在數學教學中培養學生批判性思維的實踐和研究

黃星銘

摘要：高中數學新課程標準提煉了數學科的六個核心素養：數學抽象，邏輯推理，數學運算，數學建模，直觀想象，數據分析。提升數學科核心素養需要有序培養，運用批判性思維，從低級至高級、從簡單至繁雜不斷質變，不斷提高。數學新課改的核心任務就是要提升學生的數學學科核心素養，把數學學科的核心素養的培養落實在數學教育的各個環節。而課堂教學是學生提高學科核心素養的主陣地，就很有必要在數學課堂教學中進行批判性思維的實踐和研究。

關鍵詞：數學教學，批判性思維，實踐，研究

前言：思維定勢或叫心向，是有一定的心理活動所形成的準備狀態，會影響或決定其對同類后繼心理活動的趨勢，也就是人們按照一種固定了的傾向去反映現實，從而表現出心理活動的趨勢性和專注性。培養學生有批判性思維是使學生克服思維定勢的消極影響，更新觀念，提高求異思維能力，隨時準備適應新環境，學習新知識，創造新方法。思維定勢與批判性思維相輔相成，互相配合，共同服務于人的思維發展，它們是矛盾的“對立統一”體。

人正是在學習實踐中不斷積累“經驗”，不斷適應新環境的，這是一個曲折的發展過程。這種“經驗”實際上就是思維定勢，需要在此后的學習中多次批判，方才由“經驗”→“理解”→“熟能生巧”→“批判性思維”。在這動態的發展過程中“培養”是少不了的。

正文

一、倡導培養學生的批判意識和習慣

批判性思維的特質是獨立思考，善于質疑，關注理由和合乎邏輯。學生的批判性思維不是先天形成的，需要不斷培養。

（1）在數學課堂教學中，不斷誘導學生發現“新問題”的意識

中國人強悍于解決問題，但是不善于發現問題。教師平常的數學教學就是培養學生的科學思維定勢和求異思維能力，通過數學概念、數學定理、數學公式的正確理解和熟練運用，一是牢固學生的思維定勢，二是不斷批判，提升理性認識，扎實學生的基本技能。數學課堂教學中，要善于誘導學生發現“新問題”。

例1. 計算：1+1=

【批判】 （1）1群羊+1群羊=2群羊？

【變式】 （2）2-1=？

【發展】 （3）2+2+2+L+2（100個2）=2×100？

【變式】 （4）2×2×2×L×2 （100個2）=2100 ？

【再發展】 （5） =？

【再變式】 （6） =？

問題出現在哪里？這是一個“量變”到“質變”的數學問題。具體的兩個“1”相加得“2”；然而，抽象兩個“集合”的組合仍是一個“集合”。減法是加法的逆運算；乘法本質上就是若干個數的直接疊加；開方是乘方的逆運算。引入虛數來說明負數不能開平方根的問題。

