“圖形與幾何”復習課教學策略的探索

朱希萍

小學數學“圖形與幾何”復習課是小學數學教學中的重要組成部分，通過對圖形與幾何內容的復習，讓學生進一步感受現實世界中的物體和幾何圖形的形狀、大小、位置關系及其變換，進一步讓學生掌握相應的基礎知識和基本技能，學會解決簡單的實際問題，發展形象思維，培養空間觀念和創新意識。

在組織“圖形與幾何”復習課時，我們要根據學生學習“圖形與幾何”知識的心理特點結合“圖形與幾何”的知識特點，在知識的鏈接點處、思維發展處、策略方法選擇處給學生以復習路徑與復習方法的提示，為學生提供觀察和想象、操作和分析的時間和空間，進行大膽想象，發展空間觀念的同時培養自主復習的能力。下面談談我的幾點策略。

一、在知識的鏈接點處求同求異求聯來梳理知識

數學知識之間有著緊密的聯系。在“圖形與幾何”知識的復習時，我們要站在整體的視角下，引導學生抓住知識的內在聯系，通過分析、比較把知識串聯在一起，達到復習一點懂得一片，理解一片貫通一面的目的。

1.抓圖形要素的共性來聯想梳理。

組成圖形的三個基本要素是：點、線、面。同是點（或線），在不同圖形中的名稱卻可能不同；同為線，通過不同的組合就可構造不同的圖形……分析這些要素的共性，可為我們的復習梳理提供思路。

人教版四年級上冊教材中，學習的內容有直線、射線、線段、角、平行、垂直、平行四邊形、梯形等，分析這些平面圖形，都有一個共同的要素：點。“直線、射線、線段”的判斷看端點，“平行、垂直”判斷看交點，“角、平行四邊形、梯形”有頂點。都是“點”，叫法卻不同，好多學生容易搞混，如把三角形的“頂點”錯叫成“端點”，把線段的“端點”錯叫成“頂點”。上這節復習課時就可以利用“點”來做文章。

出示圖1：

圖1

你看到了什么點？（若將其看成兩條射線，則為端點；若看成角，則為頂點；若看成相交，則為交點；若看成垂直，則為垂足）

使學生體會到：同是點，在不同的圖形中的名稱卻不同。

然后引導學生思考：你還想到哪些數學中的點？

由“端點”，你還想到什么圖形？

由“交點”，你還想到什么圖形？

哪些圖形有頂點？

由此逐漸引出要復習的圖形，然后再引導學生進行進一步的回顧整理。

2.抓圖形特征的共性來分類梳理。

每個圖形都有自己的特征，這些特征中有些是獨有的，人無它有；有些特征是與別人相同或相似的，人有它也有……從眾多特征上分析共性，也可為我們的復習梳理提供思路。

“立體圖形的復習”這部分內容（包括長方體、正方體、圓柱、圓錐的特征、表面積、側面積、體積等）知識較多，但分析后可以發現，長方體、正方體、圓柱、圓錐有很多相同的地方：前三個都是直柱體，側面展開都是長方形，體積、側面積、表面積計算方法相同；后兩個都可以由一個平面圖形旋轉得到。于是有一位教師教學時先出示圖2，以“哪些立體圖形可以和圓柱分為一類”作為任務驅動，引導學生從不同角度闡述分類理由。學生把①②④和圓柱分成一類，因為它們有共同的體積計算公式（體積＝底面積×高）、有共同的表面積計算公式（表面積＝側面積+底面積×2）、有共同的側面積計算公式（側面積＝底面周長×高）；還可以把③和圓柱分成一類，因為它們都可以由一個平面圖形旋轉得到。交流中適時追問“為什么直柱體的體積可以用底面積×高來表示”、“為什么側面積都可以用底面周長×高來解決”。這樣，通過歸類、交流，使學生對立體圖形這塊知識做了一個很好的梳理，既溝通了這些立體圖形之間內在的聯系，又加深了學生對側面積、表面積和體積概念內涵的理解。

圖2

3.抓圖形特征的關系來梳理。

許多圖形有共同的特征，這些特征之間又有錯綜復雜的聯系。學生在學習圖形與幾何知識的關系時特別難以理清，通過記憶的形式學生很容易搞混淆。通過分一分、理一理，學生容易把中間的關系梳理清晰。

