定積分與不定積分第二類換元法不同形式的比較研究

（常州劉國鈞高等職業技術學校 江蘇 常州 213000）

0.引言

換元法作為積分學學科教學中的重要內容之一，對學生進行數學解題有著極為重要的幫助，如何幫助學生掌握定積分與不定積分換元法在數學解題中的應用已經成為高等數學學科的關鍵課題。特別是第二類換元法，在積分學與高等數學中的應用十分廣泛，更是學生學好積分學的基礎內容。但由于一元函數積分學的求解過程較為復雜，學生對定積分與不定積分的第二類換元法的區別與聯系理解不夠深入，這就使學生在求解一元函數積分問題時難以入手。其實，一元函數積分學的本質主要在于對兩個問題進行解決，其一是在某個函數已知的基礎上對原函數問題進行求解；其二便是對定積分進行計算。而換元法，特別是第二類換元法更是對這兩個問題進行高效解決的重要方法。為此，本文便對定積分與不定積分在第二類換元法的表述進行探討。

1.換元法在數學解題中的重要意義

換元法是高等數學與微積極學科中的一種非常重要的數學方法，它能夠將原本非常復雜的問題進行轉化，使其能夠轉換為較為簡單的問題來進行解決。在對分式方程、高次方程、無理方程的解題過程中都能應用到換元法，它的關鍵之處在于能夠將數學方程中的某種表達形式中的相同部分作為一個整體來進行表示，并利用一種全新的字母來對其進行表示，從而實現對復雜數學方程的簡化，將原有復雜的數學方程轉化為能夠進行解決的較為簡單的一元一次方程或是一元二次方程，從而達到解決數學問題的目的。此外，換元法還能夠對某些不等式問題進行有效的解決，并且解決過程較為簡便。換元法的核心之處在于設元，人們在對換元法進行實際應用時，需要考驗多種意識，如縝密意識、結構意識、目標意識、層次意識、對稱意識等，這些意識的強弱直接關系到換元法的應用程度，通過對這些意識的良好形成，能夠極大提高換元法的解題能力。換元法的本質在于轉換，它能夠實現將高次轉化成低次、將超越式轉化成代數式、將無理式轉化成有理式，這使其在函數、三角、不等式、數列等數學問題中得到了非常廣泛的應用。換元法主要有兩種形式，分別為第一類換元法和第二類換元法，第一類換元法相比于第二類換元法，在目的上都是相同的，它們都是將數學中的變量進行轉換與替代，從而使原積分進行轉化，從而形成最基本的積分公式，或是較為簡單的積分。當然，第一類換元法與第二類換元法也有不同之處，首先，第一類換元法中的m=φ(t)是分離的，而第二類換元法則是一開始就被選中的。其次，第一類換元法對m=φ(t)無限制，而第二類則要求m=φ(t)具備單值反函數。最后，第一類換元法中的m=φ(t)是自變量，而第二類換元法中m=φ(t)的是因變量。本文便重點探討了定積分與不定積分的第二類換元法不同形式的區別。

2.定積分與不定積分的第二類換元法研究

2.1 定積分的第二類換元法

在定積分公式中，第二類換元法的表述如下：假設區間[a,b]中有g(m)連續，在區間[α，β]中 m=φ(t)存在連續導數，該連續導數的值域屬于區間[a,b]中，并且能夠符合 φ(β)=b 與 φ(α)=a，則第二類換元法為，當區間[a,b]中 φt的值域大于其區間范圍時，該定理仍舊在一定程度上成立。這是因為只要被積函數g(m)的連續范圍中包括 m=φ(t)的值域，同時能夠符合 φ(β)=b 和 φ(α)=a 這兩個條件，則該定理仍舊能夠成立。

2.2 不定積分的第二類換元法

在不定積分中，第二類換元法的表述如下：假設m=φ(t)是一種具備可推導性、單調性特征的函數，并且存在φt(t)≠0這一條件時，并對g[φ(t)]φt(t)的取值進行假設，使其具有原函數，則第二類換元法的推導公式為 ∫g(m)dm=?∫g[φ(t)]φt(t)dt」t=φ-1(m)，在該推導公式中，函數 m=φ(t)中的反函數即為φ-1(m)，根據換元法能夠對其進一步推導，從而使其推導為 ∫g(m)dmm-φ(t)=∫g[φ(t)]φt(t)dt=C+G(t)=C+G(φ-1(m))。

