起點低　立意新　蘊意深*
——2017年江蘇省南京市數學中考題第22題評析

●　　　(東廬初級中學,江蘇 南京　211200)

2017年江蘇省南京市數學中考題第22題的尺規作圖，可謂考法新穎.一般尺規作圖的考法是預先給出一些條件，按要求作出具備這些條件的圖形.而本題讓學生通過尺規作圖判斷一個角是否為直角，并用文字說明，這其中滲透了圖形語言、文字語言、符號語言的相互切換.試題要求用兩種不同的方法，具有創新性，意在通過一題打通幾何各板塊的知識，需要學生的深度思考，以及在平時的解題過程中，注重經驗的積累．

1　試題的呈現及參考答案

1.1試題的呈現

題目“直角”在初中幾何學習中無處不在.如圖1，已知∠AOB，請仿照小麗的方式，再用兩種不同的方法判斷∠AOB是否為直角(僅限用直尺和圓規).

圖1　　　圖2

小麗的方法：如圖2，在OA,OB上分別取點C,D，以C為圓心、CD長為半徑畫弧，交OB的反向延長線于點E，若OE=OD，則∠AOB=90°.

(2017年江蘇省南京市數學中考試題第22題)

1.2試題的參考答案

方法1如圖3，在射線OA，OB上分別截取OC=4，OD=3，若CD=5，則∠AOB=90°．

圖3　　　圖4

方法2如圖4，在射線OA,OB上分別取點C，D,以CD為直徑畫圓.若點O在圓上，則∠AOB=90°．

分析方法1是根據勾股定理作圖，方法2是根據直徑所對的圓周角為直角作圖．

2　特色解讀

2.1起點低，通俗易懂

命題的起點是直角，而直角在初中幾何中無處不在，這種低起點的命題，讓每一個考生都有一種熟悉感．本題同時給出了一種示例(小麗的方法)，讓學生可以參照示例展開思維，給學生以思維的啟迪．命題者給出示例，無疑是想給學生搭設臺階，讓學生拾級而上.示例讓本題更通俗易懂，而不是一開始就置學生于死局，讓學生覺得“跳一跳可以夠得到”，因此本題無疑是一道起點低、人人能讀懂的好題．這種命題正切合了《義務教育數學課程標準(2011年版)》(以下簡稱《課標》)提出的培養目標，要面向全體學生，適應學生的個性發展需要，使得：人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展．

2.2立意新，體現公平

“直角在初中幾何學習中無處不在”以此命題，這對所有的考生都是公平的.在初中的幾何學習中，直角就像空氣，存在于幾何學習的任何一個角落.對于尺規作圖，常規的試題均是給出要求，讓學生按要求用尺規作出相應的圖形.本題一反常態地設置了一道開放性習題，而開放性試題一般在幾何證明題中出現頻率比較高，在尺規作圖中出現開放性試題，可謂立意新穎．本題區別于以往的試題，不是直接讓學生作出直角，而是重在考查學生是否會思考，能否思考得到利用直角來解決的相關途徑，這才是本題的核心所在.而這一環節正是解決此題的一個建模過程，在作圖題中考查建模思想方法，可謂讓人耳目一新．

對于這種題型，可能需要學生在草稿紙上先構思草圖，這也考查學生作草圖的能力，再依據草圖，思考如何依據草圖完成尺規作圖，以達到本題的預期結果.本題考查的方式亦新穎別致，給出一個角，通過尺規作圖來判斷此角是直角．也就是說用尺規完成基本作圖，在完成作圖后還滲透了對幾何推理以及數學思想方法的考查，如方法1就是利用勾股定理來構造直角，而勾股定理正是數形結合思想方法的典例．試題把基本作圖與相關推理、數學建模、數學思想方法相融合，所呈現的立意令人眼前一亮，更是無形中滲透了數學學科核心素養中的邏輯推理、數學建模能力．

2.3蘊意深，鼓勵創新

試題讓考生給出兩種不同的方法，給學生留下了很大的創新空間.由于每一位考生的思維不一樣，每一位考生都用自己擅長的知識來解決此題，因此設置此題，鼓勵了學生的創造性.美國科學家貝爾曾說過：“創新有時需要離開常走的大道，潛入森林，你就肯定會發現前所未見的東西.”解題需要創新，這樣才能培養學生的創新思維．由于開放性的設計，學生所用的方法涵蓋了《課標》中有關尺規作圖的大部分內容．正是這種開放性，鼓勵了學生自己獨立思考，學會思考，這樣學生才有創新的空間，才能點燃思維的火花.因為題目要求給出兩種不同的方法，學生在給出解答的過程中，勢必要構思解決問題的途徑及策略，在尋找途徑的過程中，就蘊含運用不同的思想方法、不同的建模過程以及對應不同的推理過程，這里所有的不同，均體現了創新，意在鼓勵學生的創造性思維．本題除了參考答案的兩種方法，還有以下5種不同的方法：

圖5　　　圖6

方法4如圖6，在射線OB上任取一點C，作線段OC的垂直平分線EF，交射線OB于點D；作∠HOB=∠EDB，若射線OH與射線OA重合，則∠AOB=90°．

方法5如圖7，以點O為圓心、以任意長為半徑畫弧交射線OB于點E；再以O為圓心、以任意長為半徑畫弧交射線OA于點F；作線段EF的垂直平分線MN，交線段EF于點H；聯結OH，若OH=FH=EH，則∠AOB=90°．

圖7　　　圖8

方法6如圖8，在∠AOB內，任意作一條射線OC；作∠EOA=∠AOC，∠FOB=∠BOC，若點E,O,F在同一直線上，則∠AOB=90°．

圖9

方法7如圖9，在射線OA上任取一點C，以點C為圓心、以OC的長為半徑畫圓，若射線OB與⊙C相切于點O，則∠AOB=90°．

還有許多方法，限于篇幅，不再贅述.

