小學數學深度學習的三個維度

李雯 林琦

隨著谷歌公司開發的人工智能程序“AlphaGo”相繼擊敗人類頂尖圍棋手李世石、柯潔，其背后蘊含的深度學習概念成為人們競相研究的熱點，希望通過深度學習讓計算機像人類一樣思考，模仿人類的學習過程。而在教育領域，相對于淺層學習的深度學習也同樣備受關注。

21世紀是計算機網絡的時代。相較于人類，計算機的知識儲存量更大，運算速度更快，沒有肉體的局限，抑或任何情緒的變化。這些優點致使如今很多職業都受到極大的沖擊：制造業工人、司機、快遞員等，這類簡單的、固定的、重復性高的崗位都將面臨被取代的風險。可見，提倡深度學習是順應時代發展的需要。

那么，什么樣的學習才稱得上是深度學習？

一、深度學習的界定

20世紀70年代，馬頓和薩爾約從學習方式的角度，將學習分成淺層次學習取向和深層次學習取向，提出淺層學習是指學生對材料內容的死記硬背，即“復制型”學習，深度學習則是指學生主動地理解文章內容。

90年代，比格斯將學習過程分成三個層次：1.運用，簡單熟練地運用所學知識。2.內化，對所學知識頗感興趣，將所學材料和已有認知結構建立起有意義的聯結。3.成就，學生渴望成功，能夠合理地安排時間，有效地完成任務。在這里，“運用”對應淺層學習，“內化”與“成就”對應深度學習。美國國家研究委員會（NRC）則認為深度學習是學習遷移的過程，將在一種情境中學習到的知識運用在另一情境中，即知道如何遷移，為什么遷移，以及何時遷移知識去解決新問題。

美國“關于深度學習的調查研究：機遇與成果（簡稱SDL）”的項目從學習結果的角度，將深度學習界定為學生在21世紀工作與生活所必需的，且通向高等教育的高階知識與技能。從三個維度（認知領域、人際領域和自我領域）區分出六種能力：掌握核心學科知識、具有批判性思維和解決復雜問題能力、有效溝通與交流、團隊協作、學會學習以及具有學術信念。

借鑒上述定義，我們界定深度學習為：在掌握核心知識和運用所學解決復雜問題的同時，以批判性的眼光審視學習內容與過程，具有較高的學習參與度，并獲得高階思維與技能的學習。

二、小學數學的深度學習

當今深度學習的研究多集中于中學和高等教育階段，但它對于小學階段的數學學習來說也有一定的啟示。雖然兒童尚未形成系統的數學知識體系，但這并不能說明小學數學就是淺層學習，沒有進行深度學習的必要。下面從學習方式、學習過程和學習結果三個方面對小學數學的深度學習進行討論。

1.學習方式的深度。

首先，深度學習強調有意義學習，反對“復制型”的死記硬背。比如在學習負數時，考慮到小學生已經有了購物的生活經驗，那么就可以從“正盈負虧”的角度來理解正負數——正數表示盈利，負數表示虧本。在這里，我們賦予負數“虧本”的意義，而不只是記憶有減號的數就是負數。

其次，能夠對所學知識做出批判性思考。第一，抓住問題的關鍵，在撲朔迷離的各種現象中抓主要矛盾，體現數學的本質。第二，具有質疑的意識和能力，經常思考別人為什么會提出這樣的方法，善于提出問題，尋求對這些問題的解答。第三，在思考問題的方向上具有發散性和原創性，大膽進行方法和策略的創新，具有較強的創新意識和創新思維能力。比如，教師在講到“一組對邊平行的四邊形是梯形”時，學生能夠提出質疑：“平行四邊形的兩組對邊都互相平行，那么平行四邊形也是梯形嗎？”由此引出梯形的嚴謹定義“只有一組對邊平行的四邊形是梯形”。在學習梯形面積時，學生能夠通過多種割補法，轉化成三角形、長方形、平行四邊形等不同圖形來求得梯形面積。

2.學習過程的深度。

根據NRC的定義，深度學習體現在學習遷移上，這一點和國內學者張浩等人的研究不謀而合。而在小學數學學習過程中，學習遷移從低到高可以分為四個層次：

第一，從一道題到另一道題的遷移，從而解決一個類型的題目。要求學生能夠辨別出題目中具有相同的數學原理，即掌握“問題原理”。只有這樣，在遇到新問題時，才能將其納入某個問題原理中處理。例如，在解決不規則圖形的面積問題時，其問題原理就是通過分割或填補成規則的圖形，再由規則圖形的面積得到不規則圖形的面積。