點拔：數學運算要多次批判，不斷變式，由易至難，由簡至繁，不斷升華衍生出新的運算。

（2）養成獨立思考的良好習慣，不斷批判固有知識、不迷信專家

數學概念不是與生俱來，需要不斷批判，多次抽象，方可歸納出來。在繼承傳統數學文化與發展新型數學分支中，批判已有的數學知識，不迷信專家，不斷突破數學學科頸瓶。

例2. 數域的擴充

自然數：像0，1，2，3，L。它們是為了計數的需要，一一衍生出來；

【發展】素數（質因數）：像2，3，5，7，L；

合數：像4，6，8，9，L；

既不是素數，也不是合數：像0，1；

【批判】為了表示相反意義的量，引入負數，像-1，-2，L；

【發展】把自然數和負整數統稱為“整數”。

【批判】測量或分配當中，經常得不到整數值，為了表示這些“數值”，引入了“分數”，像 。

【發展】真分數：像 ；

假分數：像 L；

帶分數：像 L；

【再發展】把整數和分數統稱為“有理數”。整數可以看作分母為1的分數，任意有限小數或無限循環小數均可化為“ ”形式。

【批判】像 ，L，它們均是無限不循環小數，沒有規律性可言，簡直是“蠻橫無理”！稱它們為“無理數”。

【發展】把有理數和無理數統稱為“實數”，它們是實實在在的一個數。

【批判】像 L，二次根式的被開方數中出現“負數”，它們虛構的，現實不存在的“數”，稱為“虛數”。

【發展】虛數：a+bi中虛部b≠0；虛數不能比較大??；

實數：a+bi中虛部b=0；實數可比較大?。?/p>

【再發展】把實數和虛數統稱為“復數”。

數域的不斷擴充，給數集的發展不斷注入了新鮮血液。

二、培養學生批判性思維的基本前提

（1）熟悉數學文化，明確學生的現有思維水平

與其昏昏就無法使人昭昭。數學教師對數學文化要有一個清楚的認識，通過課堂教學不斷挖掘和揭示數學文化內涵，使學生感悟數學、欣賞數學，進而掌握數學的真誠。

數學文化有以下特征：

其一：在現實與科學的互動中形成。人類的一切文化活動都離不開現實生活的實踐，數學也不例外。古埃及人在尼羅河畔的測繪實踐中孕育了幾何測量學；具有柏拉圖傳統的古希臘人在天文學與聲學的研究中開創了公理化體系的思想，為人類科學探索中的理性思維豎立起光輝的典范；文藝復興時期以牛頓為代表的學者將自然哲學科學轉變為數學原理，創立微積分，給數學文化注入新的活力，并且使數學在物理學和工程技術等得到了廣泛的應用，將人類文明推進到一個全新的時代；從十七世紀歐洲保險的博彩業中誕生和發展而來的概率統計其應用正方興未艾LL所有這一切說明數學文化與現實世界有高度有同構關系。

其二：在發展與包容中完善。數學文化在不斷隨著社會科技的發展中與時俱進，外部的文化環境是數學文化發展的外推力，而數學文化中包容與自我完善的機制是數學文化發展的內驅力，其包容性和自我完善性是其他學科所無法比擬的，數學以抽象嚴謹著稱，但這不能概括為數學文化的全部特征，數學的許多理論并不是絕對真理，數學文化的歷史性和相對性決定了數學文化必須遵循“否定之否定”哲學原理，在包容中由不嚴格到嚴格，在揚棄中不斷自我完善和發展數學文化，這才是數學文化的顯著特征。

其三：在整合與創新中超越。今天數學在各行各業的應用之所以從幕后走到臺前，除了數學文化能很好地提示客體發展的客觀規律外，還由于數學文化的前瞻性隨著時代的發展而愈發顯現出來。眾所周知，著名物理學家麥克斯韋在十九世紀由電磁規律所建立的麥克斯韋微分方程組，不僅從理論上證明了光也是一種電磁波，還預言了電磁波的存在，從而把電、磁、光統一起來，這一切均被實驗所證實。非歐幾何引起數學思想的巨大變化，是數學在整合創新中極具超越精神的光輝例證，盡管一些數學模型在建立之初是如此抽象和不可理解，但是具有超前意識的數學家找到了它們的現實背景，非歐幾何成為了相對論、視覺空間理論的基礎，難怪物理大師愛因斯坦不得不驚呼“理論物理學家越來越不得不服從純數學的形式支配”。

數學知識是數學教學的底蘊，而數學思想、數學精神是學生的靈魂，數學文化正是把它們二者高度地統一起來。

（2）合理設計數學課堂教學內容，循序漸進地培養學生的批判性思維

數學學科特點：抽象性、嚴密性和廣泛應用性。而對數學規律的認識要經過“實踐——認識——再實踐——再認識”這一過程，換言之，對數學的認識，始終是一個歷史，發展的動態過程，這種過程不會終結，只有更加完善。

數學課堂教學要設計出切合實際的學習任務，優化處理數學教材，發動學生自主學習，不面面俱到，要舍得放棄，突出重點，走出數學課堂教學的窘境。

不滿堂灌，不拘泥于某一種教學模式，不迷戀于一種教法，批判性地認識教學方法，融入個人思想，匯集當地特色，把數學思想、數學文化融入數學課堂教學，分層施教，和而不同、和而不流，讓不同程度的學生能在有限的時間內啟迪心智、提升品格，使數學教學步入佳境，循序漸進地培養學生的批判性思維。

