把握教材理念，回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)

摘 要：教學(xué)《從問題到方程》一課時，基于體現(xiàn)教材理念、整合教材內(nèi)容、彰顯數(shù)學(xué)本質(zhì)、突出學(xué)生主體的思考，設(shè)計(jì)“體會用方程描述相等關(guān)系的優(yōu)越性”“經(jīng)歷用方程描述實(shí)際問題中的相等關(guān)系的過程”“形成、鞏固一元一次方程的概念”“回顧總結(jié)”等環(huán)節(jié)。

關(guān)鍵詞：教學(xué)設(shè)計(jì) 從問題到方程 教材理念 數(shù)學(xué)本質(zhì)

最近，筆者參與了“蘇科版初中數(shù)學(xué)教材數(shù)字化助教資源建設(shè)項(xiàng)目”課題的研究工作，在江蘇省教研室董林偉主任（蘇科版初中數(shù)學(xué)教材主編）等專家的指導(dǎo)下，錄制了七年級上冊《4.1從問題到方程》一課的教學(xué)過程。下面簡要呈現(xiàn)這節(jié)課的教學(xué)過程，并談?wù)劰P者的教學(xué)思考。

一、教學(xué)過程

（一）體會用方程描述相等關(guān)系的優(yōu)越性

師 在許多實(shí)際問題中通常有已知的量和未知的量，這些量之間常常有相等關(guān)系。

（教師出示問題1：如圖1，天平左盤中有兩個相同的小球和一個1 g的小球，天平右盤中有一個5 g的砝碼。怎樣描述天平平衡所表示的數(shù)量之間的相等關(guān)系？）

師 天平平衡意味著什么？

生 左邊（質(zhì)量）=右邊（質(zhì)量）。

師 怎樣具體描述這一相等關(guān)系？

生 左盤中3個小球的質(zhì)量=右盤中砝碼的質(zhì)量。

生 左盤中兩個相同小球的質(zhì)量+1 g小球的質(zhì)量=右盤中5 g砝碼的質(zhì)量。

生 （興奮，搶答）2x+1=5。

師 x哪來的？

生 設(shè)來的。

師 x表示什么？

生 未知數(shù)。

生 兩個相同小球中的一個的質(zhì)量。

師 2x+1=5表示什么？

生 題中所要描述的相等關(guān)系。

師 不錯，設(shè)了未知數(shù)x，原來用文字語言描述的相等關(guān)系就可用2x+1=5這樣的符號語言描述。哪種描述更簡明？

生 方程。

[設(shè)計(jì)意圖：創(chuàng)設(shè)用天平稱小球的實(shí)際問題，讓學(xué)生從天平平衡的直觀形象中直接獲得相等關(guān)系，同時感受方程是表達(dá)相等關(guān)系的“天平”，從而有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)生的理解程度。鼓勵學(xué)生運(yùn)用不同的方式描述天平平衡所表示的數(shù)量之間的相等關(guān)系并作比較，體會方程的優(yōu)越性。]

（二）經(jīng)歷用方程描述實(shí)際問題中的相等關(guān)系的過程

1.尋找實(shí)際問題中的相等關(guān)系——體驗(yàn)“從問題到方程”的關(guān)鍵。

（教師出示問題2：籃球聯(lián)賽規(guī)則規(guī)定：勝一場得2分，負(fù)一場得1分。某籃球隊(duì)賽了12場，共得20分。怎樣描述其中數(shù)量之間的相等關(guān)系？）

師 請你先猜一猜：該隊(duì)勝了多少場？

生 8場。

師 怎樣描述其中數(shù)量之間的相等關(guān)系？

生 勝場得分+負(fù)場得分=20。

師 設(shè)該隊(duì)勝了x場，你能用方程描述相等關(guān)系嗎？

生 2x+（12-x）=20。

師 很好！設(shè)勝了x場后，就可以用2x和12-x分別表示“勝場得分”和“負(fù)場得分”，也就得到了方程。

（教師出示問題3：把一塊面積為1200平方米的長方形綠地分割成如圖2所示的正方形和長方形，求正方形的邊長。）

師 這里的相等關(guān)系是什么？

生 正方形的面積+小長方形的面積=大長方形的面積。

生 （搶答）大長方形的長×寬=大長方形的面積。

師 不錯！同學(xué)們很善于觀察、思考。如果設(shè)正方形的邊長為x米，你能用方程描述相等關(guān)系嗎？

生 x2+10x=1200。

生 x（x+10）=1200。

師 這里，利用圖形的特征不難得出相等關(guān)系，可以從不同角度思考，找到不同的相等關(guān)系，得到不同形式的方程，而它們的本質(zhì)是一樣的。

[教師出示問題4：（我國古代數(shù)學(xué)問題）以繩測井，若將繩三折測之，繩多四尺；若將繩四折測之，繩多一尺。繩長、井深各幾何？]