第二，從一個數學領域遷移到另一個數學領域，形成系統的知識網絡。孤立地學習某一特定部分的知識，猶如“管中窺豹”，難以全面地認識數學，甚至以為數學的學習就是數的學習或是圖形的學習，阻礙學生之后靈活地運用數學。這就要求學生對數學的各個部分都有清晰的認識和理解，是借助深層次學習方式來達成的。此外，學生要具備主動建立知識間聯系的意識，能夠從一個領域聯想到另一個領域，如下題。

幾何與代數的聯系

表面上是圖形題，實質考察的卻是代數內容。學生要從圖形問題聯想到代數內容，抽象出代數知識，繼而借助數的思想方法解決該問題。

第三，數學與其他學科之間的遷移。不僅物理、化學等理科蘊含著豐富的數學知識，語文、地理等學科同樣如此。比如，地圖上的比例尺就是數學中比例關系的實際應用。標準中國地圖上的比例尺是1∶18000000，意味著地圖上的1厘米等同于現實生活中的180千米。學生只有全方位地掌握各門學科的知識，才能建立彼此的聯系，更深層次地理解和運用數學與其他學科。

最高層次的遷移是在不同情境中的數學遷移，主要指生活情境和學校情境間的轉化。一方面，學生能夠將學校所學的數學知識運用到現實生活中。另一方面，也能從日常生活中抽象出數學知識，豐富數學的理解。

四個層次，每個層次都是在前一層次的基礎上形成的。不同情境下的靈活轉化，是在達成前三種層次的基礎上滿足的。

3.學習結果的深度。

我們根據SDL項目的框架，并結合《義務教育階段數學課程標準（2011年）》，從認知、人際和自我三大領域對小學數學所應當發展的能力進行說明。

在認知領域，學生應在掌握并理解代數知識、幾何知識和統計知識的基礎上，加以批判性的思考，即學習方式上的深度學習，在此就不再贅述。

在人際領域，學生能夠把自己理解的知識及其本質，以書面或口頭的形式呈現出來，與同學進行有效的溝通。既能傾聽他人的意見，虛心接受，也能為他人提供建設性的反饋。小學生課堂氣氛活躍，不乏溝通交流，但還不能很清晰地表達自己的想法。因此，教師應當鼓勵學生多多表達，通過提問、輔之以動作，來幫助學生組織語言。而數學教師則更要關注學生用數學語言、數學符號來表達和交流。

學生在這基礎上進行合作學習，獲得團隊協作的能力。但要避免過于形式化，不能為了合作而合作。合作學習的形式雖然能很好地激起學生的學習興趣，但也容易讓學生只專注于形式，卻忽視思考，重“合作”而輕“學習”。因此，在合作學習前要讓學生明確學習的目標，過程中要進行適當的指導，做到“形散而神不散”。

在自我領域，學生要學會學習，即監控并調整自己的學習，其關鍵在于反思，這也是貫穿于學習過程始終的。學習前，通過反思來了解自己已有的知識經驗和能力水平，確立學習目標，制定合理的學習計劃。學習中，通過自我提問、師生評價、檔案袋等方法，不斷調整知識的獲得、轉化和運用來提高效率。最后，總結經驗教訓，正確地評估解決問題的方法，思考更優化的策略。

在小學階段，教師還應幫助學生逐步形成正確的學習觀和數學觀。其一，數學學習不是任務，是提高自身的機會。數學學習不是枯燥的，而是富有趣味的。當學生解決一道數學難題時，他們獲得了成就感；當他們運用數學知識解決實際問題時，能夠體會到數學學習的價值所在。其二，相信自己的能力，也就是具有較高的自我效能感。只有對自己數學學習能力充滿信心之后，學生才更愿意投入到學習中。其三，形成正確的歸因觀，相信付出就有回報。當學生將失敗歸因于缺乏努力時，即使遇到失敗和挫折也能很快投入到新的學習中。

我們對深度學習加以定義，并從學習方式、學習過程和學習結果三個角度來研究小學數學的深度學習。在學習方式上，倡導有意義學習和批判性學習；學習過程強調深層次的學習遷移：掌握“問題原理”，形成系統的知識框架，建立多學科之間的聯系以及在不同情境的靈活轉化；最后，根據SDL項目的框架闡述小學數學中深度學習的學習結果。

深度學習的三個維度并非是完全獨立的，而是相互聯系的。學習結果要求進行深層次的學習方式，是經歷過深度學習的過程才發展的能力。而從不同的角度界定深度學習，有利于我們理解深度學習，進而對小學數學學習提出指導性意見。