例如六年級復習“圖形認識”這節課，內容涉及三角形（銳角三角形、直角三角形、等腰三角形、等邊三角形等）、四邊形（長方形、正方形、平行四邊形、梯形等）、立體圖形（長方體、正方體、圓柱、圓錐等），涉及的圖形多而雜，學生對其中有些圖形的特征關系容易混淆。我們設計這節課時，發現了這些圖形之間也有共性，即這些圖形之間存在著許多的包含關系，如果學生能理清這其中的包含關系，自然也就能理清各個圖形的特征和圖形間的區別了。

于是上課時先讓學生說說小學六年學過哪些圖形；接著以長方形和正方形為例引導學生說說它們的關系，并用集合圖表示（如圖3）；然后讓學生在學過的圖形中，再找出具有這樣關系的兩個或幾個圖形，并用這樣的集合圖表示出來，最后通過交流，或修繕、或融合。這樣，逐步把學生腦海中各個零散的、點狀的知識串成線、連成片、結成網，變成有序的、網狀的知識體系。

圖3

4.抓計算方法的聯系來轉化梳理。

圖形的測量方法有著千絲萬縷的聯系，在復習時我們要利用好關系建立起方法群，形成自己的知識結構。例如在復習“平面圖形的面積”時教師引導學生尋找復習路徑后在黑板上板書：計算的方法怎樣？方法的由來？并呈現下圖。

觀察上面一張圖形，想一想在相應的橫線上填上你的想法,再想想這些平面圖形面積公式的推導，彼此之間存在著密切的聯系，你能利用圖片模型將這些聯系表示出來嗎？

學生以小組為單位合作構建“知識鏈”，結合圖形模型展開交流活動。

組1：長方形面積是通過數方格來推導的；正方形、平行四邊形、圓的面積計算公式是通過長方形面積來推導的；而三角形、梯形面積是通過平行四邊形面積來推導的；所以就有如上的網絡圖。

組2：平行四邊形、圓形是通過剪拼轉化為長方形進行推導出來的；而三角形是通過兩個完全相同的三角形拼成一個平行四邊形推導出來的；梯形可以剪成兩個三角形再通過三角形推導出來；所以就有如下的網絡圖：

組3：我們組認為正方形、平行四邊形、三角形、梯形、圓等圖形都可以通過剪拼成長方形推導出來。就有下面的網絡圖：

這一環節教師開門見山地提出復習的內容和復習目標，并直接提供半成品形式的圖示材料，使每位學生都能認真觀察思考。學生在觀察這樣的圖示后，能很快地回想起當時學習這些圖形面積計算時的情境，并按圖形變換的線索填寫相應橫線上的內容。由于復習素材設計科學有效，有利于教師選用學生所整理的材料組織質疑，使學生在回憶面積計算方法的同時，突出復習用轉化思想來推導面積計算公式。以上的復習形式，改變了以往教師與學生之間單調的回答。把復習課回歸到人性化的訓練，關注學生在復習時的興趣，進一步培養學生的推理能力，并掌握復習方法。

二、在思維的生長點處求變求聯來發展空間觀念

“圖形與幾何”教學的核心魅力在于“變”，有“變”才有“用”，有“變”才能“活”。實施“圖形與幾何”復習課教學時，應設計適當靈活的問題變式，在巧妙的變式中，在錯綜復雜的變化中，培養學生研究探索問題的能力，發展空間觀念。

教師可以通過從不同角度去改變題目，或者通過解題后的反思歸納出同一類問題的解題思維的形成過程與方法；通過改變條件，讓學生對滿足不同條件的情況做出正確的分析等培養學生推理、探索的思維能力，有效地突破思維定勢，使學生的思維更具有靈活性、嚴謹性、變通性和創造性。

1.在組合變換中溝通。

有些習題看上去沒有聯系，方法與解題思路各不相同。如果我們通過變換想象與聯想，可以將它們進行方法上的溝通，思考方式上的鏈接。

先來看這幾道題目：

題1：求立體圖形的體積（單位：cm）。

題2：將A容器中60dm3的水倒一部分到B容器，使A、B容器的水面一樣高，這時水面的高度是多少？

題3：如圖，一個長為8dm，寬為5dm的長方體容器，有72dm3的水，將一個底面積為16dm2的鐵塊浸沒在水中，水面的高度與鐵塊的高度相等，鐵塊的高度是多少？

以上三道題目看似不一樣，但是如果仔細分析就會發現，這幾題都是由幾個立體圖形組成的組合圖形，如果從運動的視角去審視，將其中一個立體圖形圖形進行平移，就會發現，這些題都可以轉化成一個圖形：

