談高中數學中的恒成立問題

陳德華

(江蘇省溧陽市竹簀中學 213351)

高中數學十分考驗學生的綜合能力，而且學生在進行數學問題的解決過程中會提升自身的思維能力，所以教師在進行高中數學教授時要注意講究方法，從而提升學生在數學方面的綜合素質.數學問題有很多種類，而且針對不同的不同種類的數學問題有不同的解決方法，學生只有掌握了正確的解決方法，才能夠高效率地去解決數學問題，所以教師在平時課堂教授過程中應該多多去傳授給學生解題方法，而不應該讓學生去進行記憶解題.恒成立問題是數學問題的一個重要類別，而且解決該問題時有很多種思路和方法，例如分離參數法，函數最值法等，教師在進行教授時應該針對每一種解題方法都舉例說明，并讓學生做適當的練習，在做題的過程中去進行總結，從而提升學生自身的邏輯能力和解決數學問題的能力.

一、構造函數恒成立法

函數是數學問題中一個很重要的類別，通過函數學生可以解決很多問題，并且將數學問題進行簡化.而恒成立問題是指在已知條件下，無論其他變量有什么變化，其命題都永遠成立.高中數學恒成立問題中涉及到很多函數，所以在進行該問題的解決時，教師不妨讓學生利用函數去求解.一次函數，二次函數甚至是多元函數等都是數學中重要的知識點，也是考試的重點內容.函數在數學問題中以多種形式展現，因此其學習難度系數較大，所以教師在讓學生利用函數去解決恒成立問題時，要教授給學生正確的方法，讓數學問題不再成為難題.而利用函數去解決恒成立問題，其中一個重要的方法就是構造新函數，通過新函數的構造來簡化問題，從而使得恒成立求解更加容易，讓學生能夠更加高效率的解決恒成立問題.除此之外，函數可以在坐標系中作圖，所以在解決恒成立問題時，教師可以利用函數的圖像來進行求值.

我們在利用函數解決恒成立問題時要注意轉化，可以通過未知數的轉化，或者是將函數轉化成圖像來進行求解.例如，若不等式2x-1>m(x2-1)，對滿足-2≤m≤2所有的x都成立，求x的取值范圍.這是一道關于不等式的恒成立問題，而且不等號兩邊都有未知數，我們不妨先將原不等式轉化為m(x2-1)-(2x-1)<0，而為了借助函數去解決該問題，我們可以再構造函數f(m)=(x2-1)m-(2x-1)(-2≤m≤2)，不難發現，該函數是一次函數，那么題干中的不等式恒成立問題便轉化成一次函數的恒成立問題，即f(m)>0恒成立.在該問題中，需要求出變量的取值范圍，x為已知參數，這與以往的求未知數的取值范圍不同.那么在此問題中，我們可以針對一次項的系數進行分類，當x-1分別等于0，小于0，大于0時，讓函數大于0的關于x的解集，根據此種方法，我們將x看成變量，完成了函數變量的轉化，從而更加容易的解決恒成立問題.所以學生在平時解決恒成立問題中，不妨多多去利用函數的性質來簡化恒成立問題.

二、數形結合恒成立法

數學學習過程中會有很多圖形，而且這些圖形與數字有著密切的聯系，并且在解題過程中，若利用圖像，會簡化問題的解決步驟.而且圖像與很多類數學問題都有聯系，例如函數問題.而在進行函數圖像繪畫時，首先需要去構造函數，并且求出自變量的范圍，而后再做出坐標系去考慮函數與函數圖像之間的聯系，最后作出函數圖像.在數學問題的解決過程中，數形結合的思想應用很普遍，也很高效.利用該思想可以直接將一些復雜難懂的公式以及概念通過圖像直觀表示出來，從而使得學生能夠更進一步的理解數學問題.而在解決恒成立問題過程中，學生也可以利用數形結合的方法去進行該類問題的解決，且通過做出圖像能夠更加準確地求出恒成立問題成立時未知數的范圍.例如，解由2x-1≥x-2，x+8≥4x-1組成的方程組，傳統解法中直接去計算方程組的解，但為了簡便計算，我們可以將其看成為不等式的恒成立問題并且去利用圖像進行求解，首先我們計算出每一個方程的解集，作出數軸，并將兩個方程的解集分別標在數軸上，取其交集，而交集即是恒成立問題的解，也是該方程組的解.很明顯這種方法比直接解方程組速度快，正確率高.所以學生在解決恒成立問題時，不妨多多作圖像，從而在圖像中尋找解決問題的簡便方法.

三、分離參數恒成立法

恒成立問題往往是求不同變量的取值范圍，而且在該問題的整式中會含有多種參數，包括已知和未知參數.所以學生在進行解題時，要能夠將這些參數進行分離，分離的過程可以通過將含有參數的不等式問題進行變形來實現.分離參數解決恒成立問題，能夠將復雜的恒成立問題簡單化，且能夠提升解決問題的正確率和效率.在平時的數學問題解答過程中，我們通常將不同的位置數轉換成未知元x，在恒成立習題中，我們可以將參數視作主元，通過這種轉化可以簡化恒成立問題.分離參數進行恒成立問題的解決時，學生需要正確將未知數轉化，而實現此能力需要學生進行多次的鍛煉，那么教師在平時的課堂上，便可以多多去帶領學生練習該方面的習題.

例如在“x∈R時，不等式4a+sinx+a2≥0恒成立，求出實數a的取值范圍.”的恒成立問題解題過程中，通過觀察已知條件，我們發現該問題中有兩個變量a和x，其中x∈R，另一變量a范圍是求值數，所以在利用分離參數解決恒成立問題時，首先我們要對a和x進行分離，解出解析式的變形后為sin2x+4sinx5，最終我們解出a的范圍:小于-1或者是大于5.在該問題中，我們通過分離參數，將恒成立問題轉化成求得函數的最值問題，從而進行進一步參數的求值.

總之，高中數學恒成立問題主要是探求未知數的取值范圍和解集，而且往往恒成立問題中會摻雜許多其他種類的數學知識，包括數學的函數，數學不等式以及各種圖像等，這便讓恒成立問題解決起來變得困難.但也正是由于恒成立問題中包含許多其他類問題，我們所能用來解決問題的數學性質增多，這便為我們解決數學恒成立問題提供了多種方法.教師在進行恒成立問題的教授時應該讓學生多多去練習，并且在練習中學會總結，從而讓學生找出最適合自己的解決恒成立問題的解題方法.

參考文獻：

[1]孟凡棟.恒成立型不等式中參數范圍的幾種求法[J].數學教學通訊,2004(01).