積分上限函數的研究與應用

高吉　賈文太

摘要：積分上限函數是高等數學中的一個重要概念，本文通過推導給出幾類積分上限函數的導數，并通過例子說明其應用。

關鍵詞：積分上限函數；導數；應用

在一元函數積分學中，為證明原函數存在定理及牛頓—萊布尼茲公式，引進積分上限函數的概念。下面我們在給出積分上限函數的基礎上，討論它的應用。

一、積分上限函數的定義

定義：設函數f（x）在區間[a，b]可積，則對于每一個取定的x∈[a，b]，對應唯一一個積分值，即Φ（x）=∫xaf（t）dt，x∈[a，b]稱為函數f（x）的積分上限函數。積分上限函數有明顯的幾何意義：設x∈[a，b]有f（x）0，則積分上限函數Φx=∫xaftdt是區間a，x上的區邊梯形的面積。

二、積分上限函數在求導數中的應用

定理1如果函數f（x）在區間[a，b]上連續，則積分上限的函數 φ（x）=∫xaf（t）dt在[a，b]上具有導數，且它的導數是φ′（x）=ddx∫xaf（t）dt=f（x）（a≤x≤b）.

證給自變量x以增量Δx，且使x+Δx在連續區間內，則

φ（x+Δx）=∫x+Δxaf（t）dt，函數φ（x）在x處的增量為Δφ（x），則

Δφ（x）=φ（x+Δx）-φ（x）

=∫x+Δxaf（t）dt-∫xaf（t）dt

=∫x+Δxxf（t）dt.

應用積分中值定理，Δφ（x）=f（ξ）·Δx（ξ在x與x+Δx之間），所以Δφ（x）Δx=f（ξ）（Δx≠0）.

令Δx→0，由于f（x）是連續函數，因此，當Δx→0時，ξ→x，則limΔx→0Δφ（x）Δx=limξ→xf（ξ）=f（x）.

即φ′（x）=ddx∫xaf（t）dt=f（x）.

定理2 ddx∫g（x）af（t）dt=f[g（x）]·g′（x），其中g（x）是可導函數.

例1求ddx∫πxsint2dt.

解∫πxsint2dt=-∫xπsint2dt，

ddx∫πxsint2dt=-ddx∫xπsint2dt=-sinx2.

例2求ddx∫x20sintdt（x>0）.

解首先要搞清楚函數關系，定積分∫x20sintdt是上限x2的函數，而上限x2又是x的函數，因此，對x求導要按復合函數的求導法則進行。

ddx∫x20sintdt=（∫x20sintdt）′x2·（x2）′x=sinx2·2x=2xsinx.

三、 積分上限函數在極限中的應用

例3求limx→1∫x1（t2-1）dtln2x.

解limx→1∫x1（t2-1）dtln2x=00limx→1x2-12lnx·1x=limx→1x（x2-1）2lnx

=limx→1x3-x2lnx=00limx→13x2-12x=1.

例3求ddx∫x20sintdt（x>0）.

解首先要搞清楚函數關系，定積分∫x20sintdt是上限x2的函數，而上限x2又是x的函數，因此，對x求導要按復合函數的求導法則進行。

ddx∫x20sintdt=（∫x20sintdt）′x2·（x2）′x=sinx2·2x=2xsinx.

四、積分上限函數在單調性的應用

例4.設f（x）∈（0，+ 并且x∈[0，+

SymboleB@ ）時，f（x）0，

證明：函數F（x）=∫x0tf（t）dt∫x0f（t）dt在（0，+

內有定義（∵f（x）>0，x>0∫x0tf（t）dt>0）

由定理1.4得，當x>0時

ddx∫x0tf（t）dt=xf（x）；ddx∫x0f（t）dt=f（x）.

故F′（x）=xf（x）∫x0f（t）dt-f（x）∫x0tf（t）dt（∫x0f（t）dt）2=f（x）∫x0（x-t）f（t）dt（∫x0f（t）dt）2

∵f（x）>0，t∈（0，x），（x-t）>0

∴ f（x）∫x0（x-t）f（t）dt>0，即F′（x）>0

從而F（x）在（0，+內為增函數。

作者簡介：高吉（1985），2007年參加工作，現包頭職業技術學院數學教師；賈文太（1985），2007年參加工作，現任職北方重工業集團公司。