增強(qiáng)邏輯推理意識(shí)，鑄就數(shù)學(xué)理性精神

蔣曉云 劉國(guó)鋒 鄺佰燕

【摘要】本文論述培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理意識(shí)的重要性，選取人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)《三角形內(nèi)角和定理的證明》中的“閱讀與思考”欄目《為什么要證明》教學(xué)片段，提出教師可結(jié)合“測(cè)量會(huì)出現(xiàn)誤差”“眼見(jiàn)未必為實(shí)”“從特殊到一般的歸納不一定完全”的例子，直觀(guān)地告訴學(xué)生“實(shí)驗(yàn)歸納的結(jié)果不一定靠譜”的教學(xué)方法，從而激發(fā)學(xué)生養(yǎng)成良好的“說(shuō)理”習(xí)慣，發(fā)展理性思維，鑄就理性精神。

【關(guān)鍵詞】三角形內(nèi)角和定理 《為什么要證明》 邏輯推理意識(shí) 理性精神

【中圖分類(lèi)號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2018）12A-0033-03

理性的“演繹推理”“數(shù)學(xué)證明”比感性的“合情推理”“實(shí)驗(yàn)歸納”困難得多，如果學(xué)生不愿意學(xué)習(xí)困難的“數(shù)學(xué)證明”，會(huì)導(dǎo)致學(xué)生缺乏理性精神、理性思維能力不強(qiáng)，無(wú)法深入地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。在廣西師范大學(xué)漓江學(xué)院、廣西師范大學(xué)附屬中學(xué)寶賢中學(xué)（簡(jiǎn)稱(chēng)寶賢中學(xué)）、桂林師范高等專(zhuān)科學(xué)校等聯(lián)合舉辦，以“基于核心素養(yǎng)培養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)課例研究”為主題的教學(xué)研討和展示平臺(tái)“寶賢課堂”上，寶賢中學(xué)的劉國(guó)鋒老師展示的《三角形內(nèi)角和定理的證明》一課中的《為什么要證明》教學(xué)片段，有效增強(qiáng)了學(xué)生演繹推理的意識(shí)，鑄就了學(xué)生的理性精神，培養(yǎng)了學(xué)生的“邏輯推理”核心素養(yǎng)。

一、教學(xué)片段及評(píng)析

（一）創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，播下“理性種子”

師：同學(xué)們，今天我們一起來(lái)學(xué)習(xí)三角形內(nèi)角和定理的證明。先來(lái)回顧一下小學(xué)時(shí)我們是怎樣得到“三角形的內(nèi)角和等于180°”的。

生：“量一量”“算一算”和“拼一拼”。

師：我們?cè)谛W(xué)用了這么多種方法來(lái)驗(yàn)證，可以肯定“任何一個(gè)三角形的內(nèi)角和都是180°”嗎？

生：應(yīng)該可以。（多數(shù)學(xué)生同意）

師：我們?cè)谛W(xué)就已經(jīng)知道了，還有必要再來(lái)學(xué)習(xí)嗎？為了上好這一節(jié)課，前天我去聽(tīng)了另一位老師上的《三角形內(nèi)角和的證明》一課，那位老師的課講得很清楚，也很精彩。但課后有學(xué)生抱怨，“今天的課真無(wú)聊，老師那么賣(mài)力地講了一節(jié)課，我都不知道他在講什么，（數(shù)學(xué)證明）沒(méi)聽(tīng)懂，只知道一個(gè)結(jié)論——三角形內(nèi)角和等于180°，我在小學(xué)就知道了。”好些同學(xué)也有同感。今天，劉老師也來(lái)上這節(jié)課，我就思考了一個(gè)問(wèn)題——怎樣才能避免那位老師的課堂出現(xiàn)的情況，不讓同學(xué)們課后說(shuō)我上課無(wú)聊。我決定改變一下教學(xué)順序，同學(xué)們先閱讀教材第18頁(yè)“閱讀與思考”欄目的《為什么要證明》。

