教學(xué)方法的選擇：歸納還是演繹？

摘 要：歸納法和演繹法既是數(shù)學(xué)形成與發(fā)展的兩大方式，也是數(shù)學(xué)教學(xué)最重要、最常用的兩種方法。從特殊到一般的歸納法能凸顯知識的形成過程，有利于學(xué)生的理解；從一般到特殊的演繹法能傳授系統(tǒng)知識以及解決一類問題，教學(xué)效率較高。在實際教學(xué)中，教師應(yīng)踐行“以生為本”的教育理念，根據(jù)學(xué)生的實際情形，靈活選擇教學(xué)方法，以便最大限度地發(fā)揮教學(xué)內(nèi)容的育人價值。以《函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像和性質(zhì)》一課為例具體說明。

關(guān)鍵詞：歸納法 演繹法 教學(xué)方法 圖像變換

美國著名數(shù)學(xué)教育家喬治·波利亞說過：“數(shù)學(xué)有兩個側(cè)面，一方面是歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)，數(shù)學(xué)像是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)；但另一方面，創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)看起來像是一門試驗性的歸納科學(xué)。”其實，歸納是演繹的基礎(chǔ)，演繹是歸納的深化，數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展是在歸納和演繹的交替過程中實現(xiàn)的。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，歸納法和演繹法也是最重要、最常用的兩種方法。歸納法是指從具體、個別的研究對象中概括、提煉出概念的本質(zhì)屬性或結(jié)論的普遍規(guī)律的方法，即“從特殊到一般”。歸納法通常是從已有的直接經(jīng)驗或熟悉的感性認(rèn)識出發(fā)，進(jìn)行觀察與操作、比較與歸類、綜合與抽象

等活動，從而獲得概念、結(jié)論。其優(yōu)勢是凸顯知識的形成過程，有利于學(xué)生的理解；其缺點是耗時較長，容易導(dǎo)致教學(xué)效率低下。演繹法是指從本質(zhì)性、普遍性的研究前提出發(fā)，通過分析、推導(dǎo)得出具體概念或個別結(jié)論的方法，即“從一般到特殊”。演繹法通常是根據(jù)一般對象的屬性、規(guī)律解決特殊對象的問題。其優(yōu)勢是傳授系統(tǒng)知識以及解決一類問題，教學(xué)效率較高；其缺點是忽視知識的形成過程以及問題體驗感受，不利于學(xué)生的理解。

二、教學(xué)診斷

上述課例中，教師對三種圖像變換的教學(xué)方法都是歸納法。本節(jié)課的歸納法主要體現(xiàn)在兩個方面：一是從函數(shù)圖像上特殊點的變換法則歸納得到特殊函數(shù)圖像的變換法則。

其步驟是在函數(shù)圖像上選取若干特殊點，通過特殊點之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖像上所有點之間的關(guān)系，進(jìn)而得到函數(shù)圖像之間的變換法則。二是從特殊函數(shù)圖像的變換法則歸納得到一般函數(shù)圖像的變換法則。其步驟是選取若干相關(guān)聯(lián)的特殊函數(shù)，研究特殊函數(shù)圖像之間的關(guān)系，然后得到一般函數(shù)圖像之間的變換法則。

歸納的過程就是為學(xué)生提供思考、探究的過程，在歸納的過程中可以讓學(xué)生加深對數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)結(jié)論的理解。數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)主要靠合情推理，即觀察、實驗、猜測、驗證等歸納方法。知識具有雙重意義：既表現(xiàn)為靜態(tài)的認(rèn)識成果，又蘊含著動態(tài)的認(rèn)識過程。與成果形態(tài)的知識相比，過程形態(tài)的知識中蘊含著人類在認(rèn)識過程中的智力活動（如實踐、思維方式等），凝聚著人類的探索行為和推理思考。這就是用歸納法進(jìn)行教學(xué)的核心價值所在。

但是，對三種圖像變換采用相同的處理方法，不僅單調(diào)，而且沒有充分發(fā)揮知識的教育價值。如果說對第一種圖像變換采用試驗、猜想的歸納方法，體現(xiàn)了研究的過程，滲透了數(shù)形結(jié)合的思想，那么對第二、三種圖像變換采取什么處理方法呢？是否“重復(fù)昨天的故事”呢？能否差異化處理，從而對學(xué)生傳遞課程的最大化價值，同時幫教師提高教學(xué)的藝術(shù)性呢？

