梳理歷史文化，豐富數(shù)學(xué)知識

摘要：對數(shù)學(xué)歷史文化的體驗(yàn)?zāi)芴嵘龜?shù)學(xué)教師的學(xué)科知識水平，幫助他們體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識的人文背景，增加對數(shù)學(xué)知識以及之間關(guān)聯(lián)的認(rèn)知和掌握，感受數(shù)學(xué)思想與方法的應(yīng)用價(jià)值，從而更好地設(shè)計(jì)和實(shí)施教學(xué)。梳理“橢圓”的歷史文化，可以豐富數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)知識，還原知識的獲得過程，溝通知識之間的關(guān)聯(lián)，體驗(yàn)巧妙的數(shù)學(xué)方法，形成結(jié)構(gòu)完備、內(nèi)涵豐富、“知情意”有機(jī)融合的橢圓文化圖式。

關(guān)鍵詞：橢圓 經(jīng)驗(yàn)知識 獲得過程 知識關(guān)聯(lián) 數(shù)學(xué)方法

歷史是時(shí)間的累積，文化是歷史的沉淀。歷史文化體現(xiàn)出來的是人類的愛好、想法以及作為。對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)識不能僅僅是概念、定理的堆砌，也不能僅僅是解題、證明的應(yīng)用，而應(yīng)當(dāng)是浸潤著歷史文化的結(jié)晶、散發(fā)著人文精神的載體，是承載著人類智慧和追求的“文物”。數(shù)學(xué)的歷史文化是數(shù)學(xué)不可分割的部分，可以提升我們對數(shù)學(xué)知識的理解。對數(shù)學(xué)歷史文化的梳理能提升數(shù)學(xué)教師的學(xué)科知識水平，幫助他們體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識的人文背景，增加對數(shù)學(xué)知識以及之間關(guān)聯(lián)的認(rèn)知和掌握，感受數(shù)學(xué)思想與方法的應(yīng)用價(jià)值，從而更好地設(shè)計(jì)和實(shí)施教學(xué)，給學(xué)生帶去更多的智慧與快樂。

下面以“橢圓”知識為例，梳理歷史文化，形成結(jié)構(gòu)完備、內(nèi)涵豐富（不只是概念定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及解題應(yīng)用）、“知情意”有機(jī)融合的橢圓文化圖式。

一、豐富數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)知識

經(jīng)驗(yàn)知識是研究學(xué)習(xí)的起點(diǎn)。客觀知識要變?yōu)閭€(gè)體知識，首要需要獲得豐富的經(jīng)驗(yàn)知識。歷史文化中，人類對橢圓的經(jīng)驗(yàn)知識相當(dāng)豐富。古希臘人有直觀的橢圓經(jīng)驗(yàn)——截圓錐得橢圓，橢圓知識由此豐富。伽利略認(rèn)為，行星依橢圓軌道運(yùn)行，行星的橢圓運(yùn)動(dòng)模型很好地詮釋了天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律。又如，人類把可塑的圓進(jìn)行適當(dāng)?shù)膲嚎s，就能得到橢圓。事實(shí)上，生活中也大量存在橢圓的痕跡：斜射陽光下球影的邊界呈現(xiàn)橢圓形狀，圓柱、圓臺或圓錐形燈罩罩著的點(diǎn)光源光束射在墻上的邊界可能呈現(xiàn)橢圓形狀，圓柱斜截面的邊界呈現(xiàn)橢圓形狀，裝著有色液體的圓柱水瓶傾斜時(shí)水面呈現(xiàn)橢圓形狀。

二、還原知識的獲得過程

知識要接地氣、有人氣，其價(jià)值才會容易被感知。在數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)過程中展現(xiàn)數(shù)學(xué)家思維的故事，是饒有趣味的，也是十分美妙的。提到某個(gè)數(shù)學(xué)知識，與其相關(guān)的不同國籍、不同時(shí)代的數(shù)學(xué)家以及相應(yīng)的發(fā)明、發(fā)現(xiàn)、獲得知識過程中的點(diǎn)滴故事（包括經(jīng)歷的艱難困苦）就應(yīng)該發(fā)生聯(lián)結(jié)，被聯(lián)想到。

