求參數范圍的幾種方法

郭道俊

摘要：含參數不等式問題在近些年的數學高考題及高考模擬題中經常出現，題目一般綜合性強，可考查函數、不等式及導數等諸多方面的知識，同時兼顧考查轉化化歸思想、數形結合思想，是高考熱點題型之一。求參數范圍往往和函數構成統一體，是高中數學的重點，也是難點，求解時各種方法時常也結合應用，構造函數，利用函數性質結合圖形是解題的主要方向。

關鍵詞：構造函數；數形結合；轉換主元；分離變量

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：B文章編號：1672-1578（2018）15-0129-01

含參數不等式問題在近些年的數學高考題及高考模擬題中經常出現，題目一般綜合性強，可考查函數、不等式及導數等諸多方面的知識，同時兼顧考查轉化化歸思想、數形結合思想，是高考熱點題型之一。此類問題有利于考查學生的綜合解題能力，在培養思維的靈活性、創造性等方面起到了積極的作用。

正因為此類問題解法靈活、綜合性強，所以部分考生常感到無從下手，茫然不知所措，那么到底如何解決這類問題呢？下面介紹一些求參數范圍的主要方法，以供參考。

1.利用構造函數法

例、已知4a+loga3+a2>5恒成立，求a的取值范圍。

該不等式是一個非常規不等式，不宜用通常的方法求解，聯系到函數的單調性，可構造函數求解。

解析：令f（a）= 4a+loga3+a2，該函數定義域為（0，+∞），且在定義域上，函數y=4a，y= loga3，y= a2都是增函數，故f（a）在（0，+∞）上單調遞增。又有f（1）=5，所以當f（a）>5= f（1）時，有a>1，即原不等式恒成立的a 的取值范圍為（1，+∞）。

一般地，在運用"構造函數法"求解"含參不等式恒成立問題"時，結合所學函數快速判定構造方向是解題的關鍵。

2.利用數形結合法

例：當x （1，2）時，不等式（x 1）2

解析：若將不等號兩邊分別設成兩個函數，則左邊為二次函數，圖象是拋物線，右邊為常見的對數函數的圖象，故可以通過圖象求解。

設y1=（x-1）2，y2=logax，則y1的圖象為右圖所示的拋物線，要使對一切x ∈（1，2），y11，并且必須也只需當x=2時y2的函數值大于等于y1的函數值。故loga2>1，a>1， 1

數形結合是高中數學的一種重要的思想方法，包括"以形助數"和"以數輔形"兩個方面，利用數形結合可以使所要研究的問題化難為易，化繁為簡。

3.利用分離變量法

例：若x∈（-∞，-1]，1+3x+（t-t2）·9x>0恒成立， 求實數t的取值范圍。

解析：原不等式 t-t2>-3x-19x ，

則 t-t2> {-3x-19x } max ①

令y=-3x-19x=-（13）2x =-（13）x=-μ2-μ （設μ=（13）x）.

由 x∈ （-∞，-1]得μ∈ [3，+ ∞）， y=-μ2-μ 在[3， + ∞）上最大值為-12，代入①得

t-t2>-12， 解得-3

故實數t的取值范圍為{ t|-3

4.利用轉換主要元素的方法

例： 若不等式2x-1>m（x2-1） 對滿足-2≤m≤2 的一切m都成立，試求實數x的取值范圍。

解析： 若將原問題轉化為集合[-2，2]是原關于m的不等式的解集的子集，則不可避免地要分類討論.若令f（m）=（x2-1）m-（2x-1） ，則可轉化為函數f（m）在區間[-2，2]上的最大值小于零，而f（m）是"線性函數"或"常數函數"，其最值在區間端點取得，

故f（-2）< 0且f（2）< 0，解之得，x的取值范圍是（7-12，3+12） .

本題有兩個變量x、m，且本來x為主元，但為了解題方便，把原不等式移項后右邊為0，左邊看作m的一次函數，這就大大簡化了運算。在多字母的關系式中，處理參數的策略常常是"反客為主，重設函數"，通常的依據是已知取值范圍的字母為主元，要求取值范圍的字母為參數。

5.逆推代入法

這種方法主要應用于選擇題中求參數范圍。由于每個選項中都給出了參數的一個取值范圍，因此可以從選項出發，給參數取幾個特殊值，代入原函數檢驗是否滿足條件，從而可確定參數的取值范圍。

例：若函數f（x）=x2+（2a+1）|x|+1的定義域被分成了四個不同的單調區間，則實數a的取值范圍是（）。

（A）a<-32 或a>12（B）-32

（C）a>-12（D）a<-12

解析：取a=0，則函數化為f（x）=x2+|x|+1，顯然函數是一個偶函數，且在（0，+∞）上單調遞增，在（-∞，0）上單調遞減，則函數只有兩個單調區間，不符合題意，故可排除選項B和C；再取a=1，則函數化為f（x）=x2+3|x|+1顯然函數是一個偶函數，且在（0，+∞）上單調遞增，在（-∞，0）上單調遞減，則函數只有兩個單調區間，不符合題意，故可排除選項A.故選D。

這種方法也稱為篩選法，它適用于定性型或不易直接求解的選擇題。當題目中的條件多于一個時，先根據某些條件在選項中找出明顯與之矛盾的，予以否定，再根據另一些條件在縮小的選項范圍內找出矛盾，這樣逐步篩選，直到得出正確的選項。

以上幾種是求參數范圍的重要方法，熟練掌握可幫助我們快速有效解題，提高分析問題和解決問題的能力。求參數范圍往往和函數構成統一體，是高中數學的重點，也是難點，求解時各種方法時常也結合應用，構造函數，利用函數性質結合圖形是解題的主要方向。