其實，學(xué)生對列表、描點、作圖已經(jīng)“輕車熟路”了，對利用特殊點之間的關(guān)系判斷圖像整體之間的關(guān)系也已經(jīng)多次接觸了。例如，初中學(xué)習(xí)二次函數(shù)，高一學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)時，都是這樣的研究程序：列表、描點，通過特殊點之間的對應(yīng)關(guān)系得到一般圖像之間的對應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而借助于專業(yè)工具（如幾何畫板等）整體感受圖像之間的變換。因此，這里如果繼續(xù)采用歸納法教學(xué)，顯然只是內(nèi)容上的簡單重復(fù)、程序上的機械訓(xùn)練，既沒有價值，無法達(dá)到幫助學(xué)生理解知識、培養(yǎng)學(xué)生思維能力的目的，也缺乏新意，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)味同嚼蠟、失去興趣。

三、教學(xué)改進(jìn)

顯然，就本節(jié)課中的平移變換而言，相當(dāng)多的學(xué)生在高一其實已經(jīng)獲得了一般結(jié)論，因此教師利用演繹法教學(xué)，更能發(fā)揮知識的教育價值，提升教學(xué)的新意。比較好的做法是：從復(fù)習(xí)必修1學(xué)過的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)圖像平移開始，首先從特殊到一般，歸納函數(shù)圖像之間的平移變換關(guān)系，即函數(shù)y=f（x）與y=f（x+a），y=f（x）+b之間的平移變換結(jié)論；進(jìn)而從一般到特殊，演繹當(dāng)具體函數(shù)模型是三角函數(shù)時，如何從函數(shù)y=sin x的圖像得到函數(shù)y=sin（x+φ），y=sin x+b的圖像。這樣設(shè)計不僅節(jié)約了教學(xué)時間，提高了教學(xué)效率，而且能幫助學(xué)生深入理解知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，把握知識之間的邏輯結(jié)構(gòu)，從而全面發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)，提升理性思維能力。

其實，對本節(jié)課中的另外兩種圖像變換，如果采取演繹法教學(xué)，也更能發(fā)揮知識的教育價值，因為其中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思維層次、蘊含的數(shù)學(xué)思想方法對鍛煉學(xué)生的思維能力是十分有幫助的。而且，由于有了前面平移變換的研究模式，這里的演繹法教學(xué)不會給學(xué)生學(xué)習(xí)帶來突兀的難度。

具體來說，就是在完成第一個圖像平移變換之后，趁熱打鐵，及時引導(dǎo)學(xué)生挖掘本質(zhì)、尋找規(guī)律，即函數(shù)解析式之間的關(guān)系對應(yīng)著函數(shù)圖像之間的關(guān)系，解析式系數(shù)的變化與圖像位置的變化之間有內(nèi)在的聯(lián)系。

這樣在更高的層次上認(rèn)識數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系，才是數(shù)學(xué)教育最終要達(dá)到的目的。

以振幅變換的教學(xué)為例，以演繹法為主可以進(jìn)行如下設(shè)計：

問題4 由函數(shù)y=f（x）的圖像可以平移得到函數(shù)y=f（x+a）和y=f（x）+b的圖像，那么如何由函數(shù)y=f（x）的圖像得到函數(shù)y=Af（x）（A>0且A≠1）的圖像呢？你能借助于點（x，f（x））與點（x，Af（x））之間的關(guān)系來解釋說明嗎？

問題5 具體地，你能敘述由函數(shù)y=sin x的圖像得到函數(shù)y=Asin x（A>0且A≠1）的圖像的變換法則嗎？

問題6 你能結(jié)合幾個具體的實例加以驗證嗎？

在分別完成三種具體的圖像變換之后，就要面對本節(jié)課最大的難點了，那就是三種變換順序是否與變換法則有關(guān)。這個難點也是加深學(xué)生對圖像變換理解的載體，又是加深學(xué)生對解析式與圖像之間內(nèi)在聯(lián)系認(rèn)識的載體。在選擇教學(xué)方法時，可以把歸納與演繹結(jié)合起來，從感性到理性，讓學(xué)生的思維逐步發(fā)展。

總之，本節(jié)內(nèi)容是學(xué)生自主探究、合作交流的好題材，讓觀察、實驗、猜想、驗證等數(shù)學(xué)活動得到了淋漓盡致的發(fā)揮，體現(xiàn)了歸納法教學(xué)的魅力與價值；同時在感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上，從解析式的關(guān)系這個角度出發(fā)，也極大地鍛煉了學(xué)生的理性思維，為演繹法的采用提供了土壤。可以說，它是邏輯推理素養(yǎng)與理性思維能力培養(yǎng)的極佳素材之一。

參考文獻(xiàn)：

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