反思幾何解題培養思維品質

陳志華

[摘 要] 培養學生的思維品質要從嚴謹性、發散性、深層性、廣闊性、創造性五大特征入手. 數學幾何學習對培養學生的思維品質具有獨特而顯著的作用，本文通過實例闡述如何借助幾何解題進行反思，培養學生良好的思維品質.

[關鍵詞] 幾何；思維品質；解題思路；嚴謹

數學幾何是對圖形的概括，是學生思維發展的“橋梁”，是師生進行交流的“紐帶”. 因此在課堂中作為“主導者”的教師，要善于利用一些例題、習題，充分挖掘題目背后深層次的含義，幫助學生準確理解知識點，并掌握解決問題的一般方法，從而養成良好的思維品質. 筆者結合自己多年的幾何教學實踐，就幾何教學中如何培養學生思維品質，談幾點體會.

借助幾何直觀，深化概念理解，

培養學生思維的深層性

思維的深層性要求學生在解決問題時，要抓住問題的本質和內在聯系，善于舉一反三，解題以后能夠及時總結一般規律和通法，并能把知識和方法進行遷移，用于解決其他類似問題.

數學概念，就是用簡練的數學語言、符號去概括對象的本質屬性. 要抓住對象的本質屬性，必須對概念理解到位.一直以來概念教學是一個難點，對學生理解能力要求較高. 而通過幾何直觀，可以幫助學生突破概念理解上的難點. 例如在函數概念學習中，如何理解“對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值”，如果僅僅靠解讀字面意思，學生比較難以理解，更難達到數學應用的境地. 若借以幾何直觀，加以辨析，從感性認識著手，則可以達到較好的教學效果.

例1：給出以下幾個圖形（圖1），讓學生指出哪些圖形所反映的是函數的圖像.

通過對這四個圖的比較與辨析，能很直觀地發現A、B、C三個圖形中，同一個x的值，有兩個y的值與它對應，這就不是函數的對應關系了.

解后回顧，培養學生思維的嚴

謹性

思維的嚴謹性是指思維過程的嚴密性和邏輯性，而數學幾何解題嚴謹、條理清晰，能很好地培養學生思維嚴謹性. 教師要引導學生題后回顧，特別是針對一些典型錯誤的及時分析，能讓學生明白前后邏輯關系的重要性，并在解決問題時要注重條件與結論之間關系的嚴謹性.

例2：已知△ABC為鈍角三角形，其最長邊AC上有一點P（點P與點A，C不重合），過點P作直線l，使直線l截△ABC所得的三角形與原三角形相似，這樣的直線l可作幾條？

有學生解答：如圖2，過點P分別作兩條平行線并且使∠ABP=∠C（或∠PBC=∠A），這樣滿足條件的直線有3條.

分析：是否存在點P必有∠ABP=∠C或∠PBC=∠A？因此，上述解答中思維有漏洞，即思維不嚴謹，從而產生了錯誤的解答.

正確解答：如圖3所示，其中∠ABD=∠C或∠EBC=∠A，當點P位于點A至D之間（包括點D）或位于點C至E之間（包括點E）時，滿足條件的直線有3條；而當點P位于點E至D之間（不包括點D，E）時，滿足條件的直線有2條.

以上例題讓學生經歷從一開始的想當然認為所有點P都能畫出3條，到后來發現當點P在特殊位置時會出現不一樣的特殊情況，從而感受到考慮問題必須全面，不能以特殊代替一般，也不能忽視特殊情況，以及邏輯上是否前后存在矛盾等.

利用結論開放，培養學生思維

的發散性

思維的發散性是指個體在思維活動中獨立發現解決問題的方法及推廣程度. 這就要求教師在平時教學中多“留白”，從已知條件出發，能得到哪些相關的結論，對同一試題探求出各種各樣的方案. 這種試題的解法多樣，思路廣闊，既能鞏固深化原有知識，又能提升學生思維活動的發散性.

例3：如圖4，P為⊙O外一點，PAB為⊙O割線，交⊙O于A，B兩點，PC切⊙O于C，∠CPB的平分線交AC于E，交BC于F.

結論1：CF=CE；結論2：△PCE∽△PBF；結論3：△PAE∽△PCF；結論4：=……

通過這類習題的訓練，不但能鞏固知識點之間的關系，還讓學生對這類問題有了深入的認識，大膽猜想并嚴謹論證，通過自我評價解題思路和方法，培養了思維的發散性.

一題多用，培養學生思維的廣

闊性

思維廣闊性是指個體思維活動的廣泛程度. 它的特點包括：一是從多角度來分析問題，抓住問題的關鍵；二從分析過程中，提煉出解決問題的方法；三是技能的遷移能力，如我們平時說的“舉一反三”；四是善于歸納總結，到達“運用自如”的境界.

1. 一題多解，解中求真，提升學生思維的廣闊性

例4：如圖5，在直角坐標系中，Rt△ABC的邊長BC=1，AC=2，∠C=90°，點A、點B分別在x、y軸正半軸滑動，求線段OB長的最值？

分析一：根據三角形三邊關系，可構造出以OB為一邊的△OBD，其中點D為AC的中點. 由此可知：隨著線段AC滑動，線段BD和線段OD的位置也隨之改變. 當BD和OD成一直線時，即線段OB剛好通過中點D時，OB為最小；當BD和OD重合時，OB為最大. 因此BD-OD≤OB≤BD+OD，即-1≤OB≤+1.

