基于事故鏈和Markov過程時滯電力系統穩定性分析

孟德強

(國網冀北電力有限公司，北京 100052)

0 引言

隨著時滯的存在使電力系統穩定分析和控制變得愈加復雜，已成為系統不穩定及性能變差的根源[1-3]。因此，對時滯穩定性的研究需要更進一步。

目前已有一些理論成果，主要分為兩大類：

(1) 頻域法。文獻[4-7]基于Rekasius變換來求解系統時滯穩定上限。文獻[8]通過復頻域系統求解電力系統時滯的穩定性。具體方法是將系統特征根方程轉為多項式求解復頻域虛軸上的解，忽略實數的值。

(2) 時域法。文獻[9-11]分別將Finsler引理、Park不等式、Moon不等式和Fridman廣義模型變換方法與李雅伏諾夫穩定性分析理論相結合，求解系統時滯。文獻[12]在文獻[9-11]的基礎上進一步分析得出保守性更小的解，并拓展得到時域上更穩定的解法。

目前隨著電網的規模不斷擴大，容量不斷增加，系統的復雜性也隨著增強，所以當某一地區放生故障時，有可能導致連環故障。在這種情況下，電網時滯穩定性研究更加重要。因此，本文提出了基于事故鏈和馬爾科夫動態過程的時滯電力系統穩定性分析方法。這種方法能夠在事故鏈方程的基礎上求解時滯穩定的上限，還能在物理意義上對電力系統的時滯穩定性進行分析，從而能更好地解決系統穩定性問題。并且，本文根據這一算法給出了仿真驗證。

1 事故鏈的基本理論

事故鏈理論認為區域事故一般由一條事故鏈引發其他事故鏈造，一條事故鏈可以表述為：

Lj={Lj1→Lj2→Lj3→…→Ljn}

(1)

式中：Lj是一條事故鏈；Lji代表Lj的第i個環節；n代表中間環節的個數。由電力系統故障分析可知：一條線路故障引發其他線路的故障，具體過程是：通過某條線路預測下一條故障線路，觀察其頻率振蕩特性，判斷是否失穩。本文主要基于潮流轉移生成事故鏈。實際電力系統發生連鎖故障時，相鄰兩級故障間的時間跨度一般長達數分鐘甚至數十分鐘，其間系統暫態過程基本結束[13-14]。

電力系統某條運行線路發生故障時會被系統中切除，這條線路上的原負荷會發生轉移，這個過程可能會引起繼電保護設備誤動作而擴大故障范圍。本文分別采用α、β、γ來表示潮流變化率，過負荷裕度以及故障線路與預測線路之間的耦合度，且中間環節預測指標用φ來表示，該指標決定了事故鏈的下一級的故障線路。

假定系統中線路i發生了故障，線路i中通過的潮流為Si，則α、β和γ的計算式[15-18]如下：

(2)

(3)

(4)

式(4)中：Si(tf)代表事故前線路i中通過的潮流；Sj(tf)代表事故前線路j中通過的潮流；Sj(tb)代表線路i發生事故后線路j中通過的潮流；Sjmax代表線路j中允許流過的最大潮流。

中間環節預測指標φ的定義為：

(5)

式中：φij的值代表線路i對線路j的影響率，所以式(6)可以計算出由潮流轉移引起的狀態轉移的概率：

(6)

通過上述分析可以得出，電力系統某一條線路故障，會引發其他線路故障，且引發條件只跟上一級事故鏈有聯系。基于以上條件，假設系統模態為rt=r(t)，它取值于有限集合S={1,2,…,s}，是齊次Markov過程。對于事故鏈L={L1→L2→L3→…→Ln}，首先將任意環節Li(i=1,2,3,…,n)作為隨機Markov過程的模態ri=r(i)，即系統中線路i發生故障，再利用式(6)計算出下一級線路故障的轉移概率pij，由此可得出Markov轉移概率矩陣π，至此，建立了基于事故鏈L的Markov過程[19]，最后算出電力系統最大時滯。算法的具體流程如圖1所示。

圖1 時滯系統穩定性分析流程圖

2 時滯Markov跳變系統的穩定性分析

2.1 時滯Markov電力系統模型

時滯Markov跳變系統的模型可以由下式表示：

(7)

時滯ht滿足條件：

(8)

式中：x(t)∈Rn和z(t)∈Rn分別是系統的狀態函數和輸出函數；Ar(t)、Adr(t)、Br(t)、Bdr(t)為適當維數的已知矩陣；ht為系統時滯，rt=r(t)為時滯穩定上限；rt=r(t)為時滯的變化率。rt=r(t)為系統模態，取值于有限集合S={1,2,…,s}，為齊次的馬爾科夫動態過程，矩陣π為馬爾科夫的轉移概率矩陣，其非對角線上的元素值可通過式(7)計算得到，對角線上的元素值為該行非對角線元素之和的相反數，具體的表達式為：

