基于核心素養的數學模型建構及教學策略

陳桂珠

（平潭綜合實驗區城中小學，福建 平潭 350499）

學生在經歷數學建模過程中，不斷感悟數學模型思想，并通過建立數學模型來解決實際問題，在解決問題的過程中不斷建構數學模型。在小學數學教學中，教師應該如何引導學生自主探索，促使學生對數學模型經歷一個感知、建構、運用和深化的過程呢？

一、在生活情境中提煉數學問題，初步感知數學模型

數學模型往往可以在生活中找到，模型的建構依賴于一定的現實情境，要想使學生有效建構數學模型，首先要創設出符合學生實際的生活情境。學生可以通過觀察、分析，從生活原型中提煉出數學問題，并在初步感知模型的基礎上，逐步向建構數學模型過渡。

如在教學《速度時間路程》時，教師在屏幕展示小明和小強家與超市之間的方位及路程示意圖。學生提取信息：“小明家離超市360米，小明從家到超市走了6分鐘。小英家離超市560米，小英從家到學校用了8分鐘。那么，誰走得快呢？”讓學生把自己的想法記錄下來。接著，學生展示比較的過程：“小明是360÷6=60（米），小英是560÷8=70（米），因為60米小于70米，所以小英走得比較快。”教師追問：“360除以6是什么意思呢？”學生疑惑不解。教師繼續追問：“為什么360÷6就是表示小明1分鐘所走的路程呢？”經過互相補充交流，學生從除法的角度進行分析，把360米平均分成6份，每份是60米，也就是小明每分鐘所走的路程。教師繼續質疑：“為什么不用總路程比較他們的快慢呢？”學生經過討論發現：“因為他們所用的時間不一樣，路程也不一樣，所以不能比較。”最后，學生感悟到：“分別求出了小明和小英1分鐘所走的路程進行比較，也就可以把這兩個同學的時間轉化成相同的一分鐘。在這相同的1分鐘之內，他們所行走的路程卻不一樣，這樣就可以直接比較他們的快慢了。”此時教師順勢小結：“小明平均1分鐘走的路程就是小明的速度，小英平均1分鐘走的路程就是小英的速度，比較他們的快慢就是比較他們的速度。”

以上片段教學，教師引導學生通過觀察、分析，在充分交流的基礎上，初步感知每1分鐘所走的路程其實就是“速度”這一數學模型。最后的總結提升，讓學生充分體會到平均1分鐘的路程在這里就是比較的標準。在這樣觀察、分析的探究過程中，學生在大腦中形成“速度”的直觀表象，感覺到某種數學模型的存在，初步建立起“速度”模型。

二、在歸納概括中分析數學問題，自主建構數學模型

模型思想在中小學數學教學中的滲透和應用，就是要引導學生經歷自主建構數學模型的過程，讓學生感悟模型思想。也就是說，模型思想的建立要蘊含于數學建模之中。而建立和求解模型的過程包括：用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果并討論結果的意義。教學實踐證明，學生對模型的自主建構與求解是需要不斷的歸納與概括。［2］