分析二：根據相對運動理論，轉變觀察角度，把“動點A，C相對于不動點O運動”變為“動點O相對于不動點A，C運動”，此時點O的運動軌跡是以AC為直徑的圓. 如圖6所示，OB最值的情況顯而易見了：-1≤OB≤+1.

此題從兩個截然不同的角度，都十分巧妙地構造相關圖形得到兩種較好的解法，使學生對問題的理解更深刻，培養從不同角度理解問題的能力，同時培養其思維的多向性、廣闊性.

2. 一題多變，趨異求同，培養學生思維的廣闊性

以基本圖形為“生長點”，通過將其引申變換為相關圖形而得到“再生”題組，培養學生對幾何圖形的空間想象力，從而培養學生思維的廣闊性、多向性.

例5：如圖7分別以△ABC三邊a，b，c為邊向外作正方形. 若S+S=S成立，則△ABC是直角三角形嗎？

變式1：向外作正三角形呢？（如圖8）

變式2：向外作等腰直角三角形呢？（如圖9）

變式3：向外作半圓呢？（如圖10）

變式4：向外作相似三角形呢？（如圖11）

分析：由△ABF∽△ACE∽△BCD，得=2，=2，=，S+S=S，得a2+b2=c2，故△ABC是直角三角形.

通過對上述變式的理解和深入，我們可得到以下結論：分別以△ABC三邊a，b，c為直徑向外作任意相似多邊形. 若S+S=S成立，則△ABC都是直角三角形！

例6：如圖12，一個邊長為1.2 m的正三角形金屬架，能通過一個直徑為1.1 m的呼啦圈嗎？請證明你的判斷？

分析：邊長為1.2的正三角形的高為<1.1，所以能通過這樣的呼啦圈.

變式1：把正三角形改成直角三角形呢？（如圖13）

變式2：把正三角形改成梯形呢？如圖14，已知一塊直角梯形的鐵板，兩底長分別為4 cm、10 cm，且有一個內角為60°，請用數據說明鐵板能否從一個直徑為8.7 cm的圓洞穿過.

分析：根據上述思考，過點B作a∥CD，過點B作BE⊥CD交CD于E，求得BE=5< 8.7，所以能穿過圓洞.

因此，在教學過程中要求養成從不同角度，不同方位思考問題的習慣，進行一題多解、一題多變的練習，廣闊地運用公式、法則、命題，對一個對象用多種方式表達，對一個方法或理論作多方面的應用，培養其舉一反三、觸類旁通的思維品質，從而培養學生思維的廣闊性.

一圖多用，培養學生思維的創

造性

有創造性地解決問題的能力是衡量個人能力高低很重要的指標，特別是在幾何學習中尤為突出. 為了提升學生的創造性，這就要求教師精心設計，讓學生對圖形進行觀察、分析、發現題中基本圖形，然后鼓勵學生大膽提出“猜想”，經過對基本圖形相關性質理性分析對猜想予以證明，最后及時題后反思，自行改編題目，以到達提高思維的創造性的目的. 它的一般程序是“觀察發現基本圖形——提出猜想——證明猜想——題后反思——改編題目”. 現結合例子具體闡述.

例7：如圖15，已知△ABC中，BD，CE是高，F，G分別是BC，DE的中點，則FG與ED之間有什么關系？并給以證明.

（1）觀察基本圖形

根據圖形及條件，觀察發現組成圖形的基本圖形是：直角三角形中線基本圖形、等腰三角形三線合一基本圖形. 本題中的兩個基本圖形不完整，因此要把它補充完整，這也是添加輔助線的主要方向.

（2）提出猜想

根據基本圖形及已知條件，大膽猜想FG與ED的關系是：FG垂直平分ED.

（3）證明猜想（證明略）

（4）題后反思

題后反思概括性越高，知識系統性越強，減縮性越大，遷移能力越廣闊，注意力越集中，則思維的創造性就越突出. 而題目的關鍵是通過添加輔助線補充完整圖中的兩個基本圖形，使直角三角形中線性質和等腰三角形三線合一性質有機結合. 同時，圖形中共斜邊的兩個直角三角形也給我們留下了深刻的印象，利用中線性質可構造等腰三角形，可謂妙哉！結合兩個三角形的位置，通過反思整理“生長”出如下“基本圖形”，如圖16～18.

（5）改編題目

產生“創造”的原因在于主體對知識經驗或思維材料的高度概括后集中而系統地遷移，進行新穎地組合分析，從而找出新奇的層次和交結點. 而學生自行改編題目，需要學生廣泛、深刻、跳躍性的思維，很顯然，這有利于培養學生的創新能力，這有利于培養思維的創造性.

現摘錄如下學生改編的題目：

①已知△ABC中，BD，CE是高，F，G分別是BC，DE的中點，探索題目滿足什么條件時，△ADE是等腰直角三角形（如圖19）、正三角形（如圖20）？

②如圖21，在△ABC中，E，F分別是AB，AC上的點. 若DE⊥AB，DF⊥AC，AD⊥EF，求證：AD平分∠BAC.

通過大家的大膽探索、猜想，對于改編后第一題，最后得出有趣的結論：若△ADE是等腰直角三角形，那么△ABF肯定也是等腰直角三角形；若△ADE是正三角形，則△ABF必為含30°的直角三角形. 對于第二題，學生根據自己題后反思，改變了原題中共斜邊的兩個直角三角形的位置，從而能打破原題、常規，讓圖形“活”起來，隨之提升學生思維能力.

總之，教師在平時的幾何教學中，要引導學生對幾何例題、習題的解題進行多維度反思，將教學與實踐相結合，從思維的深度、廣度等多方位提升學生的思維品質.