從數系的擴充談復數的引入

熊潔霞

摘要：《普通高中數學課程標準》提出要使學生“初步了解數學產生與發展的過程，……提倡體現數學的文化價值”。對此還提出在適當內容中對“數學文化”的學習要求。從中可以看出，將數學史融入到數學教學當中，發揮數學的文化作用，是一線數學教師教學探索的一個方向。本文將以人教A版高中數學選修1-2和選修2-2的第三章“數系的擴充與復數的引入”為例，談談數學史的教學意義以及數學的文化價值在教學中的體現。

關鍵詞：數系擴充史；復數教學；數學文化

一、“復數”的教學現狀

對于“復數”這部分內容，不論從教學還是考試的層面來說，難度都不大，從事數學教學工作十余年，在“復數”這一部分內容的教學中，我起初也是結合考綱，針對常見題型多加練習，從考試結果來看，教學效果還不錯。

但隨著這些年在教學中面對教師費勁的教，學生吃力的學的困境，在不斷探索一些新的教學方法的過程中，我感受到數學史在提高學生學習興趣、幫助學生更好的理解和掌握數學知識方面有著重要的作用。在深入的了解了“數系的擴充”這一部分數學史之后，我一直在思考，如果能把“數系的擴充史”融入到復數的教學當中，能否達到一些意想不到的效果呢？

二、數系的擴充歷史

自然數的產生，起源于人類在生產和生活中計數的需要。隨著生產的發展，在天文觀測、建筑等活動中，，為了更精確地度量，分數應運而生。引進分數，這是數的概念的第一次擴展。

最初人們在記數時，沒有“零” 的概念。后來，在生產實踐中，隨著位值制記數法的產生，引進數0，這是數的概念的第二次擴充。

以后，為了表示具有相反意義的量，負數概念就出現了。引進負數，這是數的概念的第三次擴充。

公元前5世紀，古希臘畢達哥拉斯學派為了得到不可公度線段比的精確數值，導致了無理數的產生。引進無理數，形成實數系，這是數的概念的第四次擴充。

16世紀前半葉，意大利數學家塔爾塔利亞，大膽地引用了負數開平方的運算發現了三次方程的求根公式，由此，虛數作為一種合乎邏輯的假設得以引進，并在進一步的發展中加以運用，引進虛數，形成了復數系。這是數的概念的第五次擴充。

三、數系的擴充歷史在教學中的重要意義

“數系的擴充史”不僅只有數學的歷史，同時也包含了人類文明的發展史，更有數學體系發展的軌跡。這些都為我們的數學教學提供了豐富的教學素材，給了我們教學的一個方向。我認為“數系的擴充史”在數學教學中具有以下重要作用：

1、“數系的擴充”歷史在教學中的德育教育功能

在新課標的要求下，德育教育已經不像是從前那樣主要是政治、語文、歷史這些學科的事了，數學史內容的加入使數學教育具有更強大的教育功能。

首先，通過對數系的擴充的歷史的了解，讓學生體會數學在人類文明發展中的重要作用，讓學生感受到數學來源于生活。

其次，數系擴充的過程不是一蹴而就的，從自然數開始，經歷了漫長的年代才發展到了復數，在此過程中也出現了很多坎坷，甚至一度阻礙了“數”的發展，但是最終人們還是突破了迷障，取得了進步。從中也可以讓學生們感受到，知識的獲得，需要我們不斷的思考、實踐，才能取得進步。

2、“數系的擴充”歷史能幫助學生更好的理解復數

數學史不僅可以展現數學產生和發展的歷程，還可以給出數學知識的創造過程。中學生對整個數系的學習過程，基本上與數學歷史上數系的發展相吻合。學生在學習的過程中也不可避免地會產生對“虛數”的困惑，如果在教學前，讓學生了解數系擴充的歷史，明白數系擴充的必要性，了解數系擴充的一些基本原則和方法。有助于學生更好的接受和理解復數。

四、“數系的擴充與復數的引入”教學建議

基于上述對數系的擴充史的分析，同時考慮到中學生學習數學的現實情況，對“復數”這一部分的教學，我采取了如下方法：

1、在學習復數之前，簡單介紹數系的擴充史

自然數、整數、有理數、實數環環相扣，緊緊相連，在數學教學中，將其因果關系闡述清楚，讓學生初步了解數學發展軌跡，培養學生發展變化的觀點。

2、在介紹完數系的發展史后，可以結合“自然數到實數”的發展過程，感受不同數的表示方法、運算法則的變化，為復數的表示和運算性質的引入做好鋪墊。

3、用解方程的問題引入復數

在教學過程中我采用了比較常見的求方程的解的問題引入復數：

（1）用幾個解方程的問題重現數的擴充史，同時引出課題

求以下四個方程的解：① ；② ；③ ；④ .①②③中，從方程無解到有解的過程中，可以感受到數系擴充的重要意義，在解決第④題時，學生能不讓固有的“任何實數的平方大于等于0”束縛了思想，而想到將實數集擴充。

（2）結合數系的擴充史，將實數擴充到復數

那么下一個問題就是在實數的基礎上增加什么樣的數？很明顯，我們要增加的就是平方等于負數的數，由此引出 ，即 。當然平方也可以為其它的負數，比如-2，那么多少的平方等于-2呢，結合實數的運算法則很容易可以想到 ，類似的由此可以得到 ，在此基礎上再擴充一下變為 .由此將實數擴充到了復數。

從 到 的過程中，我主要結合了在數系擴充的過程中運算律和運算法則的“推廣”，因為加減乘除、平方差、完全平方等公式在自然數、有理數、實數中都適用的特點，我們希望我們現在增加的這一類數也能夠進行同樣的運算，比如“ ”這個特殊的數可以和實數相乘，那么它和實數相加減又是怎樣的結果呢？比如 ，結合實數的運算法則和運算律，可得 ，我們發現它的平方是 的形式，再舉個例子 ，由此我們把數在 基礎上再擴充一下變為 .

在此基礎上介紹復數就水到渠成，不會像直接給出復數那般“突兀”，同時這也為接下來學習復數和實數的關系、復數的運算法則等打下基礎，更重要的，通過對數學史的了解讓學生感受到數學知識并不是我們想象中的那么“高深莫測”，結合歷史的軌跡，發揮自己的創造力、想象力，我們也可以發現更多的數學知識，甚至可以超越前人，達到更高的高度！

以上是個人結合復數教學實踐的一點感悟，在實踐的過程中，我多花了最多一節課的時間，但卻達到了比我預期要好的效果。我相信在其它的數學知識的教學中，數學史也可以發揮很重要的教育作用，但是這也要求我們的老師掌握更多數學史，了解、體會數學的文化價值，才能在教學中讓數學史發揮重要的作用，才能達到課程標準所要求的目標。我也將在今后的教學實踐中探索更多、更好的教學方法，以期數學教學達到一個新的高度！