例3.求函數y=x（1-x），0

【初中數學的解法】配方法，

y=-x2+x （去括號）

=-（x- ）2+ （配方）

∵0

∴x= 時，函數的最大值= （在頂點處取最大值）

【高中數學的解法1】應用均值不等式

∵0

∴1-x>0， （驗證“一正、二定、三相等”條件）

∴y=x（1-x）≤ ，

當且僅當x=1-x，即x= 時，等號成立。

【高中數學的解法2】應用導數

∵0

∴yˊ=-2x+1 （求導）

∵00；

∴函數在（0， ）上遞增，在（ ，1）上遞減，

∴x= 時，函數取最大值，即ymax=f（ ）= 。

注意：因人而異，因材施教，實現百花齊放。

三、培養學生批判性思維對教師提出的種種挑戰

社會迅猛發展，學生要求教師專業素質越來越高，不斷提出他們學習發展的需求。打籃球，要求老師像姚明一樣，一伸手就扣籃；跑起步，要求老師像蘇炳添一樣，一溜煙就跑完；游起泳，要求老師像孫陽一樣，魚一樣穿梭；LL教師永遠是學者，活到老學到老，與學生一起學習，不斷進步，不斷提升自身的專業技術水平，不斷滿足學生日益發展需要。教師又是教練，怎樣帶好隊員？怎樣帶好隊伍？怎樣發揮出隊伍的最大效率？均是給教師提出的種種挑戰。冷靜面對挑戰，靈活應對，深刻透視以下四個的現實問題：

（1）正確認識“為什么要學數學”？

首先，數學是有用的。在生活、生產、科學和技術中，我們都會看到數學的許多應用。數學學科是“研究數量關系和空間形式”，在理論中，在物質世界中，在精神世界中，處處都有用場。數學就在我們身邊，她是科學的語言，她是一切科學和技術的基礎，她是我們思考和解決問題的工具。

其次，學數學能提高能力。數學學得好，更容易學好其他理論。理論之間往往有彼此想通和共同的東西，而“數量關系與空間形式”、邏輯結構及探索思維等正是它們支架或脈絡，因而數學恰在它們的核心處。這樣，在數學中得到的訓練和修養會很好地幫助我們學習其他理論，數學素質的提高對于個人能力的發展至關重要。

（2）如何才能學好數學？

數學是自然的，數學內容是在人類長期的實踐中經過千錘百煉的數學精華和基礎，其中的數學概念、數學方法與數學思想的起源與發展都是自然的。如果有人感到某個概念不自然，是強加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成過程，它的應用，以及它與其他概念的聯系，你就會發現它實際上是水到渠成、渾然天成的產物，不僅合情合理，甚至很有人情味，這有助于大家的學習。

數學是清楚的。清楚的前提，清楚的推理，得出清楚的結論，數學中命題，對就是對，錯就是錯，不存在絲毫的含糊。我們說，數學是易學的，因為它是清楚的，只要大家按照數學規則，按部就班地學，循序漸進地想，絕對可以學懂；我們又說，數學是難學的，也因為它是清楚的，如果有人不是按照數學規則去學去想，總想把“想當然”的東西強加給數學，在沒有學會加法的時候就想學乘法，那就要處處碰壁，學不下去了。

在對數學有一個正確認識的基礎上，還要講究一點方法。學數學要摸索自已的學習方法。學習、掌握并能靈活應用數學的途徑有千萬條，每個人都可以有與眾不同的數學學習方法。做習題、用數學解決各種問題是必需的，理解概念、學會證明、領會思想、掌握方法也是必需的，還要充分發揮問題的作用，問題使我們的學習更主動、更生動、更富探索性。要善于提問，學會提問，“凡事問個為什么”，用自已的問題和別人的問題帶動自已的學習，類比地學、聯系地學，既要從一般概念中看到它的具體背景，不使概念“空洞”，又要在具體例子中想到它蘊含的一般概念，以使事物有“靈魂”。

學數學趁年輕。高中生正處在一生中接受數學訓練、打好數學基礎的最佳時期。這個時期下點兒功夫學數學，將會終身受益。

（3）怎樣教好數學？

數學課堂教學的基本流程：提出問題——嘗試解法——分析比較——解決問題——方法提煉——問題拓展。

南京師范大學附中特級教師陶維林就“一節好的數學課的標準”作個性鮮明的說明：①學生參與度越高越好；②教師如何教？如何引領學生思考？如何引導學生探索數學問題？③讓學生學會了多少？學得越多越好；④數學教學的特色是什么？要有個性；⑤合理地教學設計，越大氣越好；