【評(píng)析】小學(xué)階段關(guān)注合情推理、發(fā)現(xiàn)結(jié)論，培養(yǎng)演繹推理能力是中學(xué)幾何教學(xué)的核心追求。于是，有些小學(xué)教師不說(shuō)理，沒(méi)有播下“理性的種子”，讓學(xué)生錯(cuò)誤地肯定實(shí)驗(yàn)歸納所得到的結(jié)論，導(dǎo)致到了初中階段學(xué)習(xí)“三角形內(nèi)角和定理的證明”時(shí)，學(xué)生認(rèn)為完全沒(méi)有必要證明已知的結(jié)論。對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，與感性的合情推理、實(shí)驗(yàn)歸納比起來(lái)，理性的演繹推理、數(shù)學(xué)證明要困難得多，學(xué)生不愿意再學(xué)習(xí)困難的數(shù)學(xué)證明，導(dǎo)致學(xué)生理性思維能力不強(qiáng)，無(wú)法深入地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。因此，教師在教學(xué)時(shí)選擇了先讓學(xué)生學(xué)習(xí)教材的“閱讀與思考”欄目的課文《為什么要證明》，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，增強(qiáng)學(xué)生演繹推理的意識(shí)，鑄就學(xué)生理性精神。

（二）體驗(yàn)實(shí)驗(yàn)誤差，培養(yǎng)科學(xué)態(tài)度

師：閱讀課文時(shí)進(jìn)行如下思考。小明提出了哪些疑問(wèn)？你是否與他有同樣問(wèn)題？你還有哪些問(wèn)題要請(qǐng)教李老師？請(qǐng)列出問(wèn)題，分組討論，我們共同答疑解惑。

生（問(wèn)題一）：量出三角形的各個(gè)內(nèi)角大小，計(jì)算各內(nèi)角的度數(shù)之和，就能得出三角形的內(nèi)角和等于180°，為什么還要證明這個(gè)結(jié)論呢？

師：這實(shí)際上是小明的問(wèn)題。我們?cè)僮鲆蛔鰷y(cè)量實(shí)驗(yàn)。4人一組，每人隨意畫(huà)一個(gè)三角形，量出各內(nèi)角的大小，計(jì)算出各三角形的內(nèi)角和，記錄結(jié)果，由小組長(zhǎng)填表匯報(bào)。

（學(xué)生測(cè)量。教師巡視，發(fā)現(xiàn)有個(gè)別學(xué)生為了湊成180°而涂改數(shù)據(jù)。教師提示：我更愿意看到同學(xué)們自己實(shí)踐操作得到的真實(shí)結(jié)果）

（各小組投影匯報(bào)測(cè)量結(jié)果，以下是三個(gè)小組的數(shù)據(jù)）

師：請(qǐng)觀(guān)察這些結(jié)果，討論誤差出現(xiàn)的原因。

生1：量角器上的刻度為整數(shù)，精確度不高，每個(gè)角不一定是整數(shù)度，所以容易產(chǎn)生誤差。

生2：使用量角器時(shí)，放得不夠平也會(huì)產(chǎn)生誤差。

生3：三角形的邊畫(huà)得太粗，量角的時(shí)候會(huì)產(chǎn)生誤差。

……

生4：小明說(shuō)“如果儀器精確，不產(chǎn)生誤差，還需要證明嗎？”我有同樣的疑問(wèn)。

師：現(xiàn)實(shí)世界中的“測(cè)量”就一定會(huì)產(chǎn)生誤差，即使用再精密的儀器來(lái)測(cè)量，它也會(huì)受到精確度的限制，只能縮小誤差，不能消除誤差。

師：如果你對(duì)“三角形內(nèi)角和等于多少”完全未知，你能否用“測(cè)量法”得到“三角形的內(nèi)角和等于180°”這個(gè)結(jié)論？

生5：測(cè)量會(huì)產(chǎn)生誤差，根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算三角形內(nèi)角和，得到的結(jié)果不一樣。用測(cè)量的方法是得不到“所有的（每一個(gè)）三角形的內(nèi)角和是180°”這個(gè)結(jié)論的。用測(cè)量法來(lái)說(shuō)明“三角形內(nèi)角和等于180°”是不可靠、不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹?/p>

