構造“一線三直角”，巧解幾何綜合題

黎品秋

[摘要]一條直線上有一個直角三角形，再構造兩個直角三角形，整體看起來像是一個梯形，然后利用相似或是全等三角形的特征就可以輕松解題，我們把這種模型叫作“一線三直角”模型.研究此模型能開闊學生視野，提高學生解題能力.

[關鍵詞]初中數學；一線三直角；全等三角形；相似三角形

[中圖分類號]G633.6[文獻標識碼]A[文章編號]16746058（2018）08002702

對于初中生來說，面對條件和圖形都看起來相當復雜的幾何綜合題，他們往往無從下手.因此我們需要針對復雜的幾何綜合題總結出一套模型，為學生提供解題思路，增強學生的自信心.而構造“一線三直角”就是解決幾何綜合題的一種常見而又非常好用的解題方法.

一、真題重現

初中幾何問題中有一類幾何題是和解析函數相關聯的，相對于單純的幾何問題其難度更大，題目更復雜.下面就以一道與拋物線有關的幾何中考真題來解析“一線三直角”解題方法.

【例1】（2016年玉林中考題）如圖1，拋物線l：y=ax2+bx+c與x軸交于A、B（3，0）兩點（A在B的左側），與y軸交于點C（0，3），已知對稱軸為x=1.

（1）求拋物線l的解析式.

（2）將拋物線l向下平移h個

單位長度，使平移后所得拋物線的頂

點落在△OBC內（包括△OBC的邊界），求h的取值范圍.

（3）如圖2，設點是P拋物線l上的任一點，點Q在直線l：x=-3上，△PBQ能否成為以點P為直角頂點的等腰直角三角形？若能，求出符合條件的點P的坐標；若不能，請說明理由.

析與解：

（1）y=-x2+2x+3.

（2）2≤h≤4.

（3）設P（m，-m2+2m+3），Q（-3，n）.

①當點P在x軸的上方時，如圖3，過點P作PM⊥y軸交直線l于點M，過點B作BN⊥

MP交MP的延長線于N點.因為B（3，0），△PBQ是等腰直角三角形，所以∠BPQ=90°，BP=PQ.因為∠PMQ=∠BNP=90°，所以∠PQM+∠MPQ=90°，∠BPN+∠MPQ=90°，則∠PQM=∠BPN，所以△PQM≌△BPN（AAS），則PM=BN，因為BN=-m2+2m+3，PN=3-m，且有MP+PN=MN=6，所以-m2+2m+3-m=6，解得m1=1，m2=0.所以P1（1，4），P2（0，3）.

在上述真題的解題過程中，我們可以從題目中清晰地看到一個直角三角形，進而想到利用“一線三直角”的方法.但并不是所有的題目都是這樣的“友好”，有時，我們要想用自己的某些方法解題就必須想方設法構造條件.比如說，作輔助線、連結一些已知線段等.筆者以下面這道模擬題為例，解析如何構造“一線三直角”.

二、舉一反三

【例2】（2016年潮州中考模擬題）如圖5，直線AB與反比例函數y=6x的圖像交于A（2，3）、B（-1，-6），點P在第三象限的反比例函數圖像上，若tan∠PAB=47，求點P的坐標.

解析：如圖5，過點B作AB的垂線交AP的延長線于點C，過點B作x軸的平行線MN，分別過點C、A作直線的垂線段CM、AN.此時，在直線MN上構造了“一線三直角”.則△ANB～△BMC，所以BMAN

=CMBN

=BCAB

=tan∠PAB=47

.由A（3，2），B（-1，-6），可知AN=8，BN=4，則

BM8=CM4=47

，所以BM=

327，CM=167

.又因為B（-1，-6），故C-397，-267.利用待定系數法，求得直線AC

的解析式為y=23x，其圖像經過原點.根據對稱性可知，點A、P關于原點對稱，所以點P的坐標為（-3，-2）.

解決本題的難點在于如何利用tan∠PAB=47，也就是說構造了直角三角形后如何繼續求解答案.很多學生最先會想到過點P作AB的垂線段，但由于垂足位置不確定，三角函數值無法使用.而過定點B作AB的垂線與x軸的平行線再構造“一線三直角”，卻很好地解決了這個問題.

三、總結提高

上述真題是幾何題與拋物線二次函數解析題的綜合應用題，考查用待定系數法求出拋物線的解析式、等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定與性質、坐標與圖形性質等知識.我們在解答上述（3）小題時使用了“一線三直角”的幾何模型，由此我們也可以得到啟發：有的時候順著題意利用勾股定理建立方程求解，計算過程往往繁雜，而使用“一線三直角”模型解題會使運算變得簡潔明了.需要注意的一點就是思考問題時一定要全面，避免丟解.事實上，“一線三直角”是一種幾何模型，更是一種思想方法，是一個數學問題在剔除無關信息后的本質結構.在教學中，我們要時刻注意積累這樣的數學模型或是方法，總結歸納，并培養學生們利用模型解題的能力，簡化解題過程.

通過上述兩道題的解析可以看出，“一線三直角”模型的運用范圍很廣，學生不僅要學會利用該模型進行解題，同時還要學會根據題目條件構造模型.構造模型中直角三角形時主要有以下幾種方法：作輔助線、連結已知點、動點特殊位置.另外需要注意的是，在動點問題中利用“一線三直角”模型，一定要思慮周全，對可能出現的情況逐個分析.雖然“一線三直角”模型很好理解，但如何根據具體題意選擇合適的三角形構造正確的模型對于學生來說是難點，這需要進行相關的針對性練習.因此在教學中，我們要鼓勵學生敢于利用模型解題，并且養成良好的歸納總結的習慣，這對提高他們的解題能力和思維的敏捷性大有益處.

[參考文獻]

[1]張進.巧構“一線三直角”模型妙解二次函數綜合題[J].初中數學教與學，2017（8）.

[2]張建權.再談“一線三直角”幾何模型的運用[J].初中數學教與學，2017（1）.

[3]徐長存.溯源提煉模型解題彰顯能力[J].初中數學教與學，2017（9）.

（責任編輯黃桂堅）