(9)

(10)

Ω2=[N+M,L-N, -L-M]

其中：

(11)

其中：

i={1,2，…，N}

本文中*表示相應的對稱部分。

2.2 時滯穩定上限參數求解

(12)

(13)

(14)

(15)

mind

s.t.(13) (14)

(16)

以式(13)和式(14)為約束，通過求解式(15)得到最小d，最終，令h=1/d，可以推導求出在連鎖故障情況下，電力系統的時滯穩定上限。

3 算例分析

為驗證本文所提方法的有效性和低保守性，以IEEE16機68節點的系統為例，采用時域仿真的方法，計算基于事故鏈和Markov過程的時滯電力系統的時滯穩定上限。如圖2發電機模型采用的是6階模型在仿真計算中，待求解模型動態方程的具體維數為10階，通過定理1進行時滯穩定判斷所需求解的待求變量數為21個。

圖2 16機68節點系統圖

線路故障在電力系統故障中占大多數，并且考慮到區域間聯絡線的重要性，將事故鏈的觸發環節定為聯絡線故障。根據本文第一節中的指標，預測事故鏈為：

L1={線路1-2 → 線路3-4 → 線路 2-3}

(17)

L2={線路46-49 → 線路32-33→

線路 31-38}

(18)

建立對應事故鏈L1和L2的Markov過程，系統模態rt=r(t)分別取值于有限集Sm={1,2,3},m=1,2，其轉移概率矩陣為：

(19)

(20)

3.1 事故鏈L1

為了使本文所提方法的可行性和有效性得到驗證，利用H2/H∞控制方法設計了IEEE 16機68節點系統的阻尼控制器如圖2所示，詳細參考文獻[19]。將阻尼控制器分3個時段設置時滯，圖3所示為發電機8～15與發電機1～16之間的相對功角差的動態響應曲線。

在事故發生的最終環節，發電機8～15與發電機1～16的相對功角差曲線阻尼比分別如表1和表2所示，該阻尼比是利用prony算法[20-21]得到的。

圖3 系統不同時滯下發電機相對功角動態響應

由表1和表2可知，當系統發生連鎖故障，且時滯達到82.9 ms時，功角差曲線的阻尼比分別減小到8.49%和9.62%，不滿足控制要求。由此可得，通過結合事故鏈與馬爾科夫動態過程來分析故障電力系統的時滯穩定性的方法是切實可行的。也是比較符合實際需求的。

表1 系統G8與G15功角差各時滯時間下的阻尼比

表2 系統G1與G16功角差各時滯時間下的阻尼比

3.2 事故鏈 L2

表3 系統G4與G13功角差各時滯時間下的阻尼比

由圖4分析得出，當時滯的大小小于時滯穩定上限時，事故鏈的各個環節均可以在20 s內阻尼區間振蕩；當時滯由0 ms增大到101.4 ms時，阻尼對電力系統頻率振蕩的負反饋作用降低，曲線發生擺動，當時滯增加至150 ms時，功角曲線擺動幅值增大，說明此時系統已經失穩。

圖4 系統不同時滯下發電機相對功角動態響應

由圖4和表3、表4的分析可以得出，結合分析事故鏈與馬爾科夫動態過程，合理地反映出故障時電力系統的時滯穩定性，有效地求得系統的時滯穩定上限。在事故鏈L1和事故鏈L2的分析過程中，通過定理1計算16機系統時滯穩定上限所用的計算時間分別為11.549 1 s(事故鏈L1)、10.294 6 s(事故鏈L2)。求解時滯穩定上限時所用計算平臺的配置為：1) Windows 7 操作系統；2) Intel i5430 M處理器；3)1 GB DDR3內存；4)500G硬盤。

表4 系統G7與G14功角差各時滯時間下的阻尼比

3.3 保守性驗證

表5 不同方法所能得到的時滯穩定上限

4 結論

本文提出一種基于事故鏈和Markov過程結合分析電力系統時滯穩定性的方法，得到如下結論：

(1)基于李雅普諾夫法并結合事故鏈與馬爾科夫動態過程，能夠計算得到時滯穩定性的上限，并且在一定程度上分析電力系統的時滯穩定性。

(2)如果將轉移速率矩陣構建的自由權項引入到目標泛函的弱無窮小算子中，則能連續傳遞Markov過程轉移速率矩陣信息。能夠實時更新計算時滯穩定性的參數，提高結果的精確性。

(3)將Newton-Leibniz公式構造的自由權項引入目標泛函的弱無窮小算子中，在時域下將時滯分為兩個子區間，這種運算方法大大降低了保守性。

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