計算教學中的創新思維培養

摘 要：乘、除法是學生學習了加、減法之后再學習的新運算。學生學習乘、除法需要更多的數學理解，要以新的思維方式進行思考。一般認為，學生學習乘、除法是計算概念的一次擴展，是認知上的一次飛躍。在學生學習乘、除法之前，應當進行鋪墊性訓練，以降低學生在學習新知識第一時間所產生的難度，提高新知的掌握水平。同時，乘、除法的學習拓展了學生的數學視野和應用數學的空間，教學中應當重視培養學生的數學思維，特別是推理能力。

關鍵詞：創新思維 數學理解 拓展

乘、除法是學生學習了加、減法之后再學習的新運算。學生學習乘、除法需要更多的數學理解，要以新的思維方式進行思考。一般認為，學生學習乘、除法是計算概念的一次擴展，是認知上的一次飛躍。在學生學習乘、除法之前，應當進行鋪墊性訓練，以降低學生在學習新知識第一時間所產生的難度，提高新知的掌握水平。同時，乘、除法的學習拓展了學生的數學視野和應用數學的空間，教學中應當重視培養學生的數學思維，特別是推理能力。

1 乘、除法學習的鋪墊性訓練

乘法涉及兩個數，分別是每個集合中物體的個數和集合的個數，即通常教學中所說的相同加數和相同加數的個數。乘法是表示同數連加的一種方法，求幾個相同加數的和可以用乘法計算，這說明乘法與加法密切聯系。但是，與加法相比較，由于乘法中每個數所起的作用不同，理解乘法中每個數是如何聯系的，對學生的抽象思維能力要求更高。因此，在正式學習乘法之前，有必要安排一些鋪墊性的訓練。

1.1 乘法的鋪墊訓練

1）同數相加。乘法的本質是一類特殊的加法，這里所指的特殊就是加數相同。例如，結合圖示直觀，初步感知每份量、份數與總數之間的關系。把同數相加的問題情境轉譯成“幾個幾相加等于幾”，為學習乘法的含義打下基礎。2）一與多對應。一與多對應是指一個與多個相對應，它是學生遇到的比較簡單的乘法形式，如1輛汽車有4個輪子，就是這種對應關系。日常生活中這種例子比比皆是。例如，在正式學習乘法之前，讓學生通過數每個集合中物體的個數與集合的個數，體會這些數的含義以及它們之間的關系，為學習乘法積累活動經驗。3）遞推計算。這里所指的“遞推”不是指演繹推理中的遞推關系，而是在同數相加的計算中，基于已有的計算結果，結合相同加數個數的變化推算出新的得數。這種訓練結合20以內的進位加法進行，使學生在熟練加法計算的同時，獲得對相同加數、相同加數的個數等概念的初步理解。隨著學生認數范圍的擴展，這類鋪墊可以結合不同的基礎進行。例如，學習兩位數加一位數之后安排：

聯系進位加法的學習安排：

1.2 除法的鋪墊訓練

除法學習的早期鋪墊主要包括兩個方面：一是理解除法的上位概念——平均分，二是積累把物體平分的活動經驗。這兩個方面是相互聯系的，在實際教學中也可以結合在一起進行。例如，教學時，可以呈現幾種不同的分法，如通過正反兩種例子的比較，幫助學生建立平均分的概念。進一步，可引導學生通過畫圖或操作學具，把物體拆分成相等的集合。平均分對兒童來說是很生動的數學活動，在平均分活動中，需要考慮三個因素：一是全體的大小，二是分為幾部分和每部分的大小，三是各部分必須相等。這些思考構成了理解平均分的基礎。平均分通常有兩種含義：一是多個物體的平均分配，二是一個物體的平均分。前者是認識除法的基礎，后者是認識分數的起點。一般在學習除法之前只講前者，對于基礎較好的班級，也可以適當考慮后者。例如，讓學生判斷下圖中哪些是把長方形平均分：乘法是加法的重復，除法也可以看作減法的重復，乘法和除法的實際計算結果可以由連加或連減導出。這些運算之間的聯系，可以通過問題情境的驅動與形數結合的方式，讓學生感受和體會。需要說明的是，以上這些鋪墊訓練都是結合不同學習階段的重要基礎進行的，這樣既可以鞏固當前的學習基礎，又不會增加學習負擔。換句話說，我們所強調的早期鋪墊，側重于從知識內在聯系的角度設計，而不是為了新知學習提前重新構建一個基礎。