3　試題對教學的啟示

3.1重深度思考，培養學生思維的深廣度

《課標》指出：數學教學活動應激發學生的興趣，調動學生的積極性，引發學生的數學思考，鼓勵學生的創造性思維；要注重培養學生良好的數學學習習慣，讓學生掌握恰當的數學學習方法．它指出：能夠運用尺規作圖完成基本作圖；能用基本作圖完成部分與三角形、圓有關的作圖；了解作圖的原理等內容．是的，我們的教學肯定不能只停留在知識和技能上，更應該教會學生學會“數學思考”，讓知識變得透徹，讓思維得以延續，讓數學本質得以挖掘，啟發學生學會數學思考[1]．

本題雖是一道作圖題，卻涵蓋了初中階段的大部分尺規作圖，試題的開放性，更是注重學生的思考，符合課標提出的要求．波利亞曾說:“掌握數學就意味著善于解題，不僅善于解一些標準的題，而且善于解一些要求獨立思考、思路合理、見解獨到和有發明創造的題．”[2]解決本題的關鍵是通過何種途徑作出直角，學生思考的角度可以是：勾股定理；直徑所對的圓周角是直角；作垂直平分線；過一點作已知直線的垂線；如果一個三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形；鄰補角的兩條角平分線構成一個直角；圓的切線垂直于過切點的半徑等．只有學生深度思考如何作出直角，才能突破本題.這些方法的出現，正是體現了數學學科核心素養中的數學建模能力，并在建模過程中培養了學生思維的深度和廣度．

本題對教學的啟示是：教師在教學過程中，不應該就題講題，而應該在講解習題時，將習題拓展開來，注重一題多解，把與例題相關的知識匯成知識網．一題多解，更是引發學生思考，培養學生的思維，使知識交互錯織．教學中，教師除了課堂上自己引導學生思考題目是否有其他方法外，也要讓學生在解題時自己進行思考是否有其他的方法，經常進行這樣的訓練，久而久之學生就能養成多角度思考問題的習慣，學生的思維也在無形中得到提升．這樣學生遇到新問題時，才會啟動思維，思考更多的解決問題的途徑，甚至當其中一條途徑走不通的時候，亦可快速轉到另一條途徑，而不是鉆進死胡同、束手無策．

3.2重經驗積累，培養學生的應用意識

《課標》指出：數學活動經驗是提高學生數學素養的重要標志．幫助學生積累數學活動經驗是數學教學的重要目標，是學生不斷經歷、體驗各種數學活動過程的結果．數學活動經驗需要在“做”的過程和“思考”的過程中積淀，是數學學習活動過程中逐步積累的．

積累基本的數學活動經驗是《新課標》增加的一項目標，這就要求教師在平時的教學中要注重過程的探究，注重知識的發生、發展過程，學生才能在遇到陌生的題目時，靈活運用已經積累的數學活動經驗，將題目剖析到位，從而培養學生的應用意識．本題中的方法5、方法6其實是平時做題中的經驗總結，把平時做過的題目中得到的結論靈活運用到新的試題中，這正體現了學生的應用意識．

本道中考題給教學的另一個啟示是：教師在平時的教學中，應教會學生如何分析題目，而不是直接告訴題目答案．這種分析題目的過程，尋求解決問題的途徑，亦是一種數學活動經驗的總結，同時在解題之后，應引導學生及時總結題目所蘊含的結論以及所涉及的思想方法，以便靈活運用到其他的試題中．平時教學中更要注意加強知識的縱橫聯系，幫助學生構建合理的知識結構與知識系統，提高學生在新問題情境下準確把握核心知識、形成解題決策的能力[3]．這就要求教師在講解習題的過程中，應多問幾個“為什么”，多設幾個探究活動，注意知識的“生長點”“延伸點”，每一道題應盡可能地讓學生思考不同的方法，為的是將知識置于整個知識體系中，讓學生經歷知識的發生發展過程，積累數學活動經驗，再用積累的數學活動經驗解決陌生的題目，從而提高運用已有經驗解決新問題的能力，培養應用意識．也就是說，只有當數學活動經驗積累豐富時，才能在做新題時，厚積而薄發，學生的應用意識也在無形中得到提高．

總之，本題起點低，立意新，蘊意深，注重學生各方面能力的考查以及平時的數學活動經驗的積累，是一道難得的好題.教師在平時的教學中，應注重引發學生進行深度思考，幫助學生積累更多的數學活動經驗．

[1]葉曉武．挖掘教材超越教材——由一道學考題引發的教學思考[J]．中學教研(數學)，2016(4):10-13．

[2]波利亞．怎樣解題[M]．涂泓，馮承天，譯．上海：上海科技教育出版社，2010．

[3]盧明．穩重求變體現創新——2015年浙江數學高考理科數列試題評析[J]．中學教研(數學)，2015(8):21-25．