以史為鑒，觀照經驗，情知共贏

摘要：初中數學“圓”一章的起始課要注意激活學生的已有經驗和認識，激發學生的學習熱情，并給出進一步的學習線索。具體可以設計“從欣賞的視角看圓”“從演繹的層級學圓”“從生活的場域識圓”“從進階的角度融圓”“從系統的高度話圓”五個環節。其基本教學立意是：作為起始課，統領全章是應承載的責任；立足經驗系統，關注知識的生長點與延伸點；關注數學文化，通過嵌入數學史激活學生認知。

關鍵詞：圓起始課 數學史 學生經驗 知識系統

“圓”是人教版初中數學九年級上冊第二十四章的內容。教學這一內容之前，學生在小學有過對圓的初步認識，學過圓的周長、面積的計算；同時，學生在生活經驗中也有對圓的豐富感受；此外，學生在初中有過兩年幾何圖形的學習，對幾何圖形的研究有了較深的體驗，已經形成基本套路。

那么，對于這一學生相對熟悉的主題，應如何展開教學，特別是從哪里切入呢？筆者認為，這一章的起始課要注意激活學生的已有經驗和認識，激發學生的學習熱情，并給出進一步的學習線索。在此基礎上，只要幫助學生實現由“直”到“曲”的認知與思維轉換，本章的學習就會變得簡單起來。

一、教學設計與意圖

（一）從欣賞的視角看圓

問題1：古希臘數學家畢達哥拉斯認為：“一切立體圖形中最美的是球，一切平面圖形中最美的是圓。”請你談談對圓的認識。

[設計意圖：學生對圓有感覺。從欣賞的角度切入，能有效調動學生的參與熱情，提高他們的學習主動性，便于其敞開心扉，把自己對圓的認識全盤展現，以便教師把握學情，動態跟進課堂的運轉；同時，把數學圖形自身的美與學生對美的體驗共同呈現，烘托數學之美，積極發揮學生的正能量。這種基于學生已有認知的設計，逼近了學生的“最近發展區”，讓學生有話可說，并感受到數學文化的魅力。]

問題2：戰國時期的《墨經》中有一句話：“圓，一中同長也。”請你談談對這句話的認識。

交流點1：學習角的平分線、線段的垂直平分線等知識時出現過類似的描述（集合性定義）。你還記得嗎？說說看。

交流點2：你認為圓可以怎樣定義？

問題3：你能動手畫一個圓嗎？說說自己的畫法。

交流點1：學習角的定義時出現過類似的動態描述。你還記得嗎？

交流點2：你認為圓可以怎樣動態定義？

[設計意圖：問題2、3的對比設計，滲透數學史，讓學生進一步了解古人對圓的認識；同時通過動手操作感受圓的形成，古今相映成趣，由此揭示圓的靜態與動態兩類定義。這里，為了關照“學困生”對圓的感知，可以借助摩天輪的動靜轉換增強具象性認識。另外，兩個“交流點1”是前后一致、邏輯關聯的滲透，可以加深學生對圓的認識。]

（二）從演繹的層級學圓

教師出示人教版初中數學九年級上冊第80頁的例1（矩形的四個頂點共圓）和第81頁的練習3（直角三角形三個頂點共圓）。

學生獨立思考，然后同桌交流或小組交流，最終全班交流，形成解決此類問題的基本思路——用圓的定義。

[設計意圖：在前面類比、歸納推理（得到圓的定義）的基礎上，設置兩道演繹推理（運用圓的定義）的問題，從直覺走向邏輯、從感性躍入理性，把對圓的定義的理解引向深入，進一步涵養學生邏輯推理的意識與能力。另外，這兩道題目本質是一致的（矩形從對角線分開就是直角三角形），能發揮聯動的效能。]

（三）從生活的場域識圓

微視頻介紹：在我國古代，半坡人就已經會造圓形的屋頂了；大約在同一時代，美索不達米亞人做出了世界上第一個輪子——圓的木輪；很早以前，人們將圓的木輪固定在木架上，這樣就成了最初的車子。

