《因數和倍數》教學設計

楊傳岡（特級教師）

【教學內容】

蘇教版五年級下冊第30、31頁。

【課前思考】

因數和倍數是數論的基礎性概念，在小學階段有過一些變革和調整，如蘇教版教科書有一段時間曾前移至四年級，現后移編排在五年級下學期，充分尊重了學生的理解能力和已有知識結構。教過這部分內容的教師或許都有這樣的感受：學習內容較為抽象，知識點零碎，課堂容量較大，學生很難迅速理解和熟練掌握。

《因數和倍數》一課的整體設想是：關注概念生成，讓學生感悟知識來源；關注范例教學，讓學生發現概念形成過程；關注思想滲透，讓學生領悟概念本質；關注開放練習，讓學生融會貫通知識體系；關注文化拓展，讓學生明晰知識效用。

具體來說，深入領會編者意圖，以教科書為藍本，充分遵循知識的產生和形成過程，通過學生預學交流，了解評判學生的認知起點，重點選擇學疑之處、學難之處；依托活動導學，通過生生互學、師生共學，著力從學生學困之處尋找突破口，幫助學生調取已有的知識經驗，強化概念的理解和建構。全課圍繞因數和倍數的找法及特征，以數學思考為主線，以數學活動為腳手架，引導學生想思、會思、能思、愛思，思成。從學生的認知現實出發，既不拔高也不降低，注重教學目標的多元化、學習方式的多樣化、學習元素的開放化、學習評價的及時化，以活動模塊分散難點，強化因數倍數相互依存的本質屬性，以開放的視角直面知識體系建構，突破因數和倍數概念理解的難點。另外，在學習價值的目標取向上不局限于學生獲得一般的數學知識和形成一定的技能。而是精心選擇學習素材，在供給學生鮮活學習素材之前鋪墊包袱，揭示時帶給學生更多的驚喜，讓學生在親身經歷中感悟、領略數論基礎的內在規律及文化魅力，激發學習數學的興趣，激活學好數學的信心，在學習過程中體悟數學基本思想，積累基本的數學活動經驗，提升解決問題的能力。

【教學設計】

一、課前活動，直面難點

師：同學們喜歡玩腦筋急轉彎嗎？有三個人，其中有兩個爸爸，兩個兒子，你能說出他們之間的身份關系嗎？

（引導學生說清三個人的關系，重點強調：誰是誰的爸爸，誰是誰的兒子）

【設計意圖：課前活動設計的主要目的有兩個：一是通過有趣的腦筋急轉彎活躍現場氣氛，拉近師生之間的距離，打消學生的畏懼心理；二是為學生順利理解因數和倍數的相互依存關系埋下伏筆。】

二、預習反饋，了解學情

師：本節課我們要學習的內容是《因數和倍數》，課前老師布置了預習任務。通過預習，你有哪些收獲？還有哪些困惑？

（梳理：因數和倍數不是一種數，而是數與數之間的關系；怎樣找一個數的因數；怎樣找一個數的倍數；因數和倍數個數的特點……）

師：相信通過今天的共同探索、交流學習，你一定能破除困惑，建立正確的認識。

【設計意圖：在有限的課堂學習時間內，如何才能緊扣學生思維的脈搏同頻共振？如何才能和學生一起經歷思維的起伏跌宕？這些都離不開教師恰如其分地了解學生的學習起點，并據此確定學習流程，調適學習進度、時間分配、學習形式等，從而有效提升學習效益。正所謂知己知彼方能百戰不殆。】

三、拼圖引入，建立概念

1.思維拼圖。

師：讓我們一起先來做個熱身運動吧。你能快速說出由12個邊長是1厘米的正方形可以拼成怎樣的長方形嗎？想到幾種可以說幾種。

2.統一拼法。

師：我們一起來整理一下：長 12，寬 1；長 1，寬 12（課件呈現具體拼法），這是兩種拼法嗎？（不是）它們旋轉后是一樣的（課件呈現旋轉過程），數學上認為是一種拼法。寫成算式為12×1=12。還有什么不同拼法？怎樣用算式表示？

