《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程教學(xué)創(chuàng)新探索

李 賓

（吉林大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中心，吉林 長(zhǎng)春 130021)

一、前言

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程是高等院校理工科專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)課，也是許多專業(yè)研究生入學(xué)考試的必考內(nèi)容，其概念繁多、理論抽象、方法獨(dú)特，與各專業(yè)的其他課程聯(lián)系緊密。學(xué)習(xí)這門課不但為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)，拓展了視野，也對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力、數(shù)學(xué)建模能力和運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)方法解決實(shí)際問題的能力有著極其重要的意義。然而，傳統(tǒng)的教學(xué)模式和方法往往是“就理論講理論、就概念講概念”，枯燥乏味，不能很好地解決學(xué)生對(duì)抽象的概念和理論理解的難題，使得學(xué)生往往因在學(xué)習(xí)中遇到理解困難而產(chǎn)生抵觸情緒，學(xué)習(xí)興趣不濃。因此迫切需要對(duì)傳統(tǒng)的教學(xué)模式進(jìn)行改進(jìn)，將Mathematica數(shù)學(xué)軟件引入到傳統(tǒng)教學(xué)中就是一種新的嘗試和創(chuàng)新。

Mathematica是1988年由美國(guó)Walt Research公司開發(fā)的一款綜合數(shù)學(xué)軟件包，其操作簡(jiǎn)單，易學(xué)好用。通過編制簡(jiǎn)單的程序可以解決大量復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，它不但擁有強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算和符號(hào)運(yùn)算能力，還擁有很強(qiáng)的繪圖功能，可以繪制數(shù)學(xué)上的各種二維和三維圖形。將Mathematica軟件應(yīng)用到教學(xué)中，用先進(jìn)的現(xiàn)代化技術(shù)輔助數(shù)學(xué)教學(xué)，可以有效地彌補(bǔ)傳統(tǒng)教學(xué)中的不足，提高教學(xué)效果。這樣不但能加深學(xué)生對(duì)抽象概念和理論的理解，還能增強(qiáng)他們的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)也為學(xué)生在以后的學(xué)習(xí)工作中應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)自行解決實(shí)際問題打下基礎(chǔ)。

二、利用Mathematica軟件顯示常用分布的圖形

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程中有很多需要通過圖形表示的量，如離散型隨機(jī)變量的分布律、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度以及隨機(jī)變量的分布函數(shù)等等。準(zhǔn)確地繪制這些函數(shù)的圖形對(duì)于學(xué)生深刻理解隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性有著重要的意義。利用Mathematica軟件的繪圖功能，可以非常容易地準(zhǔn)確地畫出函數(shù)圖形，給學(xué)生直觀清晰的印象。

圖1是二項(xiàng)分布B（20，0.3）的概率分布圖。圖2是σ=1，μ取不同值時(shí)的正態(tài)分布概率密度圖形；圖3是μ=0，σ取不同值時(shí)正態(tài)分布概率密度圖形，通過圖形能非常直觀地看出μ是‘位置’參數(shù)，而σ是‘形狀’參數(shù)。

對(duì)于二維正態(tài)分布，其概率密度的表達(dá)式較為復(fù)雜，很難想象其圖形，用Mathematica軟件可以很容易地繪制出它的三維立體圖，如圖4所示。利用該軟件的可視化，還可以從不同角度觀看立體圖形。再比如對(duì)于統(tǒng)計(jì)中的三大分布，可以把不同自由度對(duì)應(yīng)的概率密度曲線圖畫在同一坐標(biāo)系中，這對(duì)學(xué)生了解三大分布的特征、學(xué)習(xí)三大分布的上α分位點(diǎn)等都有很大幫助。圖5所示的是自由度分別為2、6、9、12、16和22的x2分布的概率密度曲線圖，從中很容易看出x2分布概率密度曲線的重心隨著自由度的增加逐漸向右下方移動(dòng)這一特點(diǎn)。

圖1 的概率分布圖

圖2 σ=1,μ不同的正態(tài)分布圖

圖3 μ=0，σ不同的正態(tài)分布圖

圖4 二維正態(tài)分布概率密度圖

圖5 不同自由度的分布的概率密度圖

三、利用Mathematica軟件簡(jiǎn)化繁瑣的推導(dǎo)

在概率統(tǒng)計(jì)中，有些定理和結(jié)論的推導(dǎo)證明往往需要運(yùn)用高等數(shù)學(xué)知識(shí)，且需要一定的技巧，課堂推導(dǎo)證明耗時(shí)長(zhǎng)，一些學(xué)生因高等數(shù)學(xué)知識(shí)的欠缺陷入對(duì)某一步的思考，無法跟上老師推導(dǎo)的進(jìn)度，導(dǎo)致教學(xué)效果不佳。例如在推導(dǎo)二維正態(tài)分布的協(xié)方差時(shí)，其方法就是用變量替換法計(jì)算二重積分，但推導(dǎo)過程繁瑣、技巧性強(qiáng)、篇幅也較長(zhǎng)。所以在講授時(shí)只簡(jiǎn)單介紹推導(dǎo)的思路，而推導(dǎo)過程用Mathematica軟件編程運(yùn)算結(jié)果代替，只需輸入Mathematica軟件的命令：

就得到二維正態(tài)分布的協(xié)方差結(jié)果：。

這樣做充分利用了Mathematica軟件的符號(hào)運(yùn)算能力，用軟件運(yùn)算代替了繁瑣的不必要的手算推導(dǎo)，既得到了協(xié)方差的結(jié)果，又避開了難點(diǎn)，也節(jié)省了課上時(shí)間，給學(xué)生留下了深刻的印象，也激發(fā)了他們的好奇心與學(xué)習(xí)興趣。

