在探究中感悟、明晰和深化
——《因數與倍數》課堂實錄與反思

劉紅專

【教學實錄】

一、交流和梳理預習獲得，提高對因數與倍數的認識

師：關于因數與倍數，你已經知道了什么？（學生說）讓我們一起來梳理、體會剛才同學們說的這些，看看我們還能有哪些收獲？

1．擺長方形。

師：一起看大屏幕，這里是12個同樣大的正方形，用它們拼成一個長方形，可以怎么拼？（稍后）用一道乘法算式表示你的拼法？（學生說算式，教師板書算式，寫出算式后屏幕出示拼法）

2．因數和倍數概念。

（1）例題。

師：我們看這表示不同拼法的三個乘法算式，第一個，4×3=12，在數學上我們也說，4和3都是12的因數；反過來 12是4的倍數，12也是3的倍數。

（2）另兩道算式。

師：6×2＝12 這個乘法算式，誰是誰的因數，誰是誰的倍數？

（學生說）

師：12×1＝12，這個算式呢？請你來說（指名）。

（3）自己寫乘法算式說說。

師：能再寫兩個這樣的乘法算式來說說嗎？

（學生說算式教師板書）

師：如學生剛才說出 2×4＝8，教師寫一個8×3＝24）我寫一個，誰來說？（學生說后，教師質疑）同樣是8，怎么一會兒是倍數，一會兒又是因數了呢？（學生說）所以說因數和倍數時一定要說誰是誰的因數，誰是誰的倍數。

（4）建模。

師：我們看看這些算式，想想我們剛才說的，你想到了什么？

生：只要是乘法算式就可以說出誰是誰的因數，誰是誰的倍數；乘法算式中兩個乘數是積的因數，積是兩個乘數的倍數。

師：你真厲害！誰能用一個式子來代表所有的乘法算式，并說出兩個乘數與積的關系？

生：a×b=n，a和 b 是 n 的因數，n是a和b的倍數。

師：a×b=c 可以嗎？（改板書：a×b=c）a和 b 是 c的因數，c就是a和b的倍數。同學們，因數與倍數的關系與生活中師傅與徒弟的關系是一樣的，都是相互依存的。（板書：相互依存）

師：如果是一個除法算式(出示24÷3=8)，能說出誰是誰的因數，誰是誰的倍數嗎?（學生說）告訴大家你是怎么想的？

（6）再看：（課件出示）321

師：沒有算式了，還能說出它們之間因數和倍數的關系嗎？跟我們說說你是怎么想的？

師：2個數可以，5個數呢？（課件出示：3、4、18、20、36） 選兩個數，說一說誰是誰的因數？誰是誰的倍數？

（學生說）

師：看來同學們對于因數和倍數已經基本掌握了，不過剛才老師在聽的時候發現一個奧秘，你們有沒有發現？（好幾個數都是36的因數）誰能把5個數中哪些數是36的因數一口氣說完？