（根據學生補充，課件呈現另兩種拼法及算式）

3.感知概念。

（1）概念揭示。

剛才三種不同的擺法，相應地可以用三道不同的乘法算式表示。以3×4=12為例，數學上說3是12的因數，4也是12的因數；12是3的倍數，12也是4的倍數。（課件演示）

明確：研究因數與倍數時，所說的數一般指——（課件出示：非0自然數）

（2）強化練習。

這兩道算式 2×6=12，1×12=12，你能也試著說一說誰是誰的因數，誰是誰的倍數嗎？

4.內化概念。

下面每個方框里的兩個數，哪個數是哪個數的因數？哪個數是哪個數的倍數？

（教師捕捉學生發言中的表述漏洞，引導學生明晰因數、倍數是兩個數之間的關系，這兩個數都是非0自然數）

5.12的因數。

師：除了這三道算式，你還能找到兩個自然數相乘的積是12嗎？（課件出示 4×3=12，2×6=12，1×12=12）

師：不能了，所以12的因數有？

教師示范、指導一個數因數的寫法，如 12 的因數有：1，2，3，4，6，12。（一對一對地找，按照從小到大的順序排列，每相鄰兩個數之間用逗號隔開，注意保持合適的間距）

小結：在非0自然數范圍內，因數的背后總能找到與之相對應的乘法算式或除法算式。

四、活動探索，研究因數

1.找36的因數。

活動要求：

1.想一想：你打算用什么方法找全36的因數？

2.議一議：怎樣找才能做到不重復、不遺漏？

3.寫一寫：把找到的36的因數按順序記錄下來。

4.說一說：把自己找36的因數的過程在小組里說一說。

2.交流建構。

（展示學生活動單，師生活動交流學習成果）

尋找方法：有序思考，根據乘法或除法算式一對一對尋找。

在臨床思維能力、操作能力、團隊協作能力方面，SBMEPBL組的贊成比例明顯高于PBL組（P＜0.05）；在提高自學能力、學習興趣方面，SBME-PBL組和PBL組兩組的贊成比例差異無統計學意義（P＞0.05）。詳見表3。

尋找原則：不重復，不遺漏。

方法保障：有序思考。

特例指導：處理類似6×6=36，只算一個6為36的因數。

書寫指導：寫36的因數時，可以先在草稿上試著寫好，再按照從小到大的順序謄寫；如果能控制數與數之間的距離，可以直接書寫，每相鄰兩個數之間用逗號隔開。

集合圖表示：

數形結合表示：

師：按照一對一對的方法，從小到大尋找一個數的因數，到什么時候就可以結束呢？讓我們一起來看。（屏幕出示：在數軸圖上從 1，36；2，18；3，12；4，9；6，6 逐對顯示，帶領學生感知使用這種找法尋找因數時兩個因數之間的距離越來越小，從而明確找到因數6時不再找下去）

3.及時練習。

（學生分別寫出6、11的因數，并交流）

師：你是怎樣找到？找全了嗎？

4.探索規律。

12 的因數有：1，2，3，4，6，12。

36 的因數有：1，2，3，4，6，9，12，18，36。

6 的因數有：1，2，3，6。

11 的因數有：1，11。

（1）觀察思考。

觀察這些例子，獨立思考這些數的因數有什么特點？如果有困難，可以小組里商量。

（2）交流發現。

（不同學習層次的學生匯報發現）

教師根據學生的發言，引導他們從一個數最小的因數、最大的因數、因數的個數等緯度展開交流、討論，形成共識，使學生理解為什么因數個數是有限的。

（3）歸納（課件出示）：一個數的因數最小是1，最大是它本身，一個數的因數個數是有限的。

【設計意圖：如果說學生借助于形的直觀去認識一個數的因數，那么對于任意數的因數就需要學生通過較為抽象的乘法（或除法）算式來探尋其一般方法。借助概念形成部分的經驗，學生通過合作學習順利發現找一個數因數的一般方法后，教師再借助集合圖、數軸圖等數形結合的方式進一步幫助學生釋疑解惑，促進學生自主建構完整的認知體系，進而通過猜想、實驗、觀察、驗證比較等提煉總結出一個數因數的特征。】