學生練習后，教師課件動畫溝通題目之間的聯系，學生倍感驚嘆。這個過程中，引導學生從運動變化的視角進行動態思維，較好地滲透了動態幾何觀。學生從中感受到了數學的神奇，對圖形的變換有了全面透徹的理解，便能融會貫通、舉一反三地去學數學。

2.分割變換中溝通。

在分的過程中通過聯想它們之間的聯系，由同一變化方式在不同對象上發現具有相同的思考形式與解決問題的路徑，從而在變中發現不變的思想，讓方法融會貫通。

例如，一個圓柱體，高是6厘米，沿著它的高平均切成兩半，表面積就增加48平方厘米。原來圓柱的體積是多少立方厘米？

如果是圓錐體呢？要是長方體呢？(假如底面是正方形)

復習階段的解題訓練，側重點應更多傾向于“變中求聯、巧中求智”。 為此，適度的基本訓練后，教師應做足變式文章，在蘊涵變化的信息環境中，訓練學生“撥開迷霧、聚焦本質”的數學洞察力。通過這樣的解題訓練，立體圖形體積計算的方法必能扎根于學生腦海中。

三、在解決問題處求策略的多樣化來提升能力

運用一種知識解決問題時，因為指向明確、策略清晰，學生往往感覺容易。而當需要綜合運用多種知識解決問題時，學生往往感覺困難。因為題中指向哪些知識、需要哪些策略，都需要由學生自己決定，這些活動經驗需要積累。因此我們組織復習時，應設計具有針對性、開放性、綜合性的問題，引導學生綜合運用多種策略解決生活中的實際問題。

1.方法策略多“見面”。

測量計算的方法很多，要讓學生能合理靈活地運用。我們要給學生接觸見面的機會，學生有過練習的經驗，才能在下次的情境中合理選擇。常用的方法策略有如下幾種：

2.方法策略多選擇。

在復習課上，為了保證學生思維的流暢性、靈活性和變通性，使學生能夠創造性地解決問題，應設計一些在解題策略上有多種選擇，方法多樣的創造性的復習題。一位教師在教學五年級“平面圖形的面積”復習課時，出示下圖：在長10米，寬8米的長方形綠化區里有一些寬1米的小路，草地的面積是多少?

第一種解法：四塊草地的面積：3×3=9（平方米），6×3=18（平方米），4×5=20（平方米），4×4=16（平方米）；草地總面積：9+18+20+16=63（平方米）。

第二種解法：綠化區的總面積:10×8=80（平方米）；小路的面積：1×10+1×3+1×4=17（平方米）；草地總面積：80-17=63（平方米）。

第三種解法（10-1）×（8-1）=63（平方米）。

顯然，第三種解法學生在頭腦中做了平移的動作，解法明顯簡單多了。

又如下題：

解法一：先求出四個三角形的面積，再求出大長方形的面積，然后用長方形的面積減去四個三角形的面積和，至少要6步。

解法二：連接HF，就成了兩個三角形，只要將三角形HEF與三角形HFG的面積相加就好了。

解法三：有同學列出算式“10×12÷2”，你有辦法說明理由嗎？

顯然三個解法一個比一個簡單，一個比一個更吸引學生，這樣的復習題設計留給學生創造力得以發揮的天地，并在教學中注意發現學生創造性思維的火花。學生只有在這樣的情境下，積極思考，尋求最優方法才成了現實；學生在這樣的情境下不由自主地感受到努力思考后帶來的好處，這樣才能激發學生自覺地積極思考。經常這樣訓練一定能達成培養學生創新意識的目標。

總之，我們應創設一種適合學生的復習需要，激起學生往下探究的欲望，幫助學生主動梳理，發展思維，培養空間觀念。在引領學生掌握復習方法的同時，進一步體驗數學的內在聯系和應用價值。