合理選材：促進圖形概念建構的“良方”
——以《角的初步認識》為例

林俊 沈璐

概念形成和概念同化是數學概念學習的兩種方式。由于小學生知識經驗較少、思維能力薄弱，概念形成自然成為他們學習概念的主要途徑。掌握數學概念的完整歷程，意味著概念形成后，須經概念內化，直至概念建構。在教學數學概念的過程中，如何選擇學習素材，選擇哪些學習素材至關重要。而學生掌握數學概念，并不是一蹴而就的，它是一個不斷深化，甚至是曲折反復的過程。下面以蘇教版《角的初步認識》為例，結合楊婧、胡彩云兩位青年教師的不同教學設計，談談如何選擇學習素材，促進學生圖形概念的建構。

一、同構的素材，著力圖形概念的形成

“感知材料——觀察比較——歸納提煉——抽象命名”是概念形成的一般教學流程。楊老師的設計就是按照這樣的邏輯展開的，符合處于具體運算階段初期的低年級學生以具體、形象為主要思維特征的認知規律。而胡老師的設計卻跳出了這種思路，她別出心裁地從折直角模型切入教學。

從概念形成的一般流程可以看出，感知材料是概念學習的首要環節。那么提供的學習素材的數量、種類、性質等，就直接影響學生數學概念形成的品質。縱觀以往設計的多種角的引入環節（有讓學生從主題圖中找角的，有讓學生舉例說生活中角的），看似注重了數學與生活的聯系，實質是對學生知識經驗了解不夠。

我們曾經對全班學生進行前測，調查表明：他們看到“角”字，絕大多數聯想到的詞語是幾角錢、牛角、羊角、角色、三角形、角落、墻角等，只有四人知道直角，不足全班人數的10%。說明學生頭腦中與角有關的生活概念遠遠多于角的科學概念，并且他們對角的科學概念的認識并不是全面的、完整的，而是局部的、片面的。這時讓學生進行指角活動，不僅指不準，也沒有判斷的依據，只是徒勞。在讓他們“畫出心中角的樣子”時，接近一半的學生畫的是三角形、四邊形。說明學生不能區分角與三角形、四邊形，只是對角有模糊的認識，還沒有形成角的獨立于多邊形的正確表象。有近四分之一的學生能夠畫出角的圖形，并且多數畫的是銳角，對直角、鈍角了解不多。在與部分學生交流時，發現他們往往把角的頂點看作角。

楊老師對學情了如指掌，選擇從學生佩戴的紅領巾入手，非常契合學生經驗的現實起點。從前測統計數據可以看出，無論“想到的詞語”還是“畫出的圖形”，學生對平面圖形都情有獨鐘。“為什么叫三角形？”激活了學生的生活經驗，將陌生的知識學習建立在學生熟悉的生活經驗之上，角的概念引入顯得十分自然、快捷。“角是一個什么樣的圖形？”則將學生引入新知的學習領域。

學生對三角形印象深刻的原因，無外乎兩點：一是在一年級剛剛初步認識三角形等平面圖形，有經驗；二是生活中三角形的物體特別多，如學具三角尺、紅領巾等，有表象。所以，角的認識從學生熟識的、常用的紅領巾開始，是十分明智的。

為了便于學生建立角的完整表象和抽象角的特征，楊老師設置了連續而遞進的指角、找角、析角等活動環節。學生指角，往往只是指角的頂點。教師深諳此情，故意放大錯誤，當呈現放大的一點時，學生忽然發現錯了，再指出角的兩條邊。這樣，角的圖形正確表象的形成，不是源于教師的傳達，而是來自學生主動的自我反思與自覺調整。找角，一方面是促進學生將習得的找角經驗遷移到新的情境，另一方面是豐富角的樣式，擴大角的外延，為后續概括角的特征提供全面的、多樣的素材。析角是從物體中一一剝離、隱去無關的信息，從中透析、抽離出角的要素，使學生初步直觀地認識角的標準圖形，完整地感知角的不同形態。