2 表內乘除法練習中的思考性訓練

用橫排的方式學習乘法口訣，以“同數相乘”作為“幾”的口訣起始句。在學習2～4的乘法口訣時，結合“乘加”、“乘減”的學習，引導學生推導乘法口訣，理解乘法口訣的相互聯系。

學習7，8，9的口訣時，只剩下6句。借助正方形格子圖的直觀，引導學生編寫同數相乘的口訣：先利用正方形內8行8列的格子引出8×8=64，八八64，再將其內縮一行一列編“七七”的口訣，外擴一行一列編“九九”的口訣。進而以同數相乘的口訣為基礎，利用乘加、乘減計算推導出另外三句口訣。在教學5～9的乘法口訣時，用口訣求積與用口訣求商相結合，相互促進，進一步理解乘、除法的關系。乘、除法的問題情境豐富多變，如乘法主要有四種情境，分別是等組、倍數比較、矩形隊列、搭配（笛卡爾積），這些情境為設計多樣的練習提供了資源。教學中，教師應當提供不同的問題情境，豐富學生對乘、除法的理解，使學生有機會在學習乘、除法的過程中，培養靈活的思維能力，學習重要的數學思想。乘、除法聯系著許多重要的數學概念和數學思想，如倍數、比例、函數思想等。這些知識可以整合在表格式的應用問題中加以滲透。例如，學習4的乘法口訣時，可以安排：這里創設了兩個量“共變”的情境，學生需要考慮變量之間是如何聯系的，初步體會函數關系，并可為理解比例關系打下基礎。乘、除法學習聯系廣泛，教學時應當有目的地開展數學活動，通過設計有針對性的練習，培養不同的數學能力。例如，同樣是形數結合，可以安排：這里創設的兩個問題情境都需要學生自己構建算式，但側重的基礎和培養的能力不一樣。前一個是乘法中較為基礎的等組情境，但因為需要空間觀念而增加了思考性；后一個是乘法中的倍數比較，把計算建立在圖形合與分的基礎上。在乘、除法的學習中，對倍數概念進行正向和逆向的應用，可以培養學生的推理能力。推理是人們獲得新知的重要手段。任何推理都由兩部分組成，一部分是推理所依據的已知判斷，即前提；另一部分是推出的新的判斷，即結論。根據前提與結論不同的聯系方式，可以設計出不同形式和不同層次的乘法推理練習。

2.1 一對多的推理。

每份量（1條裙子的價格）聯系著已知條件（前提）與所求問題（結論），根據條件與問題之間的直接聯系構建乘法算式。在學生學習到一定階段，可逐步抽象化，以圖形推算的形式呈現，并用邏輯聯結詞聯系條件與問題。例如，

如果★=▲▲▲，那么9個★=□個▲。

2.2 三段推理。例如，如果■=★×4 ，★=▲×9，那么■=□個▲。

由兩個條件作為前提，根據兩個條件之間的聯系，構建新的條件（結論）。

2.3 對應推理。

根據每份對應量的差不變，感知“每份量的差×份數=總數差”的數量關系。掌握這種數量關系，可以解決較復雜的問題，如下面的差對應問題：4. 關系推理。例如，

已知▲×●=24。如果▲-●=5，那么▲+▲+●=□；如果▲-●=2，那么▲+▲+●=□。根據數與數、式與式之間的關系，推算出圖形表示的數。

有些數學問題之所以復雜，是因為解決問題所需要的條件不是直接知道的，或者說被隱蔽起來了。解題的關鍵是發現條件之間的關聯并推導新條件，這往往需要推理能力的支持。即使是較簡單的數學問題，這種能力也可能是解題的關鍵。如歸一問題：

如果■=21，那么■表示多少？解題時需要根據已知條件構建出一個新的條件，即每個正方形表示21÷3=7。

總之，乘、除法的學習，不只是掌握運算技能，還要通過豐富多變的練習，培養學生的思維能力，特別是要重視運用抽象的推理解決問題。

參考文獻

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作者簡介

劉佳（1975-），女，漢族，新疆烏魯木齊，小學數學教師，一級教師。