淺析最短路徑問(wèn)題

徐紫鳴

（安陽(yáng)正一中學(xué) 河南安陽(yáng) 455000）

引言

我們?cè)趲缀蔚膶W(xué)習(xí)中常常會(huì)遇見(jiàn)很多種和最短路徑相關(guān)的有趣例題，例如口渴的馬到河邊飲水如何走距離最短，在相近的村莊中間建造橋梁怎樣才能便利所有的村民，螞蟻搬運(yùn)大米怎么才能最省力氣。這類問(wèn)題就是幾何中的求最值問(wèn)題，對(duì)于求最值問(wèn)題的解題方法，我們通常會(huì)應(yīng)用到的知識(shí)是：兩點(diǎn)間線段最短的定理、三角形的三邊關(guān)系、垂線段最短的性質(zhì)以及軸對(duì)稱的解題方法和線段翻折平移的解題方法。其中還涉及了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想應(yīng)用，轉(zhuǎn)化思想方法能將空間立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題所以在解題思路上邏輯很清晰。[1]

一、飲馬問(wèn)題[2]

將軍飲馬的問(wèn)題早在古羅馬時(shí)代就已經(jīng)存在，傳說(shuō)一位羅馬的將軍專程去拜訪亞歷山大城中一位名叫海倫的學(xué)者，向這位精通數(shù)學(xué)的學(xué)者請(qǐng)教了一個(gè)問(wèn)題：我每日都要從軍營(yíng)中出發(fā)，先騎馬到河邊讓馬兒喝水，然后再騎著馬到與軍營(yíng)同側(cè)的另一個(gè)營(yíng)地去開(kāi)會(huì)，怎樣走才能讓馬兒走的路途最短呢？

解析：這個(gè)問(wèn)題的解決辦法十分簡(jiǎn)單，通過(guò)學(xué)過(guò)的知識(shí)我們知道，兩點(diǎn)間最短的距離就是分別以兩個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)連結(jié)產(chǎn)生的線段，但由于軍營(yíng)M和營(yíng)地N都在小河的同一側(cè)，將軍每日還需在小河邊飲馬，我們可以通過(guò)做軍營(yíng)M關(guān)于小河L的對(duì)稱點(diǎn)將線段PM等換成線段PM’，因?yàn)橹挥蠵點(diǎn)在直線MN上時(shí)才會(huì)使PM+PN有最小值也就是我們所求的最佳飲馬地點(diǎn)，很明顯由于飲馬的地點(diǎn)P只能在小河L上，故首先做營(yíng)地M關(guān)于小河L的對(duì)稱點(diǎn)M’，然后連結(jié)M’N交小河L于點(diǎn)P，此時(shí)M’、P、N三點(diǎn)位于同一條直線上，PM’+PN具有最小值，點(diǎn)P就是所求的最佳飲馬地點(diǎn)。

關(guān)于飲馬問(wèn)題還有很多變形，上述例題可總結(jié)為是在一條固定直線和同側(cè)的兩個(gè)固定的點(diǎn)中求解最短距離。其中運(yùn)用了軸對(duì)稱的性質(zhì)，通過(guò)等線段的替代，將所求路線的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為了兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離。與之類似的還有在一條固定直線和異側(cè)兩個(gè)固定的點(diǎn)中求解最短距離，由于點(diǎn)分別位于直線兩側(cè)可直接根據(jù)“兩點(diǎn)間線段最短”連結(jié)兩個(gè)異側(cè)的點(diǎn)求解。當(dāng)然如果在這類模型中加入動(dòng)點(diǎn)就會(huì)變得稍微復(fù)雜，但解題的思路是不變的，都是通過(guò)軸對(duì)稱的性質(zhì)、翻折或是平移的運(yùn)動(dòng)，將其中一些線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化變成更基本的模型，再來(lái)求解。

二、螞蟻吃大米問(wèn)題

如圖二所示，一只螞蟻正處于圓柱體的o點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)了n點(diǎn)有一粒大米，且mnop是圓柱體的一個(gè)橫截面，底面半徑為12/πcm，圓柱體高為8cm，求螞蟻從o點(diǎn)出發(fā)吃到n點(diǎn)的大米最短需要爬幾厘米？

解析：圓柱體的側(cè)面展開(kāi)后是一個(gè)長(zhǎng)方形（圖三），且螞蟻所處的o點(diǎn)和大米所處的n點(diǎn)都在展開(kāi)的長(zhǎng)方形上，根據(jù)“兩點(diǎn)間線段最短”連結(jié)on即可得出最短距離。弧op的長(zhǎng)度為：1/2（πr）=6cm，線段np=8cm，故線段on=10cm。即螞蟻從o點(diǎn)出發(fā)吃到n點(diǎn)的大米最短需要爬10cm。

對(duì)于此類在立體圖形中求最短距離的問(wèn)題，通常可以將立體圖形沿著棱或者母線剪開(kāi)，將其展開(kāi)轉(zhuǎn)化為平面圖形求解，例如題中圓柱體側(cè)面展開(kāi)圖就是長(zhǎng)方形，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形等等。再通過(guò)“兩點(diǎn)間線段最短”畫出最短路線解答題目就會(huì)簡(jiǎn)單很多。

當(dāng)然，解決最值問(wèn)題時(shí)一定要認(rèn)真審題，例如同樣是螞蟻吃大米的問(wèn)題，將上述題目中的圓柱體改為長(zhǎng)寬高分別為3cm、4cm、5cm的長(zhǎng)方體，但是要求螞蟻只能從長(zhǎng)方體的棱爬過(guò)，求從A點(diǎn)出發(fā)吃到C1點(diǎn)大米的最短距離（圖四）。在這個(gè)問(wèn)題中，由于螞蟻只能從長(zhǎng)方體的棱爬過(guò)，就不能利用立體圖形側(cè)面展開(kāi)圖將出發(fā)點(diǎn)和目的點(diǎn)轉(zhuǎn)化于同一平面連結(jié)求解。按照題中要求，此時(shí)螞蟻吃到大米爬過(guò)的最短距離至少應(yīng)當(dāng)包括長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高各一條，故螞蟻吃到大米的最短距離應(yīng)當(dāng)為3+4+5=12cm。

結(jié)語(yǔ)

幾何中的最值問(wèn)題一直是學(xué)習(xí)中的熱點(diǎn)問(wèn)題，對(duì)于此類問(wèn)題的學(xué)習(xí)，在牢固掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的基礎(chǔ)上我們應(yīng)當(dāng)善于應(yīng)用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，將看似陌生復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成我們熟悉簡(jiǎn)單的問(wèn)題再來(lái)解答，這樣就會(huì)讓解題變得更加高效和順利。