生6：測(cè)量工具總存在著誤差，因此測(cè)得的三角形的內(nèi)角和往往不是180°。測(cè)量結(jié)果容易讓人得出“三角形內(nèi)角和不是180°”的錯(cuò)誤結(jié)論。

師：受測(cè)量?jī)x器的精確度、測(cè)量操作規(guī)范程度和技術(shù)水平、測(cè)量對(duì)象的呈現(xiàn)方式等影響，測(cè)量會(huì)產(chǎn)生誤差，結(jié)果不一致，得出的結(jié)論不一定可靠。

【評(píng)析】教師鼓勵(lì)學(xué)生匯報(bào)自己測(cè)量的真實(shí)數(shù)據(jù)，及時(shí)進(jìn)行誤差分析，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到出現(xiàn)誤差是測(cè)量中經(jīng)常出現(xiàn)的現(xiàn)象。預(yù)設(shè)學(xué)生可能測(cè)量結(jié)果不一，讓學(xué)生體驗(yàn)到測(cè)量得出的結(jié)論不一定可靠，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)態(tài)度。

（三）眼見(jiàn)未必為實(shí)，觀(guān)察未必可靠

生（問(wèn)題二）：把三角形的三個(gè)角剪下來(lái)后拼在一起，得到“和角”，通過(guò)觀(guān)察發(fā)現(xiàn)這個(gè)“和角”是“平角”來(lái)說(shuō)明三角形內(nèi)角和是180°。這算不算可靠的方法呢？

師：同學(xué)們來(lái)觀(guān)察下面幾幅圖，回答以下幾個(gè)問(wèn)題。圖4中線(xiàn)段AB和CD哪條更長(zhǎng)？圖5中的三個(gè)人誰(shuí)更高？圖6中∠AOB和∠DOC哪一個(gè)是平角？

（學(xué)生議論紛紛，答案不一）

師：實(shí)際上，AB和CD一樣長(zhǎng);三個(gè)人一樣高;∠AOB=179°，∠DOC=181°，這與多數(shù)同學(xué)的觀(guān)察結(jié)果不一致。請(qǐng)同學(xué)們談一談感受。

生1：∠AOB和∠DOC不是平角，但我們多數(shù)人將其看成了平角。說(shuō)明通過(guò)觀(guān)察得到一個(gè)角是平角的結(jié)論是不可靠的。所以，“把三角形的三個(gè)角剪下來(lái)拼湊在一起，然后通過(guò)觀(guān)察得到它是一個(gè)平角”這種方法是不可靠、不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹?/p>

生2：老師通過(guò)這些例子告訴我們“眼見(jiàn)未必為實(shí)”，通過(guò)觀(guān)察得到的結(jié)論未必靠譜。

師：用實(shí)驗(yàn)探索結(jié)論，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的常用方法，但依靠觀(guān)察得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)論未必可靠。

【評(píng)析】實(shí)驗(yàn)觀(guān)察是得到新結(jié)論的方法和途徑，對(duì)于“找規(guī)律”是不可或缺的。但在本節(jié)課，學(xué)生通過(guò)觀(guān)察教師提供的材料，得出了“意料之外”的錯(cuò)誤結(jié)論，感悟到“眼見(jiàn)未必為實(shí)”——靠實(shí)驗(yàn)觀(guān)察得到的結(jié)論可能是正確的，也可能是錯(cuò)誤的，從而明白用拼接實(shí)驗(yàn)的方法得出“三角形內(nèi)角和等于180°”這樣的結(jié)論而不去證明是不可靠的。

（四）歸納推理誤導(dǎo)，結(jié)論未必正確

生（問(wèn)題三）：課文中李老師說(shuō)的，即使不考慮誤差等因素，或觀(guān)察正確，即所有“拼一拼”的結(jié)果全是平角（180°）時(shí)，我們也還是有疑問(wèn)的。我沒(méi)有讀懂，不是很明白。

