立體幾何復習要點例析*

●　　(三山高級中學，浙江 慈溪　315300)　●　　(慈溪市教育局教研室，浙江 慈溪　315300)

1　知識內容

《浙江考試》2018年第1期公布了“2018年浙江省普通高考考試說明(數學)”，明確2018年高考必考科目數學考試說明內容與2017年相同.關于立體幾何與空間向量部分，建議關注以下內容與要求：

1)理解柱、錐、臺、球的結構特征，會計算柱、錐、臺、球的表面積和體積；

2)掌握三視圖所表示的空間幾何體，會用斜二測法畫出它們的直觀圖；

3)理解空間點、直線、平面位置關系的定義，掌握4個公理、1個定理；

4)理解空間線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直的判定定理與性質定理；

5)理解直線與平面所成角的概念，了解二面角及其平面角的概念；

6)了解空間直角坐標系，會用空間直角坐標表示點的位置，了解空間距離、夾角公式、平面法向量、方向向量；

7)了解求兩直線夾角、直線與平面所成角、二面角的向量求法．

2　命題分析

回顧近4年的浙江省數學高考試題，有關立體幾何與空間向量的試題分布如下：

2014年考查了3道題共24分：其中一道選擇題5分(考查三視圖求表面積)、一道填空題4分(考查求線面角)、一道解答題15分(考查線面垂直和二面角的平面角)；

2015年考查了4道題共29分：其中兩道選擇題均為5分(分別考查三視圖求體積、翻折問題和二面角的平面角)、一道填空題4分(考查線線角)、一道解答題15分(考查線面垂直和二面角的平面角)；

2016年考查了4道題共30分：其中一道選擇題5分(考查位置關系)、兩道填空題分別為6分(考查三視圖求體積和表面積)和4分(考查四面體的體積最大值)、一道解答題15分(考查線面垂直和二面角的平面角)；

2017年考查了3道題共23分：其中兩道選擇題均為4分(分別考查三視圖求體積、二面角的平面角大小比較)、一道解答題15分(考查線面平行和線面角)．

2018年預測會有3～4個試題，分值在25分左右：選擇題、填空題主要涉及空間點、直線、平面位置關系的判斷，結合三視圖求體積、表面積(可結合數學文化)，簡單的空間角計算(兩直線夾角、直線與平面所成角、二面角的平面角)，翻折問題，動態(tài)軌跡問題；解答題主要考查在空間幾何體(特別是組合體)中直線與平面、平面與平面的位置關系(平行和垂直)及空間角(主要是線面角)的計算．

3　典例剖析

考點1空間點、直線、平面位置關系的判斷.

例11)設l為直線，α,β是兩個不同的平面，下列命題中正確的是

()

A．若α⊥β，l∥α，則l⊥β

B．若l∥α，l∥β，則α∥β

C．若l⊥α，l∥β，則α∥β

D．若l⊥α，l⊥β，則α∥β

(浙江省湖州、衢州、麗水三地市2018年1月高三數學期末試題第3題)

2)已知α,β是兩個不同的平面，直線l?α，則“l(fā)⊥β”是“α⊥β”的

()

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件

(浙江省嵊州市2017學年第一學期高三數學期末試題第5題)

分析1)答案為D．選項A中l(wèi)⊥β，l?β，l∥β,l與β斜交均有可能；選項B中α∥β，α與β相交均有可能；選項C中α∥β錯誤，應為α⊥β；選項D正確．也可以直接用結論“和同一直線垂直的兩個不重合平面平行”得到．

評注空間點、直線、平面的位置關系考查是命題者比較關注的一個方向，往往以選擇題形式出現(xiàn)，若干個命題組合進行真假判斷或者結合充要條件考查，屬于容易題，可以“證明結論正確”與“舉反例否定(畫草圖排除)”相結合來解決.復習沖刺查漏補缺時要關注概念、定理的準確性，比如線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直的判定定理和性質定理，記憶要求清楚，特別是條件的增刪，會影響結論的正確性．

考點2三視圖與體積、表面積.

例21)《九章算術》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”，已知某“塹堵”的三視圖如圖1所示，俯視圖中虛線平分矩形的面積，則該“塹堵”的側面積為

()

(浙江省上虞市2017學年第一學期高三數學期末試題第5題)

圖1　　　圖2

2)某幾何體的三視圖如圖2所示(單位：cm)，則該幾何體的表面積(單位：cm2)是

()

(浙江省嘉興市2017學年第一學期高三數學期末試題第6題)

分析1)根據題意，結合三視圖可以判斷該“塹堵”是直三棱柱(如圖3)，△ABC的周長為

故選C.