從“橢圓是一種圓錐曲線”這一陳述性知識中，可以聯(lián)想到古希臘數(shù)學(xué)家對橢圓及圓錐的斜截面所做的深入研究。如，歐幾里得發(fā)現(xiàn)，不只是圓錐，圓柱的斜截面也是橢圓；稍后的阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，對于頂角為直角的圓錐，當(dāng)平面與圓錐母線從頂點(diǎn)指向底面的方向所成的角θ為鈍角、直角、銳角時(shí)，平面截圓錐得到橢圓、拋物線和雙曲線（如圖1）；阿波羅尼斯還發(fā)現(xiàn)，橢圓的焦半徑之和為定值。公元前的數(shù)學(xué)家們已有如此發(fā)現(xiàn)，令人肅然起敬。

數(shù)學(xué)家們并不滿足于用立體的圓錐獲得（定義）平面的橢圓這種方式。16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家蒙特進(jìn)一步利用拉線作圖作出橢圓，提出概念。如圖2，固定一條定長的細(xì)繩的兩端點(diǎn)A、B，細(xì)繩上動(dòng)點(diǎn)P的軌跡就是橢圓。蒙特由此稱定點(diǎn)A、B為橢圓的焦點(diǎn)，將橢圓定義為到兩焦點(diǎn)的距離之和為定長的點(diǎn)的軌跡。蒙特天才的發(fā)現(xiàn)、獨(dú)到的想法，令人拍案叫絕。

橢圓的獲得（定義）過程（方式）無不體現(xiàn)著人類對客觀事實(shí)的觀察認(rèn)識，敘述、展現(xiàn)著知識的意義與價(jià)值。不難體會，事實(shí)性知識不是詞典的條目，更不是天外來客，它有著豐富的文化內(nèi)涵，來自人類的數(shù)學(xué)活動(dòng)。

三、溝通知識之間的關(guān)聯(lián)

正如人的意義是通過一定的社會關(guān)系體現(xiàn)的，知識的意義也要在關(guān)聯(lián)中才能被充分認(rèn)識、深入解讀。數(shù)學(xué)史上有很多經(jīng)典的案例簡潔明了地闡述了知識點(diǎn)之間的各種關(guān)系，勝過千言萬語。

丹德林雙球是溝通橢圓的兩種獲得（定義）過程（方式）之間關(guān)系的經(jīng)典模型，可以幫助我們充分認(rèn)識、深入解讀橢圓，并且體驗(yàn)到數(shù)學(xué)家高超的智慧。1822年，比利時(shí)數(shù)學(xué)家丹德林通過圓錐內(nèi)部、斜截面兩側(cè)的與圓錐及斜截面都相切的兩個(gè)球（如圖3），來溝通橢圓的兩種獲得（定義）過程（方式）之間的關(guān)系。設(shè)兩球與圓錐的切線分別為圓O₁、圓O₂，與斜截面的切點(diǎn)分別為E、F，在橢圓上任取一點(diǎn)A，連接AE、AF；過點(diǎn)A作圓錐的母線，與兩球分別切于點(diǎn)B、C。可知AB=AF，AC=AE，可得AF+AE=AB+AC=BC。而BC為圓臺的母線長，為定值。所以在平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)F₁、F₂的距離之和等于常數(shù)（大于|F₁F₂|）的點(diǎn)P的軌跡是橢圓。

橢圓的截線定義與軌跡定義是相互獨(dú)立的，聯(lián)結(jié)兩者的橋梁就是丹德林雙球。要在純粹幾何中認(rèn)識橢圓的本質(zhì)，截線定義是不可替代的；要在解析幾何中得出橢圓方程，軌跡定義是不可替代的。而聯(lián)結(jié)兩種定義時(shí)，丹德林雙球同樣是不可替代的，它把兩者之間的鴻溝填平了，并且直接在圓錐上得到了橢圓的焦半徑。

四、體驗(yàn)巧妙的數(shù)學(xué)方法

數(shù)學(xué)與其說是知識，倒不如說是思想方法。知識只是思想方法的載體，思想方法才是數(shù)學(xué)的精髓。