3.定積分與不定積分第二類換元法不同形式的比較研究

3.1 定積分與不定積分在第二類換元法中過程的比較

定積分與不定積分是積分學科教學中的基礎部分，其重要性可以說是不言而喻的，它們在許多方面有很多相同之處，尤其是牛頓-萊布尼茲公式將定積分與不定積分進行了某種程度的聯系，這使定積分與不定積分在進行數學解題過程中都能夠使用換元積分法，而其中尤以第二類換元法，即變量置換法中存在很多共通之處。在不定積分采用第二類換元法進行解題的最后環節，需要對m=φ(t)進行變換，同時還要對t=φ-1(m)進行逆變換，以此實現對變量m的還原。因此在對m=φ(t)進行變換時，必須要確保公式中具備能夠逆變換的條件，即t=φ-1(m)，而這就使我們能夠了解到m=φ(t)需要具備一個前提，即其必須在所在的區間中具備單調性特征，并且要確保對函數進行還原時，其所推導出的函數G(φ-1(m))要確保是可微的。因此，這就需要函數φ(m)的反函數中的導數?φt(m)」是成立的，所以，m=φ(t)的導數要確保在其所在區間中不能與零相同，也就是φt(t)≠0。綜上所述，在對不定積分采用第二類換元法進行變換時，m=φ(t)代表m的取值在t的某一區間中是具備可微性、單調性、導數連續性的，并且要同時滿足φt(t)≠0才行。而定積分的第二類換元法則在對m=φ(t)進行變換時不對其所在區間中的m取值單調性進行要求，之所以不對其單調性進行要求，其原因在于利用換元法對新變量的積分上限、下限及補積函數進行推導出后，直接便能夠求得相應的定積分，而不定積分相比于定積分來說，則要在計算的最后環節中還要對變量進行還原。

3.2 定積分與不定積分在第二類換元法中公式技巧的比較

定積分在第二類換元法中，可以實現左右兩端的互相推導，即既可以從左端向右端進行推導，也可以從右端向左端進行推導，而不定積分的第二類換元法則不然，它只能從左端向右端進行推導，但從右端向左端進行推導時所采用的方法卻是第一類換元法，也就是湊微分法。舉例說明這兩者的不同。例如，對定積分進行求解，在進行解題時，需要對該定積分進行變形，變形過程為，在變形以后，設定cosm=t，之所以這樣設定，是因為當時t的值為0，而當m=0時則t的值為1。因此可以推導出。需要注意的是如果該定積分公式中并沒有對新變量進行明顯寫出，則該定積分的取值所設定的上下限也應盡量不要變更。并且，還需要注意不能將該積分推導為，因為這樣做會使結果產生重大錯誤。此外，還需要注意第二類換元法中的[α,β]值域中的上下限必須要與原有定積分中的[a,b]值域的上下限進行相互對應，不需要對α與β的大小進行考慮。也就是說在對定積分采用第二類換元法進行換元的同時，必須要對上下限進行替換，并且要確保上下限是呈對應關系的。而不定積分的第二類換元法來說，與定積分相比則根本不存在積分限的問題。

3.3 定積分與不定積分在第二類換元法中必要條件的比較

在定積分的第二類換元法中，教材對替換函數的單調性約定為單值函數，這說明t值無論是哪個，都有與其相對應的唯一的m值，而這也正是定積分在第二類換元法中的必要條件。舉例說明，對定積分采用第二類換元法進行計算，在進行換元時如果將其函數替換為m2=t，并且當m取值為-1時，t的取值為1，當m的取值為1時，則t的取值為1,通過這樣的計算，其結果必須是不正確的，之所以會不正確，正是因為其替換函數不是單值函數，也就是m2≠1。相比于定積分在第二類換元法中的必要條件，不定積分在第二類換元法中，所采用的必要條件與定積分相同，也就是說，不定積分的第二類換元法對替換函數的單調性也必須是單值函數。

3.4 定積分的第二類換元法的兩種計算方法

定積分的第二類換元法具備兩種計算方法，這是因為Newton-Leibniz公式能夠根據原函數來對定積分進行更加便捷的計算。這也使其能夠通過第二類換元法來對積分進行兩種形式的計算。舉例說明，例如對定積分采用第二類換元法進行計算，則第一種計算方法是將該定積分中的原函數進行求出，然后設定m=sint，則可以得出dm=cosmdm,然后將其進行推導，從而得出，因此，可以計算出的定積分為。第二種計算方法是將m=sint進行設定，則可以計算出dm=costdt，設定當m取值為0時，則t的取值為0，當m的取值為1時，則t的取值為。并且能夠對定理條件進行滿足，由此可以計算出。從以上兩種計算方法可以看出，無疑第二種計算方法最為簡便，它省略了將新變量進行換回的過程，這也使其相比于不定積分的第二類換元法來說，計算要更加便捷。

4.結語

總而言之，牛頓-萊布尼茲公式實現了定積分與不定積分的內部聯系，這也使定積分與不定積分都能夠利用第二類換元法來對數學問題進行解決，從而極大提高了數學解題效率，推動了微積分學科的發展。而第二類換元法相比于第一類換元法來說，它更是第一類換元法的一種延伸與擴展，這也使其在數學解題過程中得以廣泛的應用。