理清知識發展能力
——《長方體和正方體整理與復習》教學實踐與思考

張 麟

【教學內容】

浙教版五年級下冊第四單元。

【教學過程】

一、梳理知識，形成網絡

1.交流梳理方法。

（課件呈現點動成線、線動成面、面動成體的動畫）

師：點、線、面、體是我們學習圖形知識中非常重要的元素，動畫最后形成的是一個什么形狀？

生：長方體。

師：長方體是我們今天的主角，要復習已經學習過的長方體知識，可以從哪些方面來整理？

生：可以從頂點、棱、面、體這些方面進行整理。

生：可以利用表格進行梳理。

2.梳理長方體知識。

師：請把學過的有關長方體的知識整理在表格中，比比誰整理得好。

（學生展示匯報，在課件中整理得到下表）

師：怎樣記憶這些知識呢？

生：我們可以利用長方體的特征來理解公式，比如因為相對的4條棱都相等，所以才有了棱長總和的計算方法；因為相對的面完全相同，所以就有了表面積的計算公式。

3.梳理正方體知識。

師：我們都知道正方體是特殊的長方體，說一說在哪些方面比較特殊呢？

生：它的每一條棱長度都相等，所以棱長總和等于“棱長×12”，體積就是棱長的三次方。

生：它的6個面是完全相同的正方形，所以表面積等于“棱長×棱長×6”。

師：因為正方體的每條棱都是相等的，所以相關的計算都可以變得簡單些。

【設計意圖：通過頂點、棱、面、體這四個方面讓學生自主地對長方體知識進行整理，嘗試讓學生理解特征與計算公式之間的聯系，使學生原有的點狀分布的知識連成片，減輕記憶負擔。通過說一說正方體如何特殊，從而聯系長方體的知識來理解正方體的相關知識，同時進一步理解正方體是特殊的長方體。】

二、解決問題，查漏補缺

1.加單位，想物體。

師：請給下面長方體或立方體的數據加上單位，并想象它可能是生活中的什么物品？（出示課件）同學說了之后，大家都要想一想是否合理。

生：正方體加分米，可能是個魔方。

生：長方體加米，可以想象成一個冰箱。

生：正方體加厘米，可以是一塊方糖。

生：長方體加分米，可能是一個電腦的機箱。

……

（根據學生的回答，請全班進行想象判斷）

師：知道這兩個是什么物品嗎？（出示課件）

師：現在要加什么單位呢？

生：魚缸加米比較合適，餅干盒加分米。

2.議問題，辨難點。

師：關于這兩個物體有一些問題，你能幫助解決嗎？

課件出示相應問題：

（1）制作這樣一個魚缸至少需要多少玻璃？魚缸最多能裝多少升水？

（2）餅干盒一周貼上標簽，至少需要用多少紙？

（學生獨立完成后，教師通過投影展示一位學生的練習紙，請其他學生進行評價、修改）

師：這兩個問題中哪些地方是需要我們注意的？

生：魚缸有五個面，計算的時候要注意。

生：第一個問題是最多能裝多少升水，這里計算出的單位是立方米，還要乘1000把單位轉化成升。

生：餅干盒是計算側面的面積，上下兩個底面不能算。

師：餅干盒的側面積你們是怎么算的？

生：先用公式計算出表面積再減去兩個底面。

生：先算出一個面的面積再乘4。

師：為什么可以這樣算？

生：因為底面是一個正方形，所以4個側面都是一樣的。

生：還可以用1×4×2來計算側面積。因為側面展開是一個長方形，底面周長就是長方形的長，高就是長方形的寬。

（教師利用課件動畫展示將側面進行展開，幫助學生理解）

師：解決完這兩個問題，以后在解決類似問題時有什么要提醒大家的？

生：要看清題目意思，弄清楚到底要算幾個面。

生：要注意題目中的單位，單位不一樣要進行統一。

【設計意圖：通過加單位猜物品這樣一個開放的環節，增強了學習的趣味性和學生的參與度，同時通過多次的想象判斷，培養了學生的空間觀念。通過解決兩個帶有實際情境的問題，將學生的易錯點暴露出來，在辨錯、議錯、糾錯的過程中進一步查漏補缺。】

