提升核心素養 把握教學本質

陳靜

摘 要 《雙曲線的標準方程》引入的課堂實錄及其教學反思。

關鍵詞 雙曲線；標準方程；核心素養

中圖分類號：TH132.415 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2018）25-0202-01

本課的授課班級為四星普通高中文科班，學生運算能力較差，缺乏良好的學習習慣，有較強的可塑性。學生已經了解了橢圓的定義、幾何性質，雙曲線定義等一系列的知識，有一定的抽象概括能力，本課采用類比法，引導學生合作交流，自主探究雙曲線標準方程，強化學生求解曲線方程的方法；體現學生主體意識，培養學生的觀察、歸納、概括、數形結合及數學抽象、數學建模、數據處理的素養。

一、引入

已知A、B兩地相距800m，一炮彈在某處爆炸，在A處聽到爆炸聲的時間與在B處聽到爆炸聲的時間的差的絕對值2s，設聲速為340m/s，問：（1）爆炸點在什么曲線上？（2）求這條曲線的方程。

學生分析思路：假設爆炸處是P點，由題意知

教師提問：符合題意的P點是否只有一個？學生思考后，回答不止一個，有無數個；教師引導，動點P除了滿足 ，還滿足什么條件嗎？學生思考后回答：滿足 ；教師提問，P、A、B三點在同一平面內嗎？如果在，滿足以上條件的P點在什么曲線上呢？學生思考后，給出答案：在同一平面內，P點滿足雙曲線定義，所以P點在雙曲線上。師生共同回顧雙曲線定義。

設計意圖：這是一個數學建模的過程，一方面是為了讓學生體會雙曲線及其標準方程在解決實際問題中的重要性，另一方面是培養學生在實際情境中發現問題、提出問題；針對問題建立數學模型；能夠運用數學知識求解模型，從而提升應用能力。

解決了第一個問題后，第（2）個問題轉化為求雙曲線的方程，教師提問，橢圓有標準方程，雙曲線有沒有標準方程呢？能否類比橢圓標準方程，求解雙曲線的方程？學生復習求曲線方程的方法：軌跡法，步驟：第一步，建系；第二步，設動點；第三步，列等式；第四步，代入坐標；第五步，化簡。

設計意圖：通過復習，學生自主尋求方法，為進一步提升學生的核心素養做準備。

二、雙曲線標準方程推導

學生活動1：類比橢圓標準方程的推導過程，學生分組自行展開推導。

設計意圖：數學運算是數學活動的基本形式，有效提高學生數學運算能力、借助運算方法解決實際問題、通過運算促進數學思維發展，是本環節主要意圖。

學生活動2：學生運算能力有限，大部分學生推導存在困難，教師借助軟件GGB的功能，由橢圓與標準方程的對應關系，探究得到焦點為F（-C，0）、F（C，0）的雙曲線方程，再通過運算確定雙曲線的方程，并指出方程與圖像間的對應關系。

設計意圖：數學抽象能力的培養，需要學生積累從具體到抽象的活動經驗，把握事物的數學本質，逐漸養成一般性思考問題的習慣。前一環節雖然提供了雙曲線方程的推導方法，但因學生能力的局限性，對推導的方向不明確，本環節采用倒置的方法，讓學生從具體的雙曲線方程中，先猜想雙曲線方程的一般情況，然后再推導證明，既培養了學生的數學抽象能力，又解決了問題。

在解決了焦點為F（-C，0）、F（C，0）的雙曲線方程后，類比橢圓標準方程得到焦點為F（0，-C）、F（0，C）的雙曲線方程，教師明確提出，這兩種建系下得到的雙曲線方程為雙曲線的標準方程。

三、解決引例

學生為主題，教師輔助，完成引例。

設計意圖：數學模型構建了數學與外部世界的橋梁，是數學應用的重要形式，也是應用數學解決實際問題的基本手段。本環節學生運用新學的數學知識求解模型，從而提升應用能力。

教學反思：

（1）發揮引例的作用。課堂引入是課堂教學最基本最重要的環節，合理有效的課堂引入能迅速將學生的注意力轉移到課堂上來，保障課堂教學的質量和效率，本課的引例的一個作用是凸顯雙曲線在實際問題中的應用，但也增加了數學建模的過程，對于本班學生來說，數學建模本身就是一個難點，在建模的處理上給學生思考的時間不夠，一碗濃湯總是要慢燉的，快了達不到預期效果。

（2）明確引例的目的。引例最直接的目標是提出問題，引導學生思考雙曲線標準方程的存在性、必要性，深層次的目標是數學核心素養的培養，數學核心素養是一個高度抽象的思維產物，它是高于數學知識的思維方法。他的培養不能脫離具體的數學知識與方法，需要在數學知識的學習過程中，數學思想方法的掌握過程中，通過逐步積累、領悟、內省形成，這就是說，學生數學核心素養的培養和提升離不開教師的合理引導，教師給學生“教什么？怎么教？”很大程度上影響著學生將來具備怎樣的數學素養。對于絕大多數學生，數學能力的形成與數學核心素養的提升主要依賴于數學課堂，或者源于數學課堂，只有在數學課堂中多關注“數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析”等方面的問題，引導學生多去思考數學，體驗數學，才能使數學核心素養得以有效體現與落實。本課引例部分通過學生建模等一系列活動，培養和提升學生的數學核心素養，但因擔心學生的能力問題，方程推導不敢全面放手，同時整體格局也有局限，在雙曲線標準方程出來后，可以進行拓展，用類比法可以得到雙曲線的標準方程，那么拋物線呢？圓錐曲線以外的曲線呢？

參考文獻：

[1]淺談數學核心素養及其在課堂教學中的落實.lijing1002070的博客.