如在教學《除數是兩位數的除法的計算方法》時，先由同桌互相寫兩道除數是一位數的除法和除數是兩位數的除法算式并進行計算，然后比較兩種計算方法的相同點與不同點。學生發現：無論除數是一位數還是兩位數，都是從被除數的高位除起。“被除數的最高位一定都會比除數大嗎？可能出現什么情況？誰能舉出這樣的例子？計算除數是兩位數的除法，在除的順序上，要遵循什么法則？”以上連續追問，在學生所舉的個性化的具體實例中闡述，除的順序得以具體化，除數是一位數的除法與除數是兩位數的除法的不同點躍然紙上。接著，學生通過比較實例算式（1）736÷5=147和算式（2）585÷45=13，討論如何確定商的位置。算式（1）中，因為先用除數5試除被除數的最高位7，也就是用5試除7個百，商1個百，余2個百，所以商要寫在百位上，和被除數百位上的7對齊。算式（2）中，用45去除58個十，商1個十，余13個十，所以商要寫在十位上，和被除數的十位對齊。教師再次質疑：“同樣是商1，為什么兩題中的商1表示的意義卻不一樣？”這個問題再次引發學生反思：“為什么除到哪一位，就在那一位上面寫商？”學生在整數除法范圍內充分理解了“商對正”的重要性和意義，那么，理解后續的小數除法中商的小數點和被除數的小數點要對齊的原因，就不僅會知其然，而且知其所以然。教師進一步質疑：“每次除得的余數為什么都要比除數小呢？”學生可以從這兩個算式比較中發現原因，也可以從已有的知識經驗和生活經驗中提煉余數都要比除數小的本質。在此基礎上，再引導學生從“除的順序”“商的位置”“余數小于除數”三個角度總結除數是兩位數的除法的計算方法。

在這個環節中，學生通過觀察、分析、抽象、概括、選擇、判斷等數學活動，進一步明確除數是兩位數的除法的計算方法與算理之間的關系，完成模式抽象，建立起除數是兩位數的除法的計算法則這一數學模型。這是建模最重要的一個環節。學生在經歷這個數學建模的過程中，不僅理解和掌握了除數是兩位數的除法計算法則，而且感悟和體會了模型思想，還積累了數學活動經驗，感悟到數學比較與抽象之美，體驗到探索數學規律之妙。這樣的教學，將學生由“簡單的會計算”的層次轉向“深入理解算法背后所蘊含的道理”的層次，使學生從小養成自主建構數學模型、應用數學模型的意識。

三、在聯系運用中解決數學問題，深化數學模型

建立數學模型的過程應包括“觀察實際情境—發現、提出問題—抽象成數學模型—得到數學結果—檢驗并調整、矯正模型”等多個環節。［2］在學生初步建立數學模型時，引導學生利用列舉、比較、分析、展示等活動加深對該模型本質的理解。在抽象成數學模型，得到數學結果之后，教師又要及時組織學生應用已確立的模型檢驗并解決具體的數學問題。通過溝通聯系、拓展延伸，進一步鞏固、內化學生的認知體系。

如在教學《除數是兩位數的除法的計算方法》的最后，教師質疑：“除數是三位數的除法的計算方法可能是什么樣的？試著計算17407÷103=（ ）并用計算器進行驗證。”在小學階段，教材只安排到《除數是兩位數的除法計算方法》，今后不再學習除數是三位數的除法。因為除數是兩位數的除法的計算方法同樣適用于除數是三位數的除法。學生在本節課掌握了除數是兩位數的除法計算方法這個運算模型之后，能否自主應用和推廣呢？這個課外問題的拓展，充分延伸了學生思維的長度，讓學生充分感受模型的運用與推廣。

例如在教學《速度時間路程》的最后，也可以選擇以下一些生活中有關速度的信息，讓學生自己編題，并進行解答。（1）蝴蝶的飛行速度是500米/分。（2）鴕鳥的跑步速度是72千米/小時。（3）藏羚羊奔跑速度可達每小時70～110公里。（4）一輛高鐵的速度是290千米/小時。通過欣賞生活中的速度，豐富學生對速度的理解，讓學生選擇其中的一個速度素材，增加一個信息，編寫求路程的數學問題，進一步深化“速度×時間=路程，時間=路程÷速度”的模型。這不僅讓學生深刻理解了速度的意義，也為學生今后靈活地運用“速度=路程÷時間”這一數學模型打下扎實的基礎。

引導學生自主建立數學模型，是培養學生應用能力、提升小學數學核心素養的重要手段之一。當然，建構數學模型只是一種手段而不是目的。在教學中，教師應該基于學生已有的知識經驗和生活經驗，設計合理有效的數學活動，讓學生經歷數學建模的全過程，幫助學生提高數學建模能力和深化運用數學模型能力。