函數的奇偶性、周期性、對稱性三者之間的關系

摘要：函數的奇偶性、周期性和對稱性三者之間有著必然的聯系，如果知道其中兩個就能得出另外一個，這對我們研究函數的性質很有幫助。本文結合例題對此做一簡要探討。

關鍵詞：函數；奇偶性；周期性；對稱性；關系

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2018）02-0112

函數的奇偶性、周期性和對稱性三者之間有著必然的聯系，如果知道其中兩個就能得出另外一個，這對我們研究函數的性質很有幫助。

知識背景：1. 奇函數的抽象性質：f（-x）=-f（x）；2. 偶函數的抽象性質：f（-x）=f（x）；3. 周期函數的抽象性質：f（x+T）=f（x）；4. 對稱函數的抽象性質：若f（a-x）=f（a+x）或f（2a-x）=f（x），則函數圖像關于直線x=a對稱；若f（a-x）+f（a+x）=0或f（2a-x）+f（x）=0，則函數圖像關于點（a，0）對稱。

一、由函數的奇偶性和周期性得到函數的對稱性

例1. 若函數是奇函數，周期為2a，求證：函數f（x）關于點（a，0）對稱。

解析：∵函數f（x）是奇函數且周期為2a，∴f（-x）=f（x）且f（x+2a）=f（x），∴f（-x）=-f（x+2a），∴f（x）=-f（x+2a），即f（x+2a）+f（x）=0，∴函數f（x）關于點（a，0）對稱。

例2. 若函數f（x）是偶函數，周期為2a，求證：函數f（x）關于x=a直線對稱.

解析：∵函數f（x）是偶函數且周期為2a，∴f（-x）=f（x）且f（x+2a）=f（x），∴f（-x）=f（x+2a），即f（2a-x）=f（x），∴函數f（x）關于直線x=a對稱。

二、由函數的奇偶性和對稱性得到函數的周期性

例3. 若函數f（x）是奇函數，圖像關于直線x=a對稱，求證：函數f（x）的周期為4a.

解析：∵函數f（x）是奇函數且圖像關于直線x=a對稱，∴f（-x）=-f（x）且f（2a-x）=f（x），∴f（2a-x）=-f（x），∴f（2a+x）=-f（x），∴f（4a+x）=f（x），即函數的周期為T=4a.

同理：若f（x）函數是奇函數，圖像關于關于點（a，0）對稱，可求出函數的周期為2a。

例4. 若函數f（x）是偶函數，圖像關于直線x=a對稱，求證：函數f（x）的周期為2a。

解析：∵函數f（x）是偶函數且圖像關于直線x=a對稱，∴f（-x）=f（x）且f（2a-x）=f（x），∴f（2a-x）=f（-x），∴f（2a+x）=f（x），即函數的周期為2a。

同理：若函數f（x）是偶函數，圖象關于關于點（a，0）對稱，可求出函數的周期為4a。

三、由函數的周期性和對稱性得到函數的奇偶性（有特定條件：周期是對稱值的2倍）

例5. 已知函數f（x）的周期為2a，圖像關于直線x=a對稱，求證：函數f（x）為偶函數。

解析：∵函數f（x）的圖像關于直線x=a對稱，∴f（2a-x）=f（x），∴f（2a+x）=f（-x），又∵f（x）的周期為2a，∴f（x+2a）=f（x），∴f（-x）=f（x），即函數f（x）為偶函數.

例6. 已知函數f（x）的周期為2a，圖像關于點（a，0）對稱，求證：函數f（x）為奇函數。

解析：∵函數f（x）的圖像關于點（a，0）對稱，∴f（2a-x）+f（x）=0，∴f（2a+x）=-f（-x），又∵f（x）的周期為2a，∴f（x+2a）=f（x），∴f（x）=-f（-x），即函數f（x）為奇函數。

以上結論較多，只要同學們知道函數的奇偶性、周期性與對稱性三者之間有著聯系，并掌握推導方法即可。

作者簡介：趙文龍，安徽省來安縣第三中學，高中一級教師，滁州市中青年骨干教師，來安縣政府授予“來安縣名教師”榮譽稱號。曾在《數理天地》《中學生數理化》《學習方法報》報刊雜志上分別發表文章《三角函數變換的技巧》《不要小看反比例函數》《對兩種變量的討論》。

（作者單位：安徽省來安縣第三中學 239200）