課中生成的角雖然數量不多，但是很有代表性、同構性。有銳角、直角、鈍角，有標準圖形，還有變式圖形，這些角盡管大小不同、位置不同、形狀各異，但是都具備角的共同特征。由于有了之前的找角、指角、描角等細膩的感知過程與豐富的經驗累積，面對問題“這些角的形狀有什么相同的地方？”學生的回答“都有一個尖尖的地方”“還有直直的線”雖顯幼稚，但也直逼角的圖形之外在表征。教師因勢利導、順勢而為，及時指出“尖尖的地方是角的‘頂點’，直直的線是角的‘邊’”，將學生不規范的日常語言上升到約定的數學語言。而學生對角的特征的迅速把握源于對不同大小、不同形狀角的共同要素的洞察。至此，角的特征的提煉可謂水到渠成、瓜熟蒂落。

胡老師并沒有為學生直接提供觀察的素材，而是從折直角模型切入，讓學生經歷直角的形成過程，在此過程中，自然地認識直角的名稱和直角的特征（有一個頂點和兩條邊）。接著以此為實物模型，作為比較標準，讓學生回到現實生活中，尋找生活中的哪些角和直角一樣大，哪些比直角大，哪些比直角小。這樣的設計將角的大小教學融入其中，一方面滲透了直角與銳角、鈍角的關系及判斷標準，另一方面自然過渡到“角的大小與什么有關、與什么無關”的學習。此后，才進入角的特征的學習。

可見，學習素材的選擇，受制于學生的學習經驗，也會影響教學內容的學習順序。

二、變式的素材，助力圖形概念的內化

掌握概念，實質上就是掌握同類事物的共同的關鍵特征（概念的內涵），也意味著能區分概念的肯定例證與否定例證。如果說概念的肯定例證傳遞了最有利于概括的關鍵信息，那么否定例證則傳遞了最有利于辨別的信息。一切包含有概念的共同關鍵特征的事物，叫概念的肯定例證。一切不包含這種共同關鍵特征的事物，叫概念的否定例證。我們不僅要運用肯定例證的變式，也要運用否定例證以促進概念的學習。

概念的形成是教學的重點環節，要引導學生對所提供的感性材料進行觀察、比較、分析、抽象、概括，揭示概念的內涵和外延，進而形成概念。在這一過程中，我們要特別注意變式的運用，它可以使學生更好地區分事物的各種因素，并確定哪些是主要的、本質的，哪些是次要的、非本質的，對學生領會概念具有事半功倍的效果。兩位教師都從實物圖中抽象出三個變式的角的圖形，這三個角的大小、位置、邊長都不一樣，變換材料的呈現樣式，提出核心問題：這三個角的相同點和不同點是什么？引導學生排除非本質屬性的干擾，緊緊圍繞概念的本質屬性進行觀察，抽象出正確的概念。

學生對數學概念的掌握，不僅要經過概念形成的過程，而且還要經過概念運用的過程。在運用中檢驗學習效果，深化理解水平。兩位教師在教學中，不約而同地從兩個不同的層面幫助學生把握角的本質屬性，理解角的內涵和外延。

首先，直接運用角的特征去判斷一個圖形是否是角。兩位教師在圖形呈現的數量上還是有區別的。楊老師提供的圖形比胡老師多，并且比教材增添了一個圖形，一增一減，對角的概念內涵和外延的識別力度上還是有差別的。“增”豐富了否定例證的類型，使學生感悟到“不是”角的原因可能是不同的：沒有頂點、一條邊是彎的、兩條邊都是彎的，只要其中一點不符合，這個圖形就不是角；通過對多個角的肯定例證的判斷，使學生感悟到“是”角的理由一定是相同的，即“角有一個頂點和兩條邊”，而與角的形狀、大小、位置無關。這是對角的內涵初級水平的辨別。