圖3　　　圖4

2)根據三視圖可以判斷該幾何體由上、下兩部分組成(如圖4)，其中上半部分為正方體，下半部分為正四棱臺，正方體中5個面的面積之和為

S1=5×(2×2)=20,

正四棱臺的下底面面積為S2=16 cm2，正四棱臺的側面積為

因此，該幾何體的表面積為

故選B．

評注根據三視圖求體積、表面積每年必考，以選擇題或者填空題的形式考查，命題方向可以以數學文化、組合體為載體，或以棱柱、棱錐中的某一部分(幾何體殘缺)為載體，考查三視圖的知識和幾何體的體積、表面積計算，試題難度有容易也有中等，關鍵是能夠對給出的三視圖進行恰當的分析，從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關系及數量關系．對幾何體殘缺的還原，一般方法是從俯視圖出發(fā)，結合正視圖、側視圖來還原，特殊情況需構造正方體(或長方體)，使所求的幾何體為正方體(或長方體)的一部分.教師在平時講評三視圖題目時，建議學生加強識圖訓練，多動手畫畫．

考點3簡單的空間角計算.

例31)如圖5，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，D,E分別是BC,AB的中點，AB≠AC，且AC>AD．設PC與DE所成角為α，PD與平面ABC所成角為β，二面角P-BC-A為γ，則

()

A．α<β<γB．α<γ<β

C．β<α<γD.γ<β<α

(2017學年浙江省杭州市第一次高考科目教學質量檢測數學試題第8題)

圖5　　　圖6

()

A．α>γ>βB．γ>β>α

C．γ>α>βD．β>α>γ

(金華十校2018屆第一學期高三數學期末試題第9題)

即

tanγ>tanβ>tanα，

亦即

γ>β>α.

故選A.

2)如圖7，記AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，聯(lián)結OB1,OE，易知AC⊥平面BDD1B1.作FH⊥平面BDD1B1，則點H在OO1上；作HM⊥OB1于點M,聯(lián)結FM；作HN⊥OE于點N,聯(lián)結FN,易得

FM⊥OB1,FN⊥OE,FO1⊥B1D1,

從而

∠FMH=α,∠FNH=β,∠FO1H=γ，

圖7　　　圖8

在圖8中不難發(fā)現(xiàn)HN

即

tanβ>tanα>tanγ，

亦即

β>α>γ.

故選D.

評注立體幾何中角的大小比較問題，有多種解法，常見的是直接法，即利用“作證算”，結合空間問題平面化的技巧，計算簡單的空間角(兩直線夾角、直線與平面所成角、二面角的平面角).第2)小題亦可以用極端思想簡化問題，快捷、正確：當點F無限接近點A時，容易發(fā)現(xiàn)γ最小，直接排除選項A,B,C.

考點4動態(tài)問題.

(浙江省嘉興市2017年3月高三年級教學質量檢測數學試題第17題)

圖9　　　圖10

(浙江省臺州市2017年高三年級第一次調考數學試題第17題)

分析1)如圖11，取CD的中點H，聯(lián)結AH，BH,易知∠AHB為二面角A-CD-B的平面角，于是

圖11　　　圖12

(1)

代入式(1)得到

即

故|L|表示周長，值為π.

評注動態(tài)的立體幾何問題包括變量取值范圍、軌跡、不變性、存在性等問題.解決此類問題需要靈活運用有關知識，建立一些數學模型，進行推理、論證及代數運算.可以從幾何角度入手，也可以從建系入手，要善于挖掘問題所隱藏的數學模型，然后解決問題，如發(fā)現(xiàn)軌跡是圓、圓錐曲線、圓錐等，可以利用它們的性質進行解答.關注經典結論，如最小角定理(斜線與平面所成的角是斜線與平面內所有直線所成角中的最小角)應用.

考點5翻折問題.

