平面向量求解中的誤區警示

■李佳寧

平面向量融數、形于一體，具有幾何與代數的“雙重身份”，它是溝通代數、幾何與三角函數的一種工具，有著極其豐富的實際背景。下面匯集了求解向量問題中的種種錯誤，并剖析其原因，希望對大家的學習有所幫助。

誤區1：忽視向量概念中的特殊情況

例 1下列四個命題，其中正確命題的個數為( )。

A.1 B.2

C.3 D.4

錯解：四個命題都正確，應選D。

剖析：根據向量數量積的概念，可知0·a應是一個實數0，0·a應是一個向量0，①正確，②錯誤。由向量的減法運算法則和向量共線的意義，可知③正確。由 a·b =a ·b cosθ ，可知當θ=0或θ=π時，a·b =a ·b成立，④錯誤。應選B。

警示：求解有關向量問題，一定要注意向量的本質屬性，分清特殊情況和一般成立的關系，注意零向量和實數0的區別。

變式訓練1：下列命題正確的是( )。

A.a∥b，b∥c?a∥c

B.若a與b互為相反向量，則a+b=0

C.平面向量a，b平行的充要條件是存在不全為0的實數λ1，λ2，使得λ1a+λ2b=0

D.若a與b互為相反向量，則a≠b

提示：當b=0時，A錯誤。互為相反向量的和為零向量而不是實數0，B錯誤。當a=0時，其相反向量也是0，此時a=b，D錯誤。應選C。

誤區2：忽視兩個向量的夾角

例 2在△ABC中，a=5，b=8，C=60°，則的值為( )。

警示：利用向量可以平移的特點，將兩個向量平移為共起點的兩個向量，再求兩個向量的夾角。兩個向量a與b的夾角公式為量a與b的夾角。

變式訓練2：若非零向量a，b滿足|a|=，且 (a - b)⊥ (3a +2b)，則向量a與b夾角的正弦值為( )。

誤區3：忽視一個向量在另一個向量方向上的投影

例 3已知向量a，b的夾角為45°，且b在a方向上的投影等于( )。

剖析：上述解法忽視了向量b在a方向上的投影的意義，錯解求的是向量a在b方向上的投影。

故向量b在a方向上的投影等于

警示：若向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，〈a，b〉=θ，則向量a在b方向上的投影為問題的兩個注意點:①向量a在b方向上的投影是有序的；②向量a在b方向上的投影是一個數量，可正，可負，可為零。

變式訓練3：已知點A(-1，1)，B(1，2)，C(-2，-1)，D(3，4)，則向量AB→在CD→方向上的投影為( )。

誤區4：忽視向量數量積與實數乘法的區別

例 4已知a，b都是非零向量，且向量a+3b與7a-5b垂直，向量a-4b與7a-2b垂直，求向量a與b的夾角。

錯解：由題意可得方程組:

由2a-b=0，可知a與b同向，故向量a與b的夾角為0°。

剖析：對于實數a，b，若a b=0，則a=0或b=0，但對于向量a，b，若滿足a·b=0，則不一定有a=0或b=0，因為a·b=|a|·|b|cosθ與θ有關，當θ=90°時，a·b=0恒成立，此時a，b均可以不為0。

把b2=2a·b代入7a2+16a·b-15b2=0，得a2=2a·b。

故a2=b2=2a·b，則cos〈a，b〉=可得〈a，b〉=60°，即向量a與b的夾角為60°。

警示：向量的數量積運算不滿足結合律，也不滿足消去律，解題時要引起大家的注意。

變式訓練4：以下四個命題，其中正確命題的個數為( )。

① (a · b)·c=a·(b · c)；②|a+b|≤a +b；③ (a - b)·c=a·c-b·c；④如果a·b=a·c，且a≠0，那么向量b，c在a方向上的投影相等。

