量i與j互相垂直，則i·j=0。對于斜坐標系來說，e1·e2=cosα。它們表面上看似乎不同，其實當α為直角時，斜坐標系就變成了直角坐標系。

二、新定義下的向量運算

例2定義兩個平面向量的一種運算:a?b=|a|·|b|sin〈a，b〉。現有關于平面向量的上述運算的四個結論:①a?b=b?a；②λ(a?b)=(λ a)?b；③若a=λ b，則a?b=0；④若a=λ b且λ＞0，則(a+b)?c=(a?c)+(b?c)。其中恒成立的結論是____。(只填寫序號)

解：對于①，由向量的模是實數，且實數的乘法運算滿足交換律，可知a?b=b?a成立。對于②，λ(a?b)=λ|a|·|b|sin〈a，b〉，(λ a)?b=|λ a|·|b|sin〈λ a，b〉，當λ＜0時，λ(a?b)=(λ a)?b 不成立。對于③，若a=λ b，則sin〈a，b〉=0，故a?b=0恒成立。對于④，若a=λ b，則a+b=(1+λ)b，(a+b)?c=|(1+λ)b|·|c|sin〈b，c〉，(a?c)+(b?c)=|λ b|·|c|sin〈b，c〉+|b|·|c|sin〈b，c〉=|(1+λ)b|·|c|sin〈b，c〉，故(a+b)?c=(a?c)+(b?c)恒成立。答案為①③④。

評注：對新定義問題，可按照給定的法則進行運算即可。此類問題雖然給出的信息比較多，其實質卻很簡單，利用簡單的向量運算即可解決。

三、平面向量與三角形“四心”問題

例 3O是平面α上一定點，A，B，C是平面α上△ABC的三個頂點，∠B，∠C分別是邊AC，AB對應的角。下列命題正確的序號是 。

評注：當平面向量與三角形的“四心”結合在一起時，更能體現平面向量的幾何特征。本題看似復雜，其實只是考查了平面向量的共線定理。

四、平面向量在三角函數中的應用

例 4求cos5°+cos77°+cos149°+cos 221°+cos 293°的值。

解：如圖2，在平面坐標系x O y中，作一個正五邊形A1A2A3A4A5。

圖2

評注：本題將正五邊形合理地放置在直角坐標系中，使原本讓人無從下手的三角問題轉化為容易解決的向量問題。類似的問題有sin5°+sin77°+sin149°+sin221°+sin 293°=0，請同學們證明之。