五、活動探索，研究倍數

1.找3的倍數。

活動要求：

1.想一想：你打算用什么方法找3的倍數？

2.寫一寫：把找到的3的倍數按順序記錄下來。

3.議一議：3的倍數能說完、寫全嗎？可以用什么符號來表示？

4.說一說：把自己找3的倍數的方法在小組里說一說。

2.交流建構。

（展示學生活動單，師生交流學習成果）

尋找方法：有序思考，根據乘法或除法算式一個一個地找，3×1=3，3×2=6……以此類推，會有無數個這樣的算式，所以一個數的倍數有無限個。

尋找原則：不重復，不遺漏。

方法保障：有序思考。

書寫指導：寫3的倍數時，可以按照從1倍開始逐一寫出，一般寫出5個后，就在后面添上“……”，每相鄰兩個數之間仍然用逗號隔開。

集合圖表示：

數形結合表示：

師：在數軸上能找到3的倍數所對應的點嗎？這樣的點有多少個？

（根據學生口答，從 3，6，9，12……逐一對應的點呈現）

3.及時練習。

（1）說出并寫出2的倍數。

（2）說出并寫出5的倍數。

4.探索規律

3 的倍數有：3，6，9，12，15……

2 的倍數有：2，4，6，8，10……

5 的倍數有：5，10，15，20，25……

（1）觀察思考。

觀察這些例子，獨立思考這些數的倍數有什么特點？如果有困難，可以小組里商量。

（2）交流發現。

（不同學習層次的學生匯報發現）

教師根據學生發言，引導他們從一個數最小的倍數、最大的倍數、倍數的個數等緯度展開交流、討論，形成共識。

（3）不完全歸納。

師：是不是任意一個非零自然數的倍數都有這樣的特點呢？自己任意找一個自然數，找一找，說一說，和同桌交流一下。

（4）形成結論。

屏幕出示：一個數的倍數最小是本身，沒有最大的倍數，一個數的倍數個數是無限的。

【設計意圖：比起一個數的因數，學生對倍數有較為直覺的認知，他們有二年級學過一個數的幾倍是多少的數學經驗，教師也在引導學生用乘法（或除法）算式強化概念的本質認知。這樣按從小到大的順序探索一個數的倍數，師生在充分互動合作中經歷了一個數的倍數有無限個的發現過程，并借助集合圖、數軸圖等方式幫助學生強化對概念的理解和掌握，使他們在猜想、實驗、觀察、驗證、比較中提煉總結出一個數倍數的特征。】

六、全課總結，梳理脈絡

通過這節課的學習，你有哪些收獲？

【設計意圖：總結有助于學生把所學知識初步形成脈絡分明、層次清楚的結構圖，幫助學生抓住知識本質，為學生內化新知奠定基礎。】

七、多樣練習，效度達成

1.猜猜這個數是幾？（題目逐一出現，搶答）

1.一個數最小的倍數是60，這個數是多少？

2.一個數最大的因數是90，這個數是多少？

3.一個數的最小倍數和最大因數都是100，這個數是多少？

4.一個數的最小因數是1，這個數是多少？

2.猜猜誰的因數個數多？

60、90、100 這幾個數，哪個數的因數最多？

生：100的因數多。（預測）

（釋疑，引入60進制的緣由）

【設計意圖：知識是一個網絡，學習就是幫助學生建立網絡。通過“猜猜這個數是幾”這個游戲活動，植入開放元素，將答案不唯一的習題引入到概念教學中，在學生異口同聲回答是“1”后陷入5秒左右的集體靜默中，學生充分關聯新學知識的相互聯系發現問題答案的不唯一，溝通因數和倍數之間的內在聯系，實現知識體系的自我建構和完善。第二次猜想將學生的學習熱情推到制高點，他們猜想受挫后，教師適時推出60進制的緣由猶如久旱甘霖，讓學生恍然大悟，又有所不甘，期待課后的深度探尋驗證。這樣不僅能有效激發學生的探究欲望，還能令課堂教學渾然一體，更有數學味。】