師 你能找出題中的相等關(guān)系嗎？

（學(xué)生先獨(dú)立思考，再小組交流。教師巡視指導(dǎo)。）

師 通過交流，請小組代表板書你們所列的方程。

生 （小組代表，板書）3（x+4）=4（x+1）。

生 （組內(nèi)成員，提示）設(shè)井深x尺。

師 你能講講是怎么思考的嗎？你找出的相等關(guān)系是什么？

生 （小組代表）設(shè)井深x尺，按照第一種測法，繩長=（x尺+4尺）×3；按照第二種測法，繩長=（x尺+1尺）×4。所以，（x尺+4尺）×3=（x尺+1尺）×4，也就得到了方程3（x+4）=4（x+1）。

師 太棒了！你可以當(dāng)小老師了！這里，設(shè)井深x尺，利用繩長不變找到了相等關(guān)系。還有不同的思考嗎？

生 設(shè)繩長x尺，利用井深不變也可以找到相等關(guān)系。

師 你能列出方程嗎？

生 （板書）13x-4=14x-1。

師 其他同學(xué)看懂了嗎？

生 懂啦！設(shè)繩長x尺，按照第一種測法，井深=13×x尺-4尺；按照第二種測法，井深=14×x尺-1尺。所以，13×x尺-4尺=14×x尺-1尺，方程就是13x-4=14x-1。

師 回答得非常好！設(shè)不同的未知數(shù)，抓住“繩長不變”或“井深不變”，就有不同的相等關(guān)系，得到不同的方程。所以，“從問題到方程”的關(guān)鍵是找到相等關(guān)系。

[設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)由易到難的問題，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，讓學(xué)生逐步體會方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中相等關(guān)系的有效模型。引導(dǎo)學(xué)生正確審題，感受“從問題到方程”的關(guān)鍵是找到相等關(guān)系。鼓勵學(xué)生多角度思考，找尋不同的相等關(guān)系，列出不同的方程，發(fā)散思維，深入理解。]

2.用方程描述實(shí)際問題中的相等關(guān)系——體驗(yàn)“從問題到方程”的步驟。

（教師出示問題5：某班學(xué)生39人到公園劃船。每只大船可坐5人，每只小船可坐3人。他們共租用了9只船。每個人都上了船且每只船都坐滿了。你能找出其中的相等關(guān)系嗎？）

生 大船坐的人數(shù)+小船坐的人數(shù)=39。

師 如果設(shè)租了x只大船，怎樣用方程描述？

生 5x+3（9-x）=39。

師 如果設(shè)租了x只大船、y只小船，可得什么方程？

生 5x+3y=39。

師 很好！這里，相等關(guān)系不變，未知數(shù)設(shè)法的不同導(dǎo)致了方程形式的不同。

（教師出示問題6：小明與小麗共同清點(diǎn)一批圖書，已知小明清點(diǎn)200本圖書所用的時間與小麗清點(diǎn)300本圖書所用的時間相同，且小麗平均每分鐘比小明多清點(diǎn)10本圖書，求小明平均每分鐘清點(diǎn)圖書的數(shù)量。）

師 可以用怎樣的方程描述這個問題中數(shù)量之間的相等關(guān)系？

（學(xué)生先獨(dú)立思考，再小組交流。教師巡視指導(dǎo)。）

生 設(shè)小明每分鐘清點(diǎn)x本圖書，可列方程200x=300x+10。

師 你是怎樣思考的？

生 題中的“小明清點(diǎn)200本圖書所用的時間與小麗清點(diǎn)300本圖書所用的時間相同”給出了相等關(guān)系。

師 很好！題中有兩個關(guān)鍵詞，即“時間相同”“多清點(diǎn)”，也就有兩條“線索”。設(shè)小明每分鐘清點(diǎn)x本圖書，利用“多清點(diǎn)”得到小麗每分鐘清點(diǎn)（x+10）本圖書，再利用“時間相同”得出方程。“從問題到方程”要先仔細(xì)讀題，弄清已知量和未知量，找到相等關(guān)系，再設(shè)未知數(shù)，列方程。

[設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷“從問題到方程”的一般過程，引導(dǎo)學(xué)生厘清“從問題到方程”的一般步驟，幫助學(xué)生形成知識體系，培養(yǎng)歸納整理的能力。引導(dǎo)學(xué)生列出不同形式的方程，為后續(xù)學(xué)習(xí)不同類型的方程做鋪墊。]