如何上好一節數學課目前尚沒有一個標準。個人認為課前充分備好課，備學生、備教材、備課時教案、備教法、備教具，優化設計教學內容，有舍有棄，胸有成竹；課堂教學要靈活互動教學，突出重點，不面面俱到，精講多練；課后及時反思，不斷提升教學水平。

（4）怎樣處理教學實踐中的矛盾？

矛盾一：一節課40分鐘，讓“學生討論”與“教師講授”的時間如何分配？頗受爭議。讓學生互動多、練習多，自然要求教師要少講；如果教師講少了，許多內容得不到強調，學生會自主學會嗎？

目前，各地流行“大班教學”，克服學生人數多的現實問題。分層教學固然重要，因材實教。如果學生自主學習能力強，點拔一下，他們就會了，教師肯定要“少講”多練。如果學生的基礎差，則需要教師反復點拔，講的時間肯定“多”。不管如何，一節課要有取舍，突出重點，必須完成主要的教學內容，多講少講沒有個準，學生能掌握東西就才OK！

矛盾二：教學手斷是不是越高級越好？多媒體教學與傳統教學矛盾沖撞！

個人認為：數學教育手斷不見得越高級越好！多媒體教學僅僅是輔助教學，數學教學是抽象的教育活動，很多情況下需要傳統的“手把手”點拔、推理。目前，很多優質課競賽均采用多媒體教學，表面上教學容量大、師生互動多，實際上那些是花架的，不實用，一閃一閃的屏幕，學生無法正常記錄、反應、思考，像看電影似的，坐著看上一把癮，談不上發現問題或提出問題。

矛盾三：高中數學解題難度大，專項訓練耗時多，是不是訓練越多越好？

自中央落實“八項規定”以來，一周五天教學工作制，周未沒補課。時間緊，教學任務卻不減。上課起來像跑步一樣，飛著不著地。數學訓練更是沒有個譜，有日考、周考、月考、統測，就沒有時間完整點評，滑著跑。數學光講不練，萬萬不行；數學光練不講，效果不行。

“精講”與“多練”矛盾沖突，需要平衡。復雜問題可以歸類教學，一一化解難點，通過“專題比較”教學，讓函數圖像變換帶來勃勃生機，讓學生就平移的方向、平移的位置、伸縮量的大小、對稱性質等等，多視角批判思考，從而提升完整的系統認知。

例4.說說下列函數的圖象變換

（1）y=sin x→y=sin（x-2）； （向右平移兩個長度單位）

（2）y=sin x→y=sin（x+2）； （向左平移兩個長度單位）

（3）y=sin x→y=sin2x； （縱坐標不變，橫坐標縮短兩倍）

（4）y=sin x→y=sin ； （縱坐標不變，橫坐標伸長兩倍）

（5）y=sin x→y=sin x+2； （向上平移兩個長度單位）

（6）y=sin x→y=sin x-2； （向下平移兩個長度單位）

（7）y=sin x→y=cos x； （向左平移 個長度單位）

（8）y=f（x）→y=|f（x）|； （x軸上方部分保留，下方部分對折到上方來）

（9）y=f（x）→y=f（-x）； （圖象關于y軸對稱）

（10）y=f（x）→y=-f（-x）； （圖象關于原點中心對稱）

小結：函數的變換要熟記，可運用多媒體輔助教學，加以深刻認識。對于繁雜函數的圖象，需要轉化為標準型或常見函數類型，方可作圖。對于分段函數的圖象，需要逐段繪圖，不可馬虎，它只是一個函數，不是多個函數。

四、四、探索培養學生批判性思維的有效資源與良好的教學方式

1.