A.1 B.2

C.3 D.4

提示：向量的數量積的運算不滿足結合律，①錯誤。由向量幾何運算的意義及平行四邊形法則，可知②正確。由向量的運算法則，可知③正確。a·b=a·c，說明b，c在a方向上的投影相等，④正確。應選B。

誤區5：誤認為向量a與b的夾角為鈍角(銳角)?a·b＜0(＞0)

例 5已知a=(2，1)，b=(λ，1)，λ∈R，a與b的夾角為θ。若θ為銳角，則λ的取值范圍是( )。

剖析：上述解法忽視了向量的夾角與向量的數量積的關系。當θ為銳角時，應滿足0＜cosθ＜1，而錯解中沒有排除cosθ=1，即兩向量共線且同向的情況。

警示：一般地，向量a，b為非零向量，a與b的夾角為θ，則〈a，b〉為銳角?a·b＞0為鈍角?a·b＜0且a與b不共線?

變式訓練5：已知a=(1，2)，b=(1，1)，且a與a+λ b的夾角為銳角，則實數λ的取值范圍為( )。

提示：由題意得a·(a+λ b)＞0，且a與a+λ b的夾角不等于0°。

誤區6：忽視共線向量或三點共線的條件

例 6已知同一平面上的向量a，b，c兩兩所成的角相等，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，求向量a+b+c的長度。

錯解：易知a，b，c均為非零向量。

設a，b，c所成的角均為θ，則3θ=360°，即θ=120°。

所以a·b=|a|·|b|cos 120°=-1。

同理可得，b·c=-3，c·a=-。

由|a+b+c|2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=3，可得|a+b+c|=。

剖析：上述解法是把a，b，c看成非共線向量求解的，而當a，b，c共線且同向時，它們所成的角都相等且等于0°，也符合題意。

當向量a，b，c共線且同向時，它們所成的角均為0°，這時|a+b+c|=|a|+|b|+|c|=6；

當向量a，b，c不共線時，由錯解可知|a+b+c|=。

綜上所述，向量a+b+c的長度為6或

警示：求解共線向量問題時，一定要注意向量 的 方 向。 若(λ，μ 為常數)，則A，B，C三點共線的充要條件是λ+μ=1。

變式訓練6：如圖1，在△ABC中，AD=DB，AE=EC，CD與BE交于點F，已知=x a+y b，則(x，y)為( )。

圖1

誤區7：忽視向量的幾何意義與三角形“內心”之間的關系

例 7設O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足P的軌跡一定經過△ABC的( )。

A.外心 B.內心

C.重心 D.垂心

錯解：應選A或C或D。

剖析：上述解法忽視了共起點的兩個單位向量的和向量為其角平分線，而△ABC的角平分線的交點為內心，題設中的動點P 滿點P的軌跡一定經過△ABC的內心。應選B。

警示：由兩個單位向量的和向量以及向量共線的條件可得:若P經過△ABC的內心。

變式訓練7：已知△ABC的三個內角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，M 為該三角形所在平面內的一點，若a=0，則點M是△ABC的( )。

A.內心 B.重心

C.垂心 D.外心

提示：如圖2，延長CM 交AB于點D。

圖2

由三角形的內角平分線定理的逆定理可得CD為∠ACB的平分線。

同理可證，AM、BM 的延長線也是角平分線。

故M是△ABC的內心。應選A。

誤區8：忽略向量的幾何意義與三角形“垂心”之間的關系

例8已知O是平面上的一定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足λ∈(0，+∞)，則動點P 的軌跡一定經過△ABC的( )。

A.重心 B.垂心

C.外心 D.內心

A.垂心 B.重心

C.內心 D.外心

故點O是△ABC的垂心。應選A。

誤區9：忽略向量的幾何意義與三角形“外心”之間的關系

例 9已知O是平面上的一定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足λ∈(0，+∞)，則動點P 的軌跡一定經過△ABC的( )。

A.外心 B.內心

C.重心 D.垂心

錯解：應選B或C或D。

A.外心 B.內心

C.重心 D.垂心