四、利用Mathematica軟件演示隨機(jī)變量的相關(guān)性

相關(guān)系數(shù)是概率統(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要的數(shù)字特征，它表示兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)的程度。當(dāng)兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)等于零時(shí)，稱這兩個(gè)隨機(jī)變量不相關(guān)。在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，學(xué)生大多并不理解，只能機(jī)械地背記相關(guān)系數(shù)的公式和性質(zhì)。為了使學(xué)生能直觀的理解這部分內(nèi)容，通過下面的例子，再利用Mathematica軟件繪制的散點(diǎn)圖，非常直觀地演示了兩個(gè)隨機(jī)變量正線性相關(guān)、不線性相關(guān)以及負(fù)線性相關(guān)的各種狀態(tài)，對(duì)學(xué)生理解相關(guān)教學(xué)內(nèi)容很有幫助。

設(shè)隨機(jī)變量 T 服從[0，2π]上的均勻分布，X=sinT，Y=sin(T+a），（a為常數(shù))，討論隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)和（線性）相關(guān)的情況。

由協(xié)方差公式計(jì)算可得X和Y的相關(guān)系數(shù)為ρXY=cos（a），然后利用 Mathematica軟件產(chǎn)生服從[0，2π]上均勻分布的 100 個(gè)隨機(jī)數(shù)，對(duì) a=0，π/6，π/4，π/3，π/2，π 分別用Mathematica軟件繪出X和Y的散點(diǎn)圖。當(dāng)a=0時(shí)，ρXY=1，X與Y（線性）正相關(guān)，這時(shí)X和Y的散點(diǎn)圖呈一條直線，X與Y幾乎就是線性關(guān)系，如圖6所示；隨著a的逐漸增大,相關(guān)系數(shù)ρXY的值逐漸變小，X與Y的線性關(guān)系逐漸變?nèi)酰渖Ⅻc(diǎn)圖也由扁橢圓逐漸變大，如圖7、圖8和圖9所示；當(dāng)a=π/2時(shí)，ρXY=0，X與Y沒有線性關(guān)系(不相關(guān))，這時(shí)X和Y的散點(diǎn)圖形成一大橢圓，如圖10所示；當(dāng)a從π/2逐漸增大到π，X與Y的線性關(guān)系逐漸變強(qiáng)；當(dāng)a=π時(shí)，ρXY=-1，X與Y又幾乎是線性關(guān)系，這時(shí)X和Y的散點(diǎn)圖又形成一條直線，如圖11所示。

五、利用Mathematica軟件驗(yàn)證辛欽大數(shù)定律

圖6 時(shí)的散點(diǎn)圖

圖7 時(shí)的散點(diǎn)圖

圖8 時(shí)的散點(diǎn)圖

圖9 時(shí)的散點(diǎn)圖

圖10 時(shí)的散點(diǎn)圖

圖11 時(shí)的散點(diǎn)圖

大數(shù)定理是概率統(tǒng)計(jì)中的非常重要的定理，它揭示了n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的算術(shù)平均當(dāng)n→∞依概率收斂于其數(shù)學(xué)期望。大數(shù)定理非常抽象，很難理解。為了幫助學(xué)生更好地理解大數(shù)定理的含義，利用Mathematica軟件給出了大數(shù)定理的直觀演示。例如在講授辛欽大數(shù)定理時(shí)，就利用Mathematica軟件中的Random命令，產(chǎn)生n個(gè)相互獨(dú)立且都服從正態(tài)分布 N（2，32）的隨機(jī)變量 X1，X2，…，Xn，考察當(dāng)隨機(jī)變量個(gè)數(shù)n逐漸增多時(shí)，它們的算術(shù)平均值的變化情況。下面分別給出了當(dāng)n=50、1000、3000三種情況下，n個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均值的分布情況。從圖12可以明顯看出，當(dāng)n=50時(shí)，50個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的算術(shù)平均與μ=2有較大的距離。但隨著n越來越大了，n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的算術(shù)平均越來越密集在μ=2這條直線附近，如圖13和圖14所示。通過這種方式把抽象定理的結(jié)果通過圖形直觀的演示了出來，使學(xué)生耳目一新印象深刻，達(dá)到了很好的教學(xué)效果。

對(duì)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課的教學(xué)進(jìn)行改革和創(chuàng)新，運(yùn)用Mathematica軟件輔助課堂教學(xué)，彌補(bǔ)了傳統(tǒng)教學(xué)的許多不足，不但能方便準(zhǔn)確地畫出各種二維和三維圖形，避免一些繁瑣的技巧性較強(qiáng)的推導(dǎo)，還能對(duì)抽象的定理和結(jié)論給出直觀清晰的解釋和說明，同時(shí)也節(jié)約了課堂教學(xué)的寶貴時(shí)間，活躍了課堂氣氛，突破了學(xué)生因高等數(shù)學(xué)知識(shí)的欠缺而產(chǎn)生的畏難心理障礙，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和自主學(xué)習(xí)解決問題的積極性，給教學(xué)注入了活力，有效地提高了教學(xué)效果。相信隨著不斷將新技術(shù)與傳統(tǒng)教學(xué)方法的有機(jī)地結(jié)合，必將大大地提高《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程的教學(xué)效果。

圖12 n=50時(shí)的散點(diǎn)圖

圖13 n=1000時(shí)的散點(diǎn)圖

圖14 n=3000時(shí)的散點(diǎn)圖

參考文獻(xiàn)：

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