師：我講一個(gè)故事，學(xué)校校運(yùn)會(huì)規(guī)定，只有跑出12秒以?xún)?nèi)的成績(jī)，才有資格報(bào)名參加100米短跑項(xiàng)目，體育教師測(cè)試了我們班16名正在操場(chǎng)上訓(xùn)練的同學(xué)，所測(cè)試的學(xué)生的100米短跑成績(jī)均在12秒到15秒之間，沒(méi)在12秒以?xún)?nèi)。體育老師說(shuō)，我們班的學(xué)生都沒(méi)有資格報(bào)名參加100米短跑。剛說(shuō)完，同學(xué)們不服氣了，叫來(lái)我們班的李明同學(xué)，經(jīng)測(cè)試，他的成績(jī)是11.45秒，體育老師“被打臉”，為什么體育老師會(huì)做出錯(cuò)誤的判斷呢？

生：他沒(méi)有測(cè)試完我們班所有同學(xué)就下結(jié)論了。

師：我們只能對(duì)我們測(cè)量過(guò)的對(duì)象下結(jié)論，沒(méi)測(cè)量過(guò)的不能保證。下面來(lái)讀一讀李老師說(shuō)的那段話(huà)，“不同形狀的三角形有無(wú)數(shù)個(gè)，我們畫(huà)出并驗(yàn)證的只是其中有限個(gè)，其余的三角形的內(nèi)角和是多少呢？能對(duì)所有的三角形都進(jìn)行驗(yàn)證嗎？”事實(shí)上，不管我們經(jīng)歷多長(zhǎng)時(shí)間，畫(huà)出多少個(gè)三角形，觀(guān)察、試驗(yàn)的對(duì)象也是有限個(gè)。因此，要確認(rèn)“三角形的內(nèi)角和等于180°”，就不能依靠度量的手段和觀(guān)察驗(yàn)證的方法，而必須進(jìn)行推理論證。對(duì)于一般的三角形，推出它的三個(gè)內(nèi)角的和等于一個(gè)平角，從而得出“無(wú)論三角形的形狀如何，它的內(nèi)角和一定等于180°”。

【評(píng)析】事物的普遍性寓于事物的特殊性之中。歸納可以為我們提出猜想提供基礎(chǔ)與依據(jù)，是一種重要的思維方法，也是學(xué)生“找規(guī)律”最常用、最重要的方法。但是由于歸納推理是從特殊到一般的合情推理，得到的結(jié)論可能是正確的，也可能是錯(cuò)誤的。情境中的“體育教師”通過(guò)歸納得出了錯(cuò)誤的結(jié)論，使得學(xué)生意識(shí)到歸納推理所得的結(jié)論也不一定可靠。

二、課后反思

正是懷疑激發(fā)我們?nèi)W(xué)習(xí)、去實(shí)踐、去觀(guān)察。在這個(gè)意義上可以說(shuō)，科學(xué)的歷史就是懷疑、提出問(wèn)題并解答問(wèn)題的歷史。學(xué)生思考問(wèn)題時(shí)往往把頭腦中固有的方法作為首選，學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)和形象思維在“三角形內(nèi)角和定理的證明”中起到了很大的作用，但數(shù)學(xué)證明不能僅僅停留在感性認(rèn)識(shí)階段，還要轉(zhuǎn)化為理性認(rèn)識(shí)。本課正是立足于學(xué)生對(duì)小學(xué)階段用實(shí)驗(yàn)歸納的方法來(lái)探究“三角形內(nèi)角和定理”的方法產(chǎn)生懷疑，進(jìn)而對(duì)實(shí)驗(yàn)歸納得到的結(jié)論不一定正確產(chǎn)生直觀(guān)的認(rèn)知而展開(kāi)的。另一方面，隨著學(xué)生知識(shí)的增長(zhǎng)和邏輯推理能力的增強(qiáng)，用“數(shù)學(xué)證明”的方法重新認(rèn)識(shí)“三角形內(nèi)角和定理”，增強(qiáng)學(xué)生演繹推理的意識(shí)，鑄就學(xué)生理性精神，是培養(yǎng)學(xué)生的“邏輯推理”核心素養(yǎng)的“靈魂”，對(duì)進(jìn)一步深入學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有重要意義。

（責(zé)編 劉小瑗）