生：3、4、18、36。

師：36的因數只有這4個嗎？

生：不是，還有 1、9、6。

師：看來要找出36的一個或幾個因數并不難，難的是你有沒有能力把36的所有因數都找出來？你可以嗎？ 好，拿出作業紙，開始。

二、探索找倍數和因數的方法

1.找一個數的因數。

（1）交流。

反饋分層：把學生的作業分類并編號：不全的①，全且有序②。（一對一對寫，從小到大寫）

不全的：

師：詳細讀一讀學生的解答，然后你們給他一個評價。

（學生說）

師：這個同學找出的因數有沒有值得肯定的地方？（都是對的）只是沒有找全。少了哪些數？你覺得這個同學沒有找全的原因是什么？

學生分析原因：一個乘法算式或一個除法算式來做的話，是一個個找，還是兩個兩個找到？按一定的順序找和寫。

全且有序的：

第一種：一對一寫的。

師：你看出什么來了？

生：是一對一對找的。

第二種：從小到大寫的。

師：這個同學中間怎么空了這么大一段呢？誰知道？（幾個學生說了都沒有說對），這位同學你說說這中間怎么空這么一段？

生：一對一對找，找到后寫的時候從小到大一前一后寫成從小到大的樣子，找到最后中間就空了一段了。

師:這個同學這樣的方法好不好？好在哪兒？

生：既有序一對一對找了，又能從小到大排了。36的因數也可以用集合圖來表示。

師：用這個方法我們再來有序找找15和16的因數有哪些？

（找后反饋）

師：觀察這3個數的所有因數，有什么發現？

屏幕出示：一個數最小的因數是1，最大的因數是它本身。

（2）因數特點的應用。

課件出示：①24最小的因數是幾？最大的因數呢？②一個數最大的因數是30，這個數是多少？

2.找一個數的倍數。

小結過渡：我們會有序地找一個數的因數了，那怎么有序地找一個數的倍數呢？比如3的倍數（課件出示）有哪些？會找嗎？

師：好，寫在作業紙上。

學生找了一會兒后教師問：3的倍數你找得完嗎？為什么？怎么辦？

師：請你來說找到了3的哪些倍數？

師：一般是從小到大依次寫5個后添加省略號。

師：你是怎樣找的？

出示：一個數的倍數也可以用這樣的集合圖來表示。

師：用這樣的方法再來找一找2的倍數和5的倍數吧。

找一個數倍數的特點：

師：我們來看看這3個數的倍數（手勢），你能發現什么？

屏幕出示：一個數最小的倍數是它本身，沒有最大的倍數。一個數倍數的個數是無限的。

補充完整：一個數因數的個數是有限的。

考考你：（出示8）一個數最小的倍數是8，那這個數是幾？它最大的因數是幾？

三、鞏固練習

1.請你判斷。

1.2×5＝6，1.2和 5是 6 的因數。（）

12+7＝19，12是19的因數，19是7的倍數。（）

當a和b是c的因數時，c就是a和b的倍數。（）

2.游戲。

下面老師和你們來做一個無聲的數學游戲，請看規則！

規則：根據出現的題目要求靜靜思考，想好后拿出課桌里的卡片，聽老師的指令。

（1）我是20，我找我的因數。

師：拿出課桌里的卡片，卡片上數是20的因數的同學請拿著卡片站到老師旁邊來。

（2）我是10，我找我的倍數。

師：手中是10的倍數的同學請拿著卡片站到老師旁邊來。

拿著卡片10的同學在別的符合要求的同學都上來以后，匆匆上來，老師讓他站在最邊上，問他要不要上來，學生說要，一一看過后，發現有一個5，這位同學想下去，老師讓他先留下，問同學們5要不要上來，為什么？因為5是10的因數不要上來。同學們掌聲請他們上位。

我的最小倍數是8，我是？

我的最大因數是8，我是？

第一次這位拿著8的同學爽快地上來了，且只有這一位同學上來，第二次這位同學猶豫了，想上來又沒有上來，老師問這位同學該不該上來？

師：他的這兩次連續單獨到老師這里來有沒有讓你們明白到了什么？

生：一個數最小倍數是它最大的因數，都是它本身。

（3）我是1，我找我的倍數。

師：卡片上的數符合要求的同學請坐正。

師：你們為什么都坐著呀？你們手中的數都是1的倍數，反過來1是你們所有數的？（因數）

四、全課總結

師：同學們，今天這節課我們學習了因數與倍數，靜靜地回想，這節課你學到了什么？（講后出示）

特點最小　最大　個數倍數相互內容　　方法一個數×1×2×3……　　本身　沒有　無限依存因數乘法算式除法算式　1　　本身　有限

師：其實關于因數與倍數的知識遠遠不止這些，隨著以后的學習，你們會知道得更多更多！

【課后反思】

本節課，我引導學生在預習之上展開因數與倍數知識的學習；在自主找尋一個數的因數與倍數之中提煉方法；從游戲中感悟、明晰和深化尋找一個數的因數與倍數的關鍵與一個數的因數、倍數與它本身的關系。這樣教學，學生學得愉快、滿足和踏實，課堂中生成的兩朵浪花更是彌足珍貴：

1. 如改學生 a×b=n 為 a×b＝c更好。

在構建乘法算式中因數與倍數的關系時，學生說可以用a×b=n來表示所有的乘法算式的時候，如能把學生的說法改成a×b＝c該多好，學生極強的概括能力、符號化思想，朦朧的方程意識多么可貴，學生的想法很好地表達了乘法算式中因數與倍數的關系，還很自然地透出方程的思想。

2.遲到的 10，多出的 5，猶豫的8。

這三位同學的行為反映出找尋一個數的因數和倍數時學生會出現的所有常見問題，這個游戲讓同學們印象深刻，進而更好地明晰一個數的因數、倍數怎么找，要注意什么？一個數最大的因數和最小的倍數都是它本身，1是所有非0自然數的因數，這些知識的獲得更是永遠不會忘記。