學生接觸的教學資源主要是教材、學校征訂資料、報紙雜志、手機搜索、電腦下載等等，涉及面大，內容多，無時不出現新問題，無處不存在新問題。

1、 教學資源泛濫，良莠不齊，對培養學生批判性思維有負面影響

當下是網絡時代，學生獲得教學資源的途徑有多種多樣。有自已主動上網搜索，或與同伴交流共享，或閱讀新聞媒體，或詢問長輩等等，主要來自于個人的學習需要。然而，學習信息有真有假，資料良莠不齊，媒體眾說不一，長輩各有說辭，造就了學生思想混亂，很難理清頭緒。面對數學課堂中出現的新問題、新思想，批判性的主見很難形成，頭腦往往思維定勢，屢屢出現隨大流的現象。

針對教學資源泛濫問題，需要過濾網絡資源，辯其真偽，優化選擇公信度更高的信息作為培養學生具有批判性思維的素材，若能組織一些老師自編教材，開展校本課程開發，對學生的批判性思維必有很大的推動作用。

2、 2.教師的教學方式與學生的學習方式要和諧發展，實現雙贏

教學是一門交流藝術，老師的教與學生的學，雙向互動。

如果學生素質好，老師點拔一下就可以了，教的時間不長，主要讓學生不斷批判，自主探索新問題?！鞍渭狻钡膶W生不是教出來的，而是指導出來的，沒有必要花過多的時間在管理的細節上，專攻教學點拔即可。如果學生素質不好，老師要預留出問題或引導學生發現問題，讓學生批判已有的知識，找出新問題的對策，逐漸提升數學思維能力，時間要有保證，更要突出“教法”的優化。

數學是清楚的，相似或相近的教學內容可采用“專題類比”，集中比較各異，上下貫通，讓學生前后比較，批判方程結構的差異性，批判方程成立的適用條件，批判方程的完整性，不斷加深認識，形成完整的系統認知。

例5.類比學習圓錐曲線方程

1. 圓的方程

圓的標準方程：

① （x-a）2+（y-b）2=R2； 圓心（a，b），半徑=R；離心率e=0

② x2+y2=R2； 圓心（0，0），半徑=R；離心率e=0

圓的一般方程： x2+y2+Dx+Ey+F=0 （D2+E2-4F>0）

圓的參數方程：

① 圓心（a，b），半徑=R；

② 圓心（0，0），半徑=R；

2. 橢圓的方程

橢圓的標準方程：

橢圓的一般方程： mx2+ny2=1 （m>0，n>0）；

橢圓的參數方程：

（1） （a>b>0） 焦點在x軸，

（2） （a>b>0） 焦點在y軸，

3. 雙曲線的方程

雙曲線的標準方程：

雙曲線的一般方程： mx2+ny2=1 （mn<0）；

雙曲線的參數方程：

（1） （a>0，b>0） 焦點在x軸，

（2） （a>0，b>0） 焦點在y軸，

4. 拋物線的方程

（1）拋物線的標準方程

y2=2px，p>0； p為焦準距，焦點在x軸，開口向右；

y2=-2px，p>0； p為焦準距，焦點在x軸，開口向左；

x2=2py，p>0； p為焦準距，焦點在y軸，開口向上；

x2=-2py，p>0； p為焦準距，焦點在y軸，開口向下；

（2）拋物線的參數方程

p為焦準距，焦點在x軸，開口向右；

p為焦準距，焦點在x軸，開口向左；

p為焦準距，焦點在y軸，開口向上；

p為焦準距，焦點在y軸，開口向下；

小結：通過類比學習，明確方程的結構特征，各有千秋，一目了然。

五、總結歸納培養學生批判性思維的結構化程序

上一節數學課之前，教師首先要備課，事先要備好學生目前的思維水平、備教材、備教學內容、備教具等。選定教學課題之后，要優化該課時的教學內容，精選教學素材。教師課前預設出批判內容，好讓學生有目的地去探索。課堂教學中，教師主動讓學生批判。學生發現新問題，發現很多越好。教師引導學生逐一解決新問題，初步形成學生批判思維。經多次升華，反復批判，思維能力才牢固形成。下圖形象地表示出“批判性思維的一個變化周期”。

批判性思維的一個變化周期示意圖

人的思維經常定勢，起始水平為A。經過批判性學習，發現新問題、解決新問題之后，思維水平升為B。若不繼續加以批判性學習，他的思維水平就定勢在B上。學習無止境，活到老學到老，需要后續不斷的批判性學習，方可不斷提升思維水平。為解決此類問題，老師經常要“變式訓練”，通過微妙差異性的訓練題強化學生的應對能力，多方位提升學生的批判性思維水平。

