如何設計循序漸進的解題教學

鄭菊萍

(江蘇省溧陽市光華高級中學 213300)

問題解關于x的不等式x2+(a-4)x+4-2a<0．

分析這是在一輪復習教學階段，筆者給出的一個含參不等式問題．對于參數不等式，學生掌握得一般都不是特別理想．教學首先引導學生如何解決該問題．

師：大家嘗試下，本題如何解決？

生：可以直接利用求根公式求根．

師：可以，但是這樣的解決一定十分復雜，也不是考查的本意．

生：本題可以因式分解為x-2x-2-a<0，這樣方便很多．

師：正確！這才是問題解決的正確途徑．請同學們具體說一說解決過程．

生：將不等式分解為x-2x-2-a<0，根據一元二次不等式的解法，兩根x1=2,x2=2-a的大小未定，討論根的大小，進而解不等式．當2>2-a即a>0時，2-a

師：好．不等式對于我們來說是一種工具，學不等式主要的作用是體現在各種具體需要的問題情境中，我們來看一個變式．

設計思路：以一道基本教材課后習題為根本設計本課，讓學生感受教材問題的重要性，為隨后不斷將問題提高難度奠定知識基礎．

生：對于本題，我認為其本質是思考不等式的問題．即對任意的變量，滿足不等式x2+(a-4)x+4-2a≥0恒成立，可以從函數的角度思考．

師：分析很到位，其本質還是如何解決不等式問題，請給出具體過程．

生：由題意等價為x2+(a-4)x+4-2a≥0在R上恒成立，則Δ=(a-4)2-4(4-2a)≤0，解得a=0．

設計意圖：對不等式問題進行簡單的包裝，以函數背景為載體，讓學生通過自我分析認知問題的本質依舊是解決不等式，從而理解解不等式知識對定義域求解的重要性．

上升設計2：二次函數f(x)=x2+(a-4)x+4-2a，若不等式f(x)<0的解集為A，又B=x1

師：本題如何思考？

生：我認為，這是一道以集合為載體的不等式問題．只要解決集合A，利用子集關系即可求解．

師：分析得正確.由前面的問題可知，函數f(x)=(x-2)(x-2+a)=0的兩個零點x1=2、x2=2-a，只需方程的根在區間1,3內即可，轉化為二次方程根的分布．但這一問題解決時候，涉及到集合中的子集，你認為特別需要考慮什么問題？

生：子集中空集的可能性．

師：正確，請給出具體過程．

生：但注意空集這特殊情況．考慮到二次函數圖象開口向上，利用二次函數的圖象特征，只需方程f(x)=0的根均在區間1,3內，則①A=?,則a=0；②A≠?,則2∈(1，3)，所以2-a∈1,3，則a∈-1,0∪0,1.綜上所得a∈-1,1．

設計意圖：本變式問題的背景依舊是同前面問題，降低了問題在課堂教學中的讀題時間，提高了教學時效．進一步分析要引導學生關注不等式解決過程中，子集中空集的可能性，提高問題難度的同時，也保障思維的全面性．

上升設計3：方程log4x2+alog4x+4-2a=0在16，+∞上有兩不等實根，求a的取值范圍．

師：思考變式3，對于本題如何處理？

生：我認為首先需要借助換元，讓問題顯示得更清晰一些．用換元的思想設log4x=t，則方程就等價為t2+at+4-2a=0在t∈2,+∞有不同兩解，轉化為二次方程根的分布的基本題型．

師：從方程的角度思考，如何分析在t∈2,+∞有不同兩解？

師：正確．將換元思想融入到問題之中，要學會從思想的視角進一步審視問題，從而理解問題的本質依舊回歸到函數與方程，在解決問題過程中，如何利用不等式，這是依賴圖形化的策略解決根與系數的關系．

設計意圖：問題層層遞進過程中，換元思想的介入是必不可少的途徑，不妨進一步思考條件改為log4x改為2x，將區間改變又如何呢？這些都是換元思想作用于具體問題的體現，是教學需要滲透關注的．

上升設計4：對于任意α∈-π,π，不等式cos2α+(4-a)sinα+2a-5<0恒成立，求a的取值范圍．

師：對于本題變式，如何思考？

生：我認為依舊是換元思想首先需要介入，然后尋求不等式問題的解決．

師：是的．但明顯這里換元后，對變量自身的范圍要思考，對恒成立處理的方式要思考．先將問題做等價的處理，請同學們說一說．

生：令cosα=x,α∈-π,π,則x∈-1,1，原題就等價于對于任意x∈-1,1 ，不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立，求a的取值范圍．

師：接下來恒成立問題的處理，請同學們思考恒成立問題處理的最佳角度？

師：很好！通過解不等式，我們理解了不等式知識在各種情境問題中的作用，知識的靈活運用需要不斷地熟練運用和總結．

本課是筆者解題教學中的一個小小片斷，從解不等式到函數定義域、到換元思想的介入，我們發現這些類似問題都將不等式知識如何靈活運用給出了典型的示范.解題教學恰恰要這樣的設計：來源于教材的問題為載體，進行加工、變式、改編、深化，讓知識的整體性在不同的問題中展示出來，獲得更為寬泛的運用，從而提升知識的理解是教師的重要工作．

參考文獻：

[1]吳志雄.培養高中生數學應用意識的策略與思考[J].中學數學研究,2013(7).

[2]劉見樂.用思想方法指導高中數學教學[J].中國數學教育,2014(5).

[3]劉見樂.用函數思想指導高中數學解題[J].中國數學教育,2011(5).