數形結合思想在高中數學與物理教學中的應用研究

王海林

摘 要：隨著新課改的不斷推進，數形結合越來越受命題人的青睞，數形結合主要是考查高中生在數與形之間的相互轉換。善于發現數與形的結合并不斷提高解題的能力，進一步培養我們在學習過程中的分析問題，邏輯關系以及思維的能力。本文結合筆者對數形結合在高中數學與物理題目中的應用作了簡要探討。

關鍵詞：數形結合 高考 高中數學 高中物理

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：C 文章編號：1672-1578（2018）03-0070-02

1 數形結合的概念

數與形是數學中最原始理論，也是開展研究的基礎，數與形在一定條件下可以相互轉化。在數學和物理學中很多關系可以轉換為圖形，反之亦然，繼而將抽象的文字轉換為直觀的圖形，起到化難為易的作用，在考試或者平時練習的時候大大提高解題的速度，并可以用此來驗證結果的正確性。在高中數學與物理解題過程中，數形結合在選擇題、填空題，以及計算題中都會有所涉及。在數學結合的運用過程中，主要有三種解題思路：數的形化、形的數解和數形互變。

1.1 數的形化

數的形化即將抽象的數量問題，利用某種對應關系轉化為直觀的形的問題，將數量問題轉化為圖形之間的關系主要可以通過三個途徑：充分利用所學的平面幾何知識、立體幾何知識及解析幾何的知識，對數量關系進行分析和求解。

1.2 以形變數

當圖形問題需要定量的結果時，或者圖形關系較復雜時，可以將錯綜復雜的圖形關系轉化為代數關系，但是需注意觀察圖形的特征，找準關鍵點，已經圖形的線與線，面與面之間等存在的幾何關系，分析題干中的隱含條件和已知條件，確保由形向數轉化的準確性。

1.3 數形互變

數形互變的實質就是數變形和形變數的有機結合，在解決一個問題中往往需要這兩種方法同時使用，以確保結果的準確性，在運用過程中做到見形思數，見數變形。

2 數形結合的原則

數形結合思想的主要包括雙向性、等價性和簡單原則。所謂雙向性原則的內涵是指在對幾何圖形進行分析的同時還要進行代數的分析，代數語言因具有較高的邏輯性和準確性，能為數形結合帶來便利。所謂等價是指代數與圖形之間的相互轉換要遵循等價的原則。由于圖形具有一定的局限性，加上在考試過程中時間的局限性和畫圖工具限制等原因，最終導致解題思路不準確，圖形與代數之間存在差異，等價原則是數形結合的充分必要條件。在找到求解思路后是運用數的形化還是形的數化，或者是兩種方法兼用，主要在于哪種方法能夠簡單有效的求解出結果。

3 數形結合思想的應用

3.1 數形結合在高中數學中的應用

數形結合在數學中的運用大致可分為：集合問題、方程不等式問題、三角函數問題、線性規劃問題、數列問題、絕對值問題、解析幾何問題以及立體幾何問題等。在高中學習階段和以后的學習中尤其的重要。在運用數與形之間的對應關系中起主要將數量問題化為直觀的圖形問題。

設直線l1、l2分布是函數f（x）=-lnx，01圖像點P1，P2處的切線，l1與l2互相垂直并相交于點P，且l1、l2分別與y軸相交于點A，B，且△PAB的面積的取值范圍是（ ）

A（0，1） B（0，2） C（0，+∞） D（1，+∞）

解題思路：將數量關系轉化為平面圖像如下圖所示

設P1（x1，lnx1），P2（x2，lnx2）（0

又因l1、l2相互垂直，所以x1x2=1， x2=。

則l1∶y=-（x-x1）-lnx1所以A，B的坐標分別為（0，1-lnx1），（0， -1-lnx1）

l2∶y=x1（x-）+ln

故AB=2，聯立l1、l2得xp=

得S△PAB=·AB·xp=

又因x+>2所以0

本題將抽象的數學語言，轉換為具有強烈的形象性和直觀性的圖形，將題干中的代數信息逐一在圖形坐標軸中表達出來，繪制出符合題意的圖形，找出關鍵點，并用字母標識。本題中切線l1、l2，交點P等特點，在解題過程中，要善于提取題干中的有利信息，畫出正確的圖形，逐步求出正確的選項。本題的解題思路可歸納為以下幾個方面：