例6.（1）若函數f（x）=x2+ax+1，當x?[0，2]時恒有f（x）>0，求實數a的取值范圍；

（2）若函數f（x）=x2+ax+1，當a?[0，2]時恒有f（x）>0，求實數x的取值范圍；

【分析】問題（1）中x是主元；問題（2）中a是主元。不斷批判數學問題，提升分析問題、解決問題的能力。

解：（1）當x=0時，f（x）=1>0恒成立，得a?R；

當x?（0，2]時，由x2+ax+1>0恒成立，得a

∵ （當且僅當x=1時等號成立）

∴a>-2。

（2）由a?[0，2]，恒有f（x）=x2+ax+1>0

設g（a）=ax+x2+1=f（x），

∴

∴x?R，x≠-1。

【注意】批判相近的數學問題，通過比較，找出關鍵因素，迎刃而解。

例7.已知兩個函數f（x）=8x2+16x-k，g（x）=2x3+5x2+4x，x?[-3，3]，k?R。

（1）若對任意x?[-3，3]，都有f（x）≤g（x）成立，求k的取值范圍；

（2）若存在x?[-3，3]， 使得f（x）≤g（x）成立，求k的取值范圍；

（3）若對任意x1，x2?[-3，3]，都有f（x1）≤g（x2）成立，求k的取值范圍；

解：（1）設h（x）=g（x）-f（x）=2x3-3x2-12x+k，

∵任意x?[-3，3]，都有f（x）≤g（x）成立；即h（x）?0恒成立；

∴[h（x）]min?0

∵hˊ（x）=6x2-6x-12=6（x-2）（x+1）>0?x<-1或x>2；

hˊ（x）<0?-1

∴h（x）在（-∞，-1）上遞增，在（-1，2）上遞減，在（2，+∞）上遞增；

∵h（-3）=k-45，h（-1）=k+7，h（2）=k-20，h（3）=k-9，

∴[h（x）]min=k-45?0，∴k?45；

（2）問題等價于h（x）=g（x）-f（x）?0在x?[-3，3]有解，

∴[h（x）]max?0

由（1）得知：[h（x）]max=k+7?0，∴k?-7；

（3）問題等價于[f（x）]max≤[g（x）]min在x?[-3，3]恒成立，

∵[f（x）]max=120-k，[g（x）]min=-21，

∴120-k≤-21， ∴k?141。

【小結】要“等價轉化”數學問題，使其變為我們能夠或容易處理的函數類型，運用化歸思想，化難為易。

六、與批判性思維培養相關的教學反思

案例+反思=教師的專業成長。也就是說教師的成長過程可以歸結為通過反思積累教學案例的過程?？梢哉n前反思或課后反思，通常在上第一次課時要采用課前反思，上第二次課時要采用課后反思。

課后反思，顧名思義就是上課之后進行教學反思，其內容主要是反思備課的效果和教案的預設。

經常性的進行課后反思，不僅可以同以往的教學工作聯系，起到承上啟下的作用，還能夠從整體上觀察本節課的教學內容，查漏補缺；能夠進一步明確教學目標，確定教學起點；能夠檢測預設方案和學生的符合程度。在研究實踐中，筆者發現，能夠經常做課后反思的教師對課堂把握的程度要更好，課堂教學效果也更加理想。因為他已經實踐過一次，先前遇到的問題、節奏的掌控、重難點的把握愈發靈活應付。同一個教師上兩個班數學課，后一個班級的效果是要比前一個好，就是這個道理。

同樣地，課前反思也有一定的預設功效，事先評估學生的實際，科學設計教案，盡量減少課堂教學失誤。

筆者在這里，只就課后反思的內容作深入闡述。

（1）反思課程內容

本節課要上什么是反思的首選。教學內容要符合學生實際，符合課程體系，逐步培養學生動手能力，循序漸進提升學生批判性思維，不可恣意更改或添加輔助教學內容。例如：人教A版《數學必修3》第三章第一節“隨機事件的概率”這一知識點的講授中，新課程標準明確要求讓學生“會用列舉法計算一些隨機事件所含的基本事件數及事件發生的概率”，但是筆者發現：許多教師事先為學生講解了計數的加法原理和乘法原理，而忽視了讓學生理解隨機事件的具體含義，沒有培養學生尋找基本事件的能力，而且這不是個別現象。