（三）形成、鞏固一元一次方程的概念

1.觀察、分類，歸納形成一元一次方程的概念。

（教師出示：①2x+1=5；②2x+（12-x）=20；③x2+10x=1200；④3（x+4）=4（x+1）；⑤13x-4=14x-1；⑥5x+3（9-x）=39；⑦5x+3y=39；⑧200x=300x+10。）

師 觀察上述問題中的方程，它們各有哪些特點(diǎn)？你能將它們分分類嗎？

（學(xué)生先獨(dú)立思考，再小組交流。教師巡視指導(dǎo)。）

生 ⑦中有2個未知數(shù)，其他都只有1個未知數(shù)。

生 ③中未知數(shù)的次數(shù)是2次，其他都是1次。

師 ⑧中未知數(shù)的次數(shù)也是1次嗎？該方程兩邊是整式嗎？

生 ⑧中方程兩邊不是整式，不好說它是1次。

師 有道理！同學(xué)們分別按照未知數(shù)的個數(shù)和次數(shù)，將上述方程進(jìn)行了分類。按未知數(shù)的個數(shù)，分為一元、二元；按未知數(shù)的次數(shù)分為一次、二次。我們先來認(rèn)識最簡單的一元一次方程：像①②④⑤⑥這樣，只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是1的方程叫一元一次方程。

2.舉例、辨析，應(yīng)用鞏固一元一次方程的概念。

師 你能再寫出一些一元一次方程嗎？

（學(xué)生舉例，相互交流。）

師 下列方程哪些是一元一次方程？

（教師出示：①x-2=2x；②0.3x=1；③x2=5x-1；④x2-4x=3；⑤x=6；⑥x+2y=0。學(xué)生辨析。）

[設(shè)計(jì)意圖：通過觀察方程特點(diǎn)并分類整理，歸納形成一元一次方程的概念，培養(yǎng)學(xué)生抽象概括的能力。通過舉例、辨析活動，應(yīng)用鞏固一元一次方程的概念，培養(yǎng)學(xué)生具體分析的能力。]

（四）回顧總結(jié)

教師出示問題：（1）怎樣用方程描述實(shí)際問題中數(shù)量之間的相等關(guān)系？它的關(guān)鍵是什么？（2）你在學(xué)習(xí)的過程中遇到了哪些困難？有什么感觸？（3）你能結(jié)合自己的生活經(jīng)歷，賦予方程2x+1=5實(shí)際意義嗎？然后組織學(xué)生交流，同時邊傾聽、邊評價(jià)。

[設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生回顧總結(jié)前面的學(xué)習(xí)過程，明確知識要點(diǎn)，培養(yǎng)良好習(xí)慣，提高思維水平。讓學(xué)生編題的意義在于，進(jìn)一步應(yīng)用鞏固所學(xué)知識，培養(yǎng)思維的開放性、靈活性，同時體會數(shù)學(xué)來自于生活，應(yīng)用于生活，深刻感受方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中相等關(guān)系的有效模型。]

二、教學(xué)思考

（一）體現(xiàn)教材理念

蘇科版初中數(shù)學(xué)七年級上冊第一章《數(shù)學(xué)與我們同行》安排了“生活 數(shù)學(xué)”和“活動 思考”兩節(jié)內(nèi)容。它總領(lǐng)全套教材，揭示了整套教材的設(shè)計(jì)理念：以“生活 數(shù)學(xué)”和“活動 思考”為主線展開整個初中學(xué)段的課程，注重體現(xiàn)生活與數(shù)學(xué)的聯(lián)系，為學(xué)生提供看得見、聽得見以及感受得到的素材；注重創(chuàng)設(shè)輕松愉快的數(shù)學(xué)情境，充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性，引導(dǎo)學(xué)生在活動中思考、探索，主動獲取數(shù)學(xué)知識，促進(jìn)學(xué)習(xí)方式的改變。

本節(jié)課是按照“呈現(xiàn)豐富的問題情境—探索實(shí)際問題中的相等關(guān)系—用方程描述”這樣的“生活—數(shù)學(xué)”觀設(shè)計(jì)的，所有的問題來于生活、歸于生活，使學(xué)生在不知不覺中感悟數(shù)學(xué)的真諦。此外，教學(xué)中，還盡量為學(xué)生提供“做”數(shù)學(xué)的機(jī)會，引導(dǎo)學(xué)生自主探索、合作交流，鼓勵學(xué)生從不同角度探索實(shí)際問題中的相等關(guān)系并用方程描述，進(jìn)而通過觀察、分類等活動，歸納形成一元一次方程的概念，從而逐步積淀、感悟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法。

