導數對實際生活生產的重要性探究

李一帆

導數是高等數學中的重要內容之一，它在自然科學、工程技術等方面都有廣泛應用。本文將介紹如何將生活中的有關數學問題轉化為相關的導數問題來求解，以此說明導數對實際生活生產的重要性。

1 導數有關的基本內容

1.1導數的定義

設函數 在點 的某鄰域內有定義，當自變量 在 處取得增量 時，相應的 取得增量 ；當 時，極限 存在，則稱 在點 處可導，并稱此極限值為 在點 處的導數，記為 ， ， 。

1.2 常見的導數的定義形式

1.3導函數的定義

如果函數 在開區間 內的每點處都可導，就稱 在開區間 內可導。對任意 都對應著 的一個確定的導數值，這樣就構成了一個新的函數，這個函數叫做 的導函數，記作： ， ， 或 ，導函數簡稱導數。

即

2 導數在實際生活生產中的重要應用

在日常生活、生產中，常常會遇到這樣的問題，即求在什么條件下，可以使材料最省、時間最少、效率最高、利潤最大等，這些問題通常稱為優化問題。通過在謝的情況下，導數是求函數最大（小）值的有力工具。

2.1導數在物理學領域的重要應用

例1 在圖1所示的電路中，已知電源的內阻為 ，電動勢為 ，外電阻 為多大時，才能使電功率最大？最大電功率是多少？

解 電功率 ，其中 為電流強度，則

由 ，解得： 。

分析得，當 時， 取得極大值，且是最大值.最大值為

即：當電阻R等于內電阻 時，電功率最大，最大電功率是 。

2.2導數在幾何領域的重要應用

例2 在邊長為60cm的正方形鐵片的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起（如圖2），做成一個無蓋的方底箱子，箱底的邊長是多少時，箱底的容積最大？最大容積是多少？

解 法一：設箱底邊長為 cm，則箱高 cm，可得箱子容積為

令 ，解得 （舍去）， 。

將 代入 得 得箱子的容積為16000cm3。

由題意可知，當 過小（接近0）或過大（接近60）時，箱子容積很小，因此，16000是最大值.。

即當 cm時，箱子容積最大，最大容積是16000 cm3。

法二：此題也可設箱高為 cm，則箱底長為 cm，如圖3，

則可得箱子容積為

令 ，解得 （舍去）， 。

將 代入 得 得箱子的容積為16000 cm3。

由題目的兩種方法看出，箱子的容積的最大值出現在函數的極值點處。事實上，可導函數 ， 在各自的定義域中都只有一個極值點，如果畫出函數圖象，即圖像只有一個波峰，這個極值點就是最值點，此時不需要考慮端點的函數值。

2.3 導數在經濟學領域的重要應用

在實際生產中，如何擴大經濟效益，提高生產利潤是生產者思考的問題。在經濟學中，總利潤是指銷售 個單位的產品所獲得的凈收入，即總收益與總成本之差，記 為總利潤，則：

（其中 表示銷售量）

將 稱為平均利潤函數。

例3 某工廠生產某種產品，固定成本為2000元，每生產一單位產品，成本增加100元。已知總收益 為年產量 的函數，且

問每年生產多少產品時，總利潤最大？此時總利潤是多少？

解 由題意總成本函數為：

從而可得利潤函數為：

令

所以 時總利潤最大，此時 ，即當年產量為300個單位時，總利潤最大，此時總利潤為25000元。

3 結語

在本文中，介紹了與導數有關的基本內容，并將實際生活生產中的物理問題、幾何問題、經濟問題以及建筑問題等有關數學問題轉化為相關的導數問題來進行求解，以此說明了導數對實際生活生產的重要性。

（作者單位：河南工業和信息化職業學院）