三、鞏固提升，發展能力

1.思考最大的面。

師：王師傅想做一個無門的長方體木柜，其中的兩塊木板已經做好了，是下圖這樣的。

師：這個柜子最大的面是哪個面？

生：是B面，因為B面比A面要大。

生：我覺得不對，應該選C面。

師：選C面的同學舉手。這里只有A面和B面，怎么會有C面呢？

生：把A、B兩個面拼起來，這樣就會有一個C面，它的長是4dm，寬是3dm，是最大的面。

師：剛才沒有想到C面，但現在想到的同學請舉手。看來還有一部分同學沒有想到，沒有關系，我這里有一塊A面，有一塊B面，誰來讓大家都能想到這個C面。

（請一位學生上來操作拼的過程，讓每位學生能夠想出C面）

師：那么這個C面是一定存在的嗎？

生：一定存在的，因為是無門的衣柜，就算少的那面是C面，但是還有1面C是肯定存在的。也有可能兩面C都在，所以C面一定在的。

師：那么這個C面還能比長4dm，寬3dm的面更大嗎？

生：不能大了，因為A面和B面一拼，這個長方體的長、寬、高就已經確定了，不能再大起來了。

【設計意圖：通過思考判斷無門木柜中最大面的環節，個性化地培養學生的空間想象能力，學生參與度高。通過“最大面一定在嗎？還可以更大嗎？”兩個問題的追問，讓學生不斷進行想象推理，在培養空間觀念的同時進一步理解“長、寬、高”的意義。】

2.思考不同形狀。

師：這個木柜的體積是多少？

生：2×4×3=24dm3。

師：如果體積不變，這個柜子還可以做成什么形狀？

（學生獨立思考，將自己想出的形狀記錄在練習紙上）

師：用手勢告訴老師想出了幾種？（請學生匯報）

生：想出了三種，長24dm，寬和高都是1dm；長8dm，寬3dm，高1dm；長6dm，寬2dm，高2dm。

師：有補充嗎？

生：還有長 12dm，寬 2dm，高1dm；長6dm，寬4dm，高1dm。

師：怎樣快速想到這些形狀？

生：三個數的乘積是24就可以了。

師：還有沒有其他形狀？

生：我做成了底面是三角形的一個柜子。

（展示學生畫的圖形，圖略）

師：這個是否可以呢？要解釋這個問題，我們可以先回顧一下長方體的體積公式是怎么得到的。

生：我們是用小立方體塊去擺的，長就是一排擺幾個，寬就是擺了幾排，高就是有這樣的幾層，長寬高相乘就是一共有多少個小立方體。

（課件展示學生表述的過程）

小立方體測量長方體

師：那底面變成三角形了，是否還可以呢？（課件出示圖形）

底面為直角三角形的三棱柱

生：可以，它的底面積是2×6÷2=6dm2，高是 4dm，6×4=24dm3。

師：為什么可以這樣算呢？

生：用“底面積×高”可以計算出體積。

師：為什么“底面積×高”就能算出體積呢？誰能來解釋？

生：我們也可以用小立方體去擺，只是現在底面是三角形，先當成長方形的擺，擺完之后再切一半就可以了。

（教師通過課件演示）

小立方體測量三棱柱

師：這里的底面積和高分別相當于什么呢？

生：底面積相當于一層能擺幾個，高相當于擺了這樣的幾層。

師：那底面變成梯形可以嗎？（出示課件）

底面為梯形的四棱柱

生：可以，底面積是（2+4）×2÷2=6dm2，相當于一層可以擺6個，高是4，就是擺了這樣的4層，一共就是有24個小立方體。

師：誰能來說一說你對“底面積×高”有什么新的理解？

生：直直的柱體我們都可以用“底面積×高”來計算體積，底面積相當于一層的小立方體的個數，高相當于有幾層。

【設計意圖：通過思考體積一定時還能做成怎樣形狀的柜子這一環節，先想到長方體的形狀，從無序到有序，發展了思維。再由長方體形狀想到其他的直柱體，在培養學生空間觀念的同時，也在復習長方體體積公式推導的過程中進一步形象地理解底面積乘高的意義，有了新的認識和收獲，增加了思維的深度和廣度。】