（二）整合教材內(nèi)容

具體教學(xué)中，教師不能被教材的外在內(nèi)容所迷惑，完全按照教材的編排展開教學(xué)（“教教材”），而要弄清教材的內(nèi)在意圖，靈活整合教材內(nèi)容（“用教材教”），從而契合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展。

本節(jié)課最初的教學(xué)設(shè)計(jì)是：按照教材的內(nèi)容體系，選取幾個實(shí)際問題，引導(dǎo)學(xué)生列出一些一元一次方程，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)它們的共同特點(diǎn)，歸納形成一元一次方程的概念；然后選取不同形式的方程（包括初中學(xué)段其他形式的方程），讓學(xué)生辨析。對此，董主任指出：“《從問題到方程》這節(jié)課的重點(diǎn)是“到”，而不是方程的形式。這樣設(shè)計(jì)，其他形式方程的出現(xiàn)是不是有一點(diǎn)突兀？”筆者得到啟發(fā)：與其直接給出其他形式的方程，不如讓學(xué)生自己“創(chuàng)造”出這些方程。于是，筆者加入了問題3、問題5的追問、問題6，引導(dǎo)學(xué)生列出其他形式的方程，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)方程的不同特點(diǎn)，在分類的基礎(chǔ)上歸納形成最簡單的一元一次方程概念。這樣，學(xué)生一氣呵成地經(jīng)歷了“從問題到方程”的過程，不僅獲得了本節(jié)學(xué)習(xí)的核心知識，而且初步搭建了后續(xù)學(xué)習(xí)的認(rèn)知框架，從而有利于思維的整體建構(gòu)。

（三）彰顯數(shù)學(xué)本質(zhì)

數(shù)學(xué)教師要具有正確的數(shù)學(xué)觀和數(shù)學(xué)教育觀。具體來說，就是要理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，認(rèn)識數(shù)學(xué)知識背后蘊(yùn)涵的觀念和思想，挖掘相關(guān)資源，從而改變學(xué)生觀念，發(fā)展學(xué)生智慧，實(shí)現(xiàn)育人目標(biāo)。

本節(jié)課的第一個環(huán)節(jié)聚焦用方程描述相等關(guān)系的優(yōu)越性，讓學(xué)生體會為什么要學(xué)方程。第二個環(huán)節(jié)聚焦用方程描述實(shí)際問題中的相等關(guān)系的過程（即“到”的過程），引導(dǎo)學(xué)生吃透問題背景，理清有關(guān)的數(shù)量關(guān)系，找出可以作為列方程依據(jù)的主要相等關(guān)系，體會“找相等關(guān)系—設(shè)未知數(shù)—列方程”（即“找、設(shè)、列”）的一般步驟。讓學(xué)生在自主探究、合作交流中細(xì)細(xì)品味方程的價(jià)值和“從問題到方程”的思想方法，初步體會方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中相等關(guān)系的有效模型，形成建立方程解決實(shí)際問題的意識。

（四）突出學(xué)生主體

“學(xué)生主體”是指，在教學(xué)中，學(xué)生是主動獲取知識的主體，而不是被動接受知識機(jī)器。因此，教師要鼓勵學(xué)生自主探究、合作交流，重視學(xué)生思考和實(shí)踐的過程和體驗(yàn)。具體來說，應(yīng)以學(xué)生的已有知識和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，遵循學(xué)生的學(xué)習(xí)心理，設(shè)計(jì)豐富的教學(xué)活動，運(yùn)用適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)策略，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和潛能，充分調(diào)動學(xué)生多感官參與學(xué)習(xí)，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考和實(shí)踐，有效幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識、掌握數(shù)學(xué)技能、感悟數(shù)學(xué)思想、積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。

本節(jié)課中，筆者給了學(xué)生充分的時間與空間，讓學(xué)生參與閱讀、思考、抽象、建模、觀察、分類、舉例、辨析、歸納、應(yīng)用、交流、互動、回顧、總結(jié)等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，經(jīng)歷了比較完整的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程。此外，筆者通過適時的組織、幫助、引導(dǎo)、點(diǎn)評等，參與學(xué)生學(xué)習(xí)的全過程：在學(xué)生思維受阻時，幫助學(xué)生搭建“腳手架”，指點(diǎn)迷津；在學(xué)生思維活躍時，引導(dǎo)學(xué)生多角度思考，拓展思維，從而促使學(xué)生逐步實(shí)現(xiàn)由“學(xué)會”到“會學(xué)”再到“樂學(xué)”的轉(zhuǎn)變。

參考文獻(xiàn)：

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[2] 曹建軍.落實(shí)“學(xué)為中心”教學(xué)目標(biāo)的教學(xué)設(shè)計(jì)——以“同底數(shù)冪的乘法”助學(xué)單的編寫為例[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2017（1）.