偉大藝術中隱藏的數學

〔英國〕馬庫斯·索托伊

藝術和數學，對于許多人而言，這兩者就好似粉筆和奶酪的關系。一個是情感抒發、激情和美學的領域，另一個則是嚴密的邏輯、精確和真理的世界。然而，揭開這些刻板印象的表面，我們發現這兩個世界的共同點遠遠超出我們的預料。

任何有創造力的藝術家都會告訴你，情感共鳴是在作品創作過程中產生的，而非在創作初期添加到作品中的一種成分。美國作曲家菲利普·格拉斯坦言，他從不在作品中刻意編排任何情感內容。他相信這是他運用的所有步驟自然產生的結果，“我發現音樂中幾乎總是包含一些情感特征，但這似乎與我的意圖無關。”作品的結構和內在邏輯是其形成的驅動力。

也許更令人驚訝的是情感和激情在我們人類創造的數學中所起的作用。數學絕非一紙清單，羅列著人類發現的與數字相關的所有事實。數學是講故事的人，故事中的角色就是數字和幾何圖形，而故事本身便是我們創造的關于這些角色的證據，然而并不是每個故事都值得講述。

作為一名數學家，我曾和藝術家們一起工作過許多年，令我吃驚的是，我們的工作是如此相似。我經常發現，我和藝術家們會被相同的結構所吸引，只是欣賞角度不同而已。我們可能用不同的語言去理解這些結構，但似乎都會為同樣的模型和結構興奮不已。我們往往都會對一些已經和自然界融為一體的結構感興趣。作為人類，我們已經開發出多種語言去協助我們理解環境。

奇妙的節奏

音樂大概是一門傳統上與數學世界最有共鳴的藝術學科。德國哲學家戈特弗里德·威廉·萊布尼茲曾聲稱：“音樂是人類大腦從數數中感受到的一種快樂，盡管大腦并沒有意識到這是在數數。”但是，這種聯系比他所說的要深刻得多。正如古希臘思想家、數學家畢達哥拉斯所發現，我們聽到的和諧音是有數學基礎的。同時，數學結構也可以影響作曲的架構。

就拿20世紀法國作曲家奧利維埃·梅西安的《時間終結四重奏》來說吧。在這首樂曲中，梅西安通過運用數學書中最重要的序列之一——質數，創造了一種特別的緊張感。在開篇樂章中，梅西安就用除不盡的數字17和29創造了一種時間永不止息之感。

如果你仔細留意鋼琴部分，你會發現一個17音符的節奏序列反復地重復，但緊接著這個節奏演奏的和弦序列由29個和弦組成。所以隨著17音符韻律第二次響起，弦音正好達到它的序列2/3的位置。選擇質數17和29帶來的效果是：整個樂曲要達到17×29個音符處時，節奏與和弦序列才會自我重復，到那時樂章就已經結束了。

有趣的是，由于具有使事物保持不同步的性質，質數不僅對音樂家和數學家具有吸引力，對自然界中的某些物種亦如此。在北美森林中有一種蟬，它們擁有非常奇怪的生命周期：這種蟬在地下蟄伏17年，到第17個年頭時才鉆出地面，在森林里活躍6周。在這6周將盡時，它們都會死去，然后要再等17年，它們的下一代才會出現。人們認為，這種質數生命周期與它們錯開某種食肉動物的能力相關，這種食肉動物也是周期性地出現在森林中。

在線條之間

雖然音樂的抽象性可以使其成為數學的天然伙伴，但其他藝術形式也足以證明，在藝術家的作品之下泛著數學思維的“氣泡”。視覺藝術和數學之間就有著明顯聯系。每當你在畫布上畫出一條線或在一件雕塑作品上刻出一個圖形時，便出現了幾何結構。建筑學和數學有著非常必然的關聯，正是這一點保證了建筑物能夠從畫板上轉移到城市景觀中。至于那些聳立在天際線上的各種建筑造型，它們的設計既得到了數學美學的啟發，又借助數學的力量確保其自身不會倒塌。

對我來說，一個最激動人心的發現是，甚至文字藝術中都隱藏著數學。詩人、劇作家和小說家們都曾使用過一些令人激動的結構、模型和框架，這里面無疑都有數學的影子。

在我的廣播系列劇《秘密數學家》中，我探索了一系列的作曲家、作家、建筑家和藝術家們的藝術實踐。透過他們的作品，我看到了吸引他們興趣的數學思想的范圍。這種興趣有時是自覺的，但往往是不怎么自覺的。

菲利普·格拉斯沉迷于數字的力量，于是創作出了能夠吸引聽眾進入他的冥想世界的韻律，一種和大自然的節奏相吻合的韻律。阿根廷作家豪爾赫·路易斯·博爾赫斯通過寫作《巴別圖書館》，試圖去尋找一種塑造我們的有限宇宙的解釋。扎哈·哈迪德的參數化運動有助于把本質上既數學化又自然化的形狀植根于我們的城市環境中。

我曾做過有關視覺藝術的節目，在節目中我研究了文藝復興時期的藝術家是如何幫助同時期的數學家重新發現數學模型的。這些模型被古希臘數學家阿基米德最先發現——它們的描述曾經隨時間而遺失掉，但又因為繪畫的發展被重新找回。

我在西班牙畫家薩爾瓦多·達利最著名的作品之一《受難》中找到一個多維度立體形狀，并發現了美國畫家杰克遜·波洛克是如何在不知不覺中利用一種被稱為“分形”的幾何結構的——這種形狀直到20世紀才被數學家們發現。這位美國藝術家也是一個隱秘的數學家，他憑借平衡感的缺乏和對酒精的嗜好，腳步踉蹌地四處用數學家們稱為“混沌擺”的東西去創作滴畫（drip？paintings）。

英國雕塑家安尼施·卡普爾最初想要成為一名工程師，但發現數學太難之后就放棄了。然而其作品顯示出他對數學結構的一種超凡敏感性——那些普遍存在、不受限于文化參照的數學圖形。他2009年的球型塔作品《大樹與眼》形成的反射本質上就是分形，而他的雙曲面鏡扭曲了我們的環境，創造出一種觀察世界的奇特新視角。卡普爾的曲面鏡提供了一個透鏡，讓我們看到了宇宙真實的樣子：彎曲，有弧度，光在穿越太空的過程中被扭曲，我們的直覺被翻轉。