【課例評析】

小學數學單元復習的目的是引導學生深化對知識的理解，彌補學習過程中的缺漏，把學過的本單元知識進行梳理和溝通，從而更好地理解、掌握知識，發展數學思維和能力，提升學生學習數學的興趣與信心，為進一步學習數學奠定更好的基礎。可見，單元復習課教學效率的高低關系到單元目標任務是否能圓滿完成，影響到學生今后在數學方面的發展。如何讓復習符合學生的實際，充分發揮學生的自主性，讓復習變得高效而不失學習興趣，一直是一線教師探究的話題。本節課以《長方體和正方體整理與復習》為抓手、以自主復習為手段、以梳理知識提升能力為目的，做了一些思考與嘗試。

一、基于學生認知經驗的回顧梳理，增強學生思維參與度

整理是復習課必不可少的環節。復習課應根據知識的重點、學習的難點和學生的薄弱點，引導學生按照一定規律把已學的知識進行分類、梳理、整合，弄清它們的來龍去脈，溝通其縱橫聯系，從整體上把握知識，使知識系統化。

本課的回顧整理環節充分體現了學生的自主性和能動性，由課前觀看“點動成線、線動成面、面動成體”動畫后，直接切入主題，討論如何整理本單元的知識。根據學生的建議，在“點、棱、面、體”四個方面進行嘗試整理，然后通過獨立整理、同桌交流、全班匯報、分析知識點間的聯系等環節，將原本零碎的知識點連成了片，增強了對知識的理解，減輕了記憶負擔。

二、基于學生解決問題的反思自省，讓思維過程可視化

查漏補缺是復習課的一項重要功能。查漏補缺的前提是要知道學生缺在哪里，漏在何處？只有針對性的查漏補缺才能形成高效的復習。

在本課中教師選擇恰當的實際問題為載體，在解決問題的過程中將這一單元最容易出現的錯誤暴露出來，比如“面積和體積混淆”“單位忘記換算”“算幾個面判斷失誤”等常見問題。然后進一步對這些錯誤進行共同分析、回溯反思、同伴提醒等，對每個錯誤點都進行了細致分析并賦予一定的意義，不但達到了查漏補缺的目的，而且通過這些錯例提升了學生的反思、辨析能力。

三、基于學生能力發展的拓展提升，促進學生深度思考

拓展與應用是復習課中的一項重要功能，可以達到溫故而知新的效果。當然拓展方向的選擇可以是多樣的，可以是在知識的深度上進行突破，可以在知識的廣度上進行聯系，也可以在知識的實際運用方面進行強化，這些方向和維度可以根據不同的復習內容做出不同的選擇。

在《長方體和正方體整理與復習》一課中，教師選擇了在發展能力和知識理解深度兩個方面進行了突破。通過給長、正方體加單位后想象是什么物品、無門的木柜已知兩塊木板的情況下想象最大的面的面積等環節，充分給予學生空間想象的機會，并進行想象策略的指導，從而進一步發展學生的空間觀念。通過找相同體積的木柜環節，讓學生進一步理解“體積=底面積×高”的含義，底面積相當于一層的小立方體數量、高相當于層數，從而為后續學習柱體的體積打下了堅實的基礎。

小學數學單元復習課中，要根據學情有針對性地設計教學，充分發揮學生復習的自主性，“從學生中來，到學生中去”，讓學生感覺復習課很真實也很有收獲，這樣才能讓復習課更加合理、高效。