例51)如圖13，點E是正方形ABCD邊CD上的一點(不包括端點)，將△DAE沿AE折起得到△D′AE，且平面D′AE與平面ABCE異面.記二面角D′-AE-B的平面角為α，CD′與平面ABC所成角為β,則在D′的運動過程中，使得|tanα|=2tanβ成立的不同β有

()

A．0個或1個B．1個或2個

C．0個或2個D．0個或1個或2個

(浙江省諸暨市2016學年第一學期高三數學期末試題第10題)

圖13

(浙江省寧波市2017學年第一學期高三數學期末試題第17題)

圖14　　　圖15

當點P,M,Q共線且PQ⊥平面BGHC時,等號成立.故所求最小值為1．

評注翻折問題是將一個平面圖形通過翻折變成空間幾何體.平面圖形在翻折過程中，抓住折疊過程中變與不變的幾何量:某些幾何量(長度、角度等)保持不變，或某些幾何性質或位置關系(垂直關系等)不變，這些定值、定性問題是翻折前后立體幾何中的重要問題.一般翻折后仍在同一平面內的相關幾何量的位置及大小不變，在解決立體幾何問題時仍然是將立體幾何問題轉化為平面幾何問題，在限時應試中，我們要利用選擇題、填空題的特點來解題，即“小題小做”.

考點6解答題中的證明與計算問題.

例6如圖16，四棱錐S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，AB=2，BC=CD=SD=1，側面SAB為等邊三角形.

1)證明：AB⊥SD；

2)求直線SC與平面SAB所成角的正弦值.

(金華十校2018屆第一學期高三期末調研數學試題第19題)

圖16　　　圖17

評注高考立體幾何解答題一般分兩個小題.過去分文理科的時候，關于空間角的計算，理科考查二面角的平面角，文科考查線面角;現(xiàn)在文理不分后，考查線面角的概率很高.建議立體幾何解答題復習做好以下3點：1)在復習時空間幾何體的類型要豐富，要多樣化.2)第1)小題主要是平行與垂直的證明，對于平行問題盡量用傳統(tǒng)法，對于垂直問題既可以用傳統(tǒng)法，也可以轉化為線線垂直后利用數量積為0.在答題書寫時要特別突出平行和垂直的轉化思想.3)對于第2)小題的解答用向量法比較熟練，但要注意合理的建系，寫好關鍵點坐標，并與傳統(tǒng)法的結合，加強分析從而達到減少計算、提高計算準確率的目的.

4　精題集萃

1．“直線l與平面α內的兩條直線都垂直”是“直線l與平面α垂直”的

()

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件

(2016年12月浙江省考試院數學測試卷第3題)

2．如圖18，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E,F分別是棱AA1,CC1的中點，過EF的平面與棱BB1,DD1分別交于點G,H.設BG=x，其中x∈[0,1]．

①四邊形EGFH一定是菱形；

②AC∥平面EGFH；

③四邊形EGFH的面積S=f(x)在區(qū)間[0,1]上具有單調性；

④四棱錐A-EGFH的體積為定值.

以上結論正確的個數是

()

A．4B．3C．2D．1

(浙江省嘉興市2017學年第一學期高三期末數學檢測試題第10題)

圖18　　　圖19

3．如圖19，已知正四面體A-BCD，P是棱CD上的動點.設CP=tCD(其中t∈(0,1))，分別記AP與BC，BD所成角為α，β,則

()

A．α≥βB．α≤β

(浙江省嵊州市2017學年第一學期高三數學期末試題第9題)

4．已知在四面體SABC中，二面角B-SA-C，A-SB-C，A-SC-B的平面角的大小分別為α,β,γ，則

()

C．π<α+β+γ<3π

D．2π<α+β+γ<3π

(浙江省紹興市柯橋區(qū)2018屆高三上學期數學期末試題第10題)

5．如圖20，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P,Q分別為BD1,BB1上的動點，則△C1PQ周長的最小值為

()

(浙江省名校協(xié)作體2017學年第二學期高三數學聯(lián)考試題第9題)

圖20 　　圖21

6．某幾何體的三視圖如圖21所示(單位：cm)，則該幾何體的體積是______cm3，表面積是______cm2．

(2017年4月湖州、衢州、麗水三地市高三教學質量檢測數學試題第13題)

7．圖22是某三棱錐的三視圖，則該三棱錐的體積為______，表面積為______．

(2017學年浙江省杭州市第一次高考科目教學質量檢測數學試題第14題)

圖22　　　圖23

(浙江省臺州市2017學年第一學期高三數學期末試題第17題)

參考答案

1．B2．B3．D4．C5．B