（1）通過閱讀題干，提取出題目所要求的結果；

（2）根據已給的條件，快速的搜索自己已經學到的基本公式或者某種圖形，準確的畫出圖像；

（3）結合圖形與數量的關系快速并準確的求出最終答案。

3.2 數形結合在高中物理中的應用

數形結合在高中物理中具有及其廣泛的運用，將物理知識與數學知識結合考查，是最近幾年高考中常見題型，多數出在物理的壓軸題。包括：平拋運動，天體運動等都涉及到數形結合的思想。

如圖所示，平面內有豎直線DD'，過DD'且垂直于圖面的平面將空間分成I、II兩區域。區域I有方向豎直向上的勻強電場V和方向垂直圖面的勻強磁場B（圖中未畫出）；區域II有固定在水平面上h=2l、傾角α=的光滑絕緣斜面，斜面頂端與直線DD′距離S=4l，區域II可加豎直方向的大小不同的勻強電場（圖中未畫出）；C點在DD′上，距地面高H=3l。零時刻，質量為m、帶電荷量為q的小球P在K點具有大小v0=、方向與水平面夾角的速度θ=，在區域I內做半徑r=的勻速圓周運動，經C點水平進入區域II。某時刻，不帶電的絕緣小球A由斜面頂端靜止釋放，在某處與剛運動到斜面的小球P相遇。小球視為質點，不計空氣阻力及小球P所帶電量對空間電磁場的影響。已知，重力加速度為g。

本題中由于帶電粒子在復合場中做勻速圓周運動，電場力與重力大小相等、方向相反，互相平衡，此題考查的知識點較多，將研究的對象和特征進行具體化，可通過數形結合的思想來處理，把帶電粒子看成是一個質點。

由題可知：小球P在Ⅰ區內做勻速圓周運動，則小球P必定帶正電，且所受電場力與重力大小相等。

設Ⅰ區磁感應強度大小為B，由洛倫茲力提供向心力得：

qv0B=m B=

代入數據得： B=

小球p在區域Ⅰ做勻速圓周運動轉過的圓心角為θ，運動到C點的時刻為tc，到達斜面底端時刻為t1，有tc=、

s-hcotα=v0（t1-tc），小球A釋放后沿斜面運動的加速度為αA，與小球p在時刻t1相遇于斜面底端，有mgsinα=mαA。

聯立方程組得 =αA（t1-tA）2

tA=（3-2）

設所求電場方向向下，在tA′時刻釋放小球A，小球P在區域II運動加速度為ap，有

s=v0（t-tc）+αA（t-tA′）2cosα

mg+qE=map

H-h+αA（t-tA′）2sinα=ap（t-tc）2

聯立方程求解得 E=

對小球P的所有運動情形討論可得3≤β≤5

由此可得場強極小值為Emin=0；場強極大值為Emax=，方向豎直向上。

本題首先將題干的代數信息和自己學到的物理學公式作出恰當的圖形，根據力的平衡，其實求得力與速度的關系，根據小球在區域內的動能守恒定義求出場強的大小。在求解過程充分利用質點的運動變化規律對物理模型進行分析求解，利用圖形的直觀性來觀察小球的運動規律，利用數形結讓解題的思路十分清晰與巧妙，完美的展示了數與形，形與數的完美結合。

4 結語

從上面的例子可以看出，數形結合無論是在高中還是即將步入的大學生涯都有穿插，數形結合使抽象的問題具體化，在解決數形問題時，抓住數與形兩者之間的關聯性，使我們養成良好的數形思維、將動態思維與靜態思維相結合的習慣，將繁瑣的代數關系轉化為直觀的圖形關系，將復雜的函數關系直觀化。進而提高解題速度和考試成績。

數學與物理學都源于生活，我們學習的知識和技能的最終目的都是為了解決生活生產中存在的問題。我們在高中的學習不僅要完成老師布置的作文，更重要的是培養解決實際問題的技能，將抽象的物理或數學模型化為直觀的圖形問題，然后分析問題、提出方案，最終運用數學方法解決問題，讓我們在學習和解題的過程中直接經驗和間接經驗結合，提高了在復雜場景中發現問題、解決問題的能力。

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