問題1：車輪為什么做成圓形的？

問題2：車輪可以做成其他形狀嗎？比如正方形、正多邊形……

學生從其他形狀不利的角度分析、交流，教師借助動畫讓學生感知車輪做成正方形等形狀的弊端。

[設計意圖：出示問題1可引導學生提出問題2，這是利用否定屬性策略提出問題的常態，旨在涵育學生的問題意識，為發現問題、提出問題造勢。當然，從生活中識圓要見好就收，不可過分糾纏，因為它還關涉物理原理等，把話題扯遠會沖淡主題，背離初衷。]

（四）從進階的角度融圓

談話：為了進一步學習與研究圓，僅有圓的定義還遠遠不夠，除了小學已經認識的直徑、半徑、周長、面積等概念之外，還有一些相關的概念需要明晰：弦、弧、同圓、等圓、同心圓、同弧、等弧、優弧、劣弧、扇形、弓形、弦心距、圓心角、圓周角等。

學生自學并交流，做好易混概念的辨析，識記并領會這些概念。

[設計意圖：基于進一步研究圓的性質需要，把相關的概念呈現出來。由于概念多且容易混淆，組織學生辨析，幫助他們在尋異求同中加深認識。]

（五）從系統的高度話圓

回顧總結：（1）圓的定義；（2）定義應用；（3）相關概念。

展望延伸：借助先前圖形學習的基本經驗，基本形成前后一致的邏輯套路，設想下一步學習的內容與脈絡為：圓的性質（邊——弧，角——圓心角、圓周角，線——弦，對稱——雙對稱）、圓的判定（已學）、圓與其他（點、線、面）。

[設計意圖：立足系統研究問題，形成前后一致、邏輯關聯的學習脈絡，所獲得的知能方法張力大、遷移性強。這是對學生從“學會”到“會學”的關注，是對學生可持續發展力的涵育。]

二、教學立意的進一步闡釋

（一）作為起始課，統領全章是應承載的責任

整體教學觀要求我們立足系統展開教學，這是“見木又見林”的教學立意。作為起始課，要把整個章節拿捏起來，形成渾然的整體，讓學生一開始學，心中就有丘壑，后面再學，只不過是在完善認知、完善系統，讓知識自然生長、連貫有序，而不是突如其來、無根而飄。這樣，才能讓數學的特色彰顯出來、數學的味道彌散出來，濡染著學生、成就著學生。

（二）立足經驗系統，關注知識的生長點與延伸點

從欣賞的角度看圓，關注學生的已有經驗和認知基礎。在數學史的熏陶下再認圓，提升對圓的認識，捕捉生長點，讓學生的原有認知獲得“最近發展區”內的再生或成長。教學中，既要發揮好學生個體經驗的正向作用，又要在相互交流、相互啟發的基礎上，發揮學生經驗的聚合效用，使圓的兩個定義在已有的經驗系統下自然生長，使圓的學習套路順勢而下。

圓是學生學習的第一個曲線圖形，也是平面幾何中基本的曲線圖形之一。雖然由直線形到曲線形在認識上是一個飛躍，但是同樣可以借助研究直線形的一般套路，即利用系統思維研究。圓就是一個小的系統，它的組成要素和相關要素有圓心、半徑、直徑、弧、弦、圓心角、圓周角等。圓與弧的關系對應了系統與要素的關系，也體現了整體與部分的思想。弧、弦與圓心角的關系反映了系統內要素與要素的關系，也具體體現了圓的對稱性（旋轉不變性）——這統領著圓的其他許多性質。有了這種系統思維，直線與曲線之間的橋梁就架通了，圓的內部關聯也就形成了。

（三）關注數學文化，通過嵌入數學史激活學生認知

古人如何看待圓，展現了古人的智慧；學生如何看待圓，展現出學生的認知基礎。圓之于學生，既熟悉，又陌生：說熟悉是因為學生從小學就接觸過圓，生活中圓的模型也俯拾皆是；說陌生是因為學生對圓的屬性認識不足，多停留在感性層面上，需要在理性層面上深入。作為起始課，本節課不可能窮盡圓的所有屬性，所以通過嵌入數學史，讓學生了解古人，感知古人的數學智慧。這是對數學文化的一種關注，旨在喚起學生的探索心向，激活學生的認知積淀。讓文化浸潤課堂，既是對新課標理念的踐行，也是對學生情感態度價值觀的深度觀照。