（2）反思教學目標是否明確

教學目標中的行為動詞應該是可測量的，也就是說我們可以通過某一道習題或者某種測驗來檢驗我們的教學目標是否達到了，如果教學目標達成，我們才可以進行下一章節的學習，反之則不行。例如：“讓學生掌握（理解）一元二次不等式的解法”就是一個錯誤的教學目標。這里的掌握、理解均是抽象的行為動詞，不可測量。正確的教學目標可以是“學生能解決三步以內的一元二次不等式的解法”，這樣我們就能夠清楚地評估出本節課達到什么程度就是教學成功。

（3）反思學生的當前水平

教師要反思學生的當前發展水平，簡單地說，好的教學內容不能夠太難，也不能太簡單，而應該是讓學生“跳一跳，就能夠得到的”。新課程改革下強調為學生終身發展服務，我們的教學工作一定要有人性化，符合學生本身發展，選擇合理的教學內容，有效地提高課堂教學效率，激發學生的學習熱情，培養學生積極向上的品質。

（4）情境引入是否恰當

新課程改革下，課堂引入可以分為兩種，一種是“創設情境教學，另一種為“情境—教學”。前者是傳統意義上的情境引入式教學，后者是西南地區開展的“設置數學情境與提出數學問題”教學實驗所提出來的教學基本模式。兩者的共同點都是通過一個現實情境來引入教學。

新課程改革主張：數學生活化，強調情境設計的生活性。

創設情境首先要注重聯系學生的現實生活，在學生鮮活的日常生活環境中發現、挖掘學習情境的資源。其次要挖掘和利用學生的經驗，強調情境創設的形象性。再次要體現數學學科特色，緊扣教學內容，能夠簡單明了地讓學生發現情境中蘊藏的數學內容和數學問題，能夠激發學生情感。

（5）課件使用是否得當

不能為了省事而用課件代替板書，把教學內容羅列在POWERPOINT上，缺乏互動性、時效性差。

哪些教學內容要呈現在課件上，哪些則不需要，必須要明確，精選教學素材，突出重點，不能面面俱到。

課件展現形式有靜態、動態之分。無論選擇+哪一種制作方式，課件要科學、準確地反映教學內容，簡潔地表達出設計目標，充分體現出數學思想和方法，培養學生的數學能力和學習興趣。

（6）反思教材

新課程改革后，教材一再變動，有刪減、有增加、有變化。要正確理解新教材的編寫意圖，正確理解教材中的內容，有利于開展課堂教學，有利于教師專業素質的提高。

（7）反思一題多解

數學和其他學科相比，有一個顯著的區別就是出現“一題多解”頻次高。反思我們準備的習題是否有“一題多解”，反思我們的思想是否考慮周全。一旦發現有“一題多解”，要善于提問學生，啟發學生的批判性思考，讓學生探索出多個解題方法，各抒已見。

結束語：思維定勢與批判性思維是矛盾的“對立統一體”，在人的思維活動發展中，它們互相促進，互相轉化，它們和諧發展過程就是人辯證思維能力的提高過程，我們惟有對思維和求異思維能力各自的作用加以利用，不斷批判性思考，最大程度地培養學生分析問題與解決問題的能力，發揮數學學科的獨特優勢，讓學生真正成為學習的主人，充分感受數學求知的樂趣，在不斷探究和合作學習中發現規律，在解決問題的過程中全面提高批判性思維。

參考文獻：

（1）普通高中新課程標準實驗教科書系列用書（有必修、選修）：人民教育出版社、課程教材研究所、中學數學課程教材研究開發中心編著，劉紹學主編，2017；

（2）《教育學新編》：廣西師范大學出版社，徐瑩主編，2000年10月；

（3）《心理學》：廣西師范大學出版社，沈陽主編，2000年10月；

（4）《數學分析講義》（第三版），高等教育出版社，劉玉璉、傅沛仁主編，1994，

（5） 《近世代數基礎》，高等教育出版社，張禾瑞著，1978年修訂本，