其次，在復雜的情境即變化的圖形中識別角。由于邊、角不同的組合方式形成的變化結構和復雜圖形，加大了學生對角的識別與辨析的難度，這是對角的內涵較高水平的辨別。無論哪種水平的運用，概念的肯定例證是從正面強化了角的內涵，否定例證則從反面突出了角的本質。學生對角的內涵的理解既是在否定例證的襯托中不斷清晰與穩定的，也是在復雜情境的識別中不斷豐富與加深的。

掌握概念，不僅要能區分概念的肯定例證與否定例證，而且要能區分概念的有關特征與無關特征。一類事物既有有關特征（本質屬性），它決定著事物的分類；也有無關特征（非本質屬性），它雖然不決定事物是否屬于某一類，但處理不好，會對學生數學概念的學習形成干擾。利用好，可以促進學生數學概念的精確分化。

操作活動這種顯性、外化的方式，能夠反映學生對數學概念隱性、內化的程度。對角的內涵的認識，除了不斷突出其有關特征（本質屬性）“有一個頂點和兩條邊”外，楊老師提供了多種多樣、難度不同的制作材料，讓學生根據自己的能力選擇，照顧了學生的差異，使角的表征方式更豐富。簡明具體的活動建議，既有分工要求，又有做法提示，還有合作提醒，真是貼心又溫馨。學生從大量的刺激模式中（角的大小、方向、材料、顏色等維度的相關素材），辨別角的這些非本質屬性，發現體現概念特征的刺激模式。可以說這些概念的非本質屬性是概念的肯定例證在無關特征方面的變化。通過變式，獲得的概念更精確、穩定和便于遷移。

相對而言，胡老師變式素材的運用主要體現在角的概念形成階段，在圖形概念理解、內化上使用不多。

三、豐富的素材，促進圖形概念的建構

奧蘇伯爾認為，教材最佳的序列，要反應知識的邏輯結構，體現不斷分化和綜合貫通的原則。學生角的概念的學習過程，不能止于能夠理解本質屬性與非本質屬性，識別標準圖形與變式圖形，還要能與鄰近的其他數學概念區分，與相近的日常生活概念辨析，同樣應該體現不斷分化和綜合貫通的原則。不斷分化使學生對角的認識更精確，綜合貫通使學生對角的認識更開闊。

如果兩位教師在課的最后，再安排角與其他平面圖形、相近的日常生活概念辨析，則會錦上添花。具體設計如下：

片斷1：

（出示三角形、長方形、正方形、圓和角的圖形）

師：角和這些圖形一樣，都是平面圖形。你們能看出角與這些平面圖形有什么不同嗎？

生：前面幾個圖形是密封的。

生：角有一處缺口。

師：也就是說角是不封閉圖形。那么，這些圖形就是——

生：封閉圖形。

課件出示：

片斷2：

師：我們課前調查，看到“角”字，大家主要想到這些詞——（呈現：幾角錢、牛角、羊角、角色、三角形、墻角等）今天學習的角與它們相同嗎？

生：幾角錢是關于人民幣的，與今天學習的角不同。

生：牛角、羊角的邊是彎的，與數學上的角不同。

師：角色是電影或戲劇中扮演的人物，與數學上的角不同。

生：三角形雖然不是角，但其中有三個角。

師：原來數學圖形中藏著角，三角形就是根據它其中角的個數命名的。所以，三角形與數學上的角是有關系的。

生：五角星也是。

師：說得好！那么，墻角中有角嗎？（出示圖形）有幾個？

（學生意見不一）

師：到底是幾個呢？我們來看一看。（課件演示）

上述片斷1將本課學習的角的概念與之前學習的三角形、長方形、正方形、圓一起納入到上位概念平面圖形之中，形成認知組塊，便于記憶和提取。同時，引導學生觀察，區分兩者的不同，又將角的概念與平面圖形中的其他封閉圖形分化開來，從而形成穩定的、清晰的和可辨別的認知結構。

片斷2目的在于區分角的日常概念與角的數學概念。如前所述，學生經驗中存在很多與角有關的概念，它們對角的數學概念學習有的起阻礙作用，有的起促進作用。學習角的數學概念后，很有必要進行辨別與溝通。