數學教學中退回知識原點的策略探析

李金旺

（順昌縣洋墩中心小學，福建 順昌 353208）

數學家華羅庚認為，善于“退”，足夠地“退”，“退”到最原始而不失重要性的地方，是學好數學的一個決竅。在一退一進之間，問題往往能得以順利解決。數學知識的學習是一個螺旋式上升的過程。在教學中適時退回知識原點，是數學知識遷移的有效方式，是解決數學問題的常用策略，可以實現知識的完整建構，進一步凸顯數學思想方法，培養學生的數學情感，有利于后續學習的展開。

一、退回原點，是數學知識遷移的有效方式

數學教材按知識內在的邏輯順序，可以劃分為起始教材、后繼教材和引申教材，起始教材是知識生長的本源和起點，是學生理解掌握后繼教材和引申教材的出發點。例如在各種計量單位的教學中，長度單位的認識是起始內容，是后續其他計量單位學習的起點。在學習了長度單位后學習面積計量單位時，可以讓學生“退”回到長度單位，借助回顧長度單位的學習經驗來展開教學。2014年筆者有幸參加了華東六省一市小學數學第十六屆課堂教學觀摩研討會，觀摩了浙江陸麗華老師執教的《面積單位》一課。課堂伊始，陸老師先設置以下幾個問題讓學生思考：

（1）我們學過的長度單位有哪些？（米、分米、厘米和毫米）請你比劃或舉例說明1米、1分米、1厘米、1毫米的長度。(2)在測量物體的長度時，我們要先做什么？為什么呢？（要預先規定好單位長度，以規定好的單位長度作為標準去測量其他物體的長度）（3）為什么人們要規定幾個不同的長度單位呢？只規定一個單位長度不行嗎？（因為物體的長度有長有短，所以有必要規定大小不一的幾個單位長度）

在學生對長度單位有了清晰的認識后，陸老師馬上追問：“我們今天學習面積單位，如果要測量老師手中這個小紙片的面積，我們應該先做什么呢？”學生有了前面的經驗作為鋪墊，很快就說出也要預先規定面積單位的大小，然后以此為標準去測量其他圖形的面積。教師接著介紹了1平方厘米的面積單位。隨后陸老師又問：“如果我們要測量操場的面積，用1平方厘米的面積單位去測量合適嗎？為什么？”學生把長度單位學習的經驗順利地遷移到了面積單位上來，想到了測量不同大小圖形的面積也要先規定幾個大小不同的面積單位。以退為進，順利實現了從長度單位的學習到面積單位學習的遷移，輕松化解了教學難點。學生從這節課中所習得的經驗，對于今后學習體積單位乃至其他的計量單位也將產生積極的影響。

二、退回原點，是解決數學問題的常用策略

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標》）對數學課程提出了四大目標，其中問題解決即是其中之一。可見解決問題是數學教學中非常重要的內容，有利于增強學生的應用意識和實踐能力。退回原點，化復雜為簡單，是一種常用的解決問題策略。因為復雜問題總是由若干個簡單問題組成的，在解決復雜問題時，可以引導學生先想象問題的簡單形式，在解決了簡單問題之后，再從中發現規律，循序漸進，進而使復雜問題得到解決。例如：“20個同學舉行乒乓球比賽，每兩個同學之間都要比賽一場，一共要賽多少場？”可以引導學生這樣思考：“2個同學要賽一場，3個同學要賽3場，也就是（2+1）場，4個同學要賽6場，也就是（3+2+1）場，5個同學要賽10場（即4+3+2+1）場……，以此類推，20個同學就要賽（19+18+17+…+3+2+1）場，也就是190場。”在此基礎上，還可以引導學生思考：“如果有n個同學比賽，一共要賽多少場呢？”學生有了前面解決簡單問題的經驗，運用不完全歸納法，不難歸納出n個同學一共要賽（n-1+n-2+n-3+…+3+2+1）場的結論。

三、退回原點，實現知識的完整建構

《課標》指出：教學不僅要注重教學的結果，同時也要注重教學的過程。因此在教學中可以適時退回原點，適當拉長教學過程，延展教學時空，讓學生充分感悟知識的形成過程就顯得非常重要。尤其是在復習課中，退回原點可以讓學生看清知識的前后聯系，理清知識的發展脈絡，有利于構建完整的知識體系。例如在復習圖形的面積時，可以退回到長方形的面積，按照長方形→平行四邊形→三角形→梯形→圓形的順序，長方形的面積是看長方形里包含有幾個面積單位，它的面積就是幾。平行四邊形的面積是用割補法把平行四邊形變形為長方形，三角形的面積是用兩個完全相同的三角形拼成一個平行四邊形，三角形的面積是所拼成的平行四邊形面積的一半，梯形面積公式的推導和三角形面積類似，也可以用兩個完全一個的梯形拼成一個平行四邊形。而圓的面積則是通過剪拼把圓轉化為近似的長方形來推導。讓學生進一步理解長方形的面積是學習圖形面積的起點，其他圖形的面積都是在此基礎上進行演繹推理的。這樣退回原點的復習，可以讓學生站在知識整體的層面上來審視和認知，有利于學生對這些圖形的面積形成完整的認識。

四、退回原點，進一步凸顯數學思想方法

數學思想方法是數學的精髓，它隱藏于數學知識之中，是教學中最具價值的部分，對于學生數學素養的養成至關重要，對其終身發展也具有積極深遠的影響。在教學中退回知識原點，可以讓數學思想方法顯性化。例如在復習數學思想方法的應用時，可以退回到圓面積和圓柱體和圓錐體的體積公式的推導過程，讓學生回顧它們的計算公式是如何推導的。圓面積的推導是通過剪拼把圓轉化為近似的長方形，求圓柱的體積則是通過切拼，把圓柱體轉化為長方體，求圓錐體積可以準備一個等底等高的圓柱和圓錐容器，把圓錐體容器裝滿水后倒入圓柱形容器中，這樣就把圓錐體積轉化為圓柱來求解，運用了轉化的思想方法。復習時借助回顧運用數學思想方法同類型的具體例子，可以凸顯蘊含在知識表面下的思想方法，有利于學生理解和領會。

五、退回原點，培養學生的數學情感

數學文化是教學中不可或缺的重要組成部分。《課標》要求培養學生正確的數學觀和數學價值觀，特別要了解數學文化的價值。這對于培養學生的數學情感和態度、感悟數學的魅力都有積極作用。使學生不僅能更加自覺地學習數學，增強學習數學的興趣，而且對學生今后的發展也是終身受用的。數學文化的內容包羅萬象，有數學家的故事，有數學發展史上發生的趣事，以及數學知識的發生發展過程等。例如在復習數的認識時，可以引導學生退回到遠古時期古人創造數的歷史進程里，通過向學生介紹結繩記數的故事，介紹負數的發生發展過程等，讓學生進一步體會到數學的發展是伴隨著人類的發展而發展的。