初探圓錐曲線中的定點和定值問題

圓錐曲線中的定點與定值問題，這類問題是高考的熱點問題，近年來高考較多以解答題形式出現(xiàn)，這部分知識綜合性較強，對學(xué)生邏輯思維能力、計算能力等要求很高，也綜合考查了各種解題技能和思想方法.

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；定點；定值；參數(shù)

處理定點定值問題，常用兩種解答思路：一是先研究特例下的定點或定值，下一步論證一般情況也成立；二是由已知條件列出方程或方程組，通過消參，確定定點或定值。

一、 定點的探究與證明

例1（2017·全國卷Ⅰ） 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），四點P1（1，1），P2（0，1），P3-1，32，P41，32中恰有三點在橢圓C上.

（1） 求C的方程；（2）設(shè)直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A，B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：l過定點.解： （1） 略解C的方程為x24+y2=1。

（2） 證明：設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2。

如果l與x軸垂直，設(shè)l：x=t，由題設(shè)知t≠0，且|t|<2，可得A，B的坐標(biāo)分別為t，4-t22，t，-4-t22，

則k1+k2=4-t2-2t-4-t2+22=-1，得t=2，不符合題設(shè).從而可設(shè)l：y=kx+m（m≠1）.將y=kx+m代入x24+y2=1得（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0。由題設(shè)可知Δ=16（4k2-m2+1）>0。

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=-8km4k2+1，x1x2=4m2-44k2+1。而k1+k2=y1-1x1+y2-1x2=kx1+m-1x1+kx2+m-1x2=2kx1x2+（m-1）（x1+x2）x1x2。由題設(shè)k1+k2=-1，故（2k+1）x1x2+（m-1）（x1+x2）=0，即（2k+1）·4m2-44k2+1+（m-1）·-8km4k2+1=0，解得k=-m+12。當(dāng)且僅當(dāng)m>-1時，Δ>0，于是l：y=-m+12x+m，即y+1=-m+12（x-2），所以l過定點（2，-1）。

定點問題小結(jié)：對圓錐曲線中定點的確定，通常設(shè)出適當(dāng)?shù)膮?shù)，求出相應(yīng)曲線系（直線系）方程，利用定點對參變量方程恒成立的特點，列出方程（組），從而確定出定點，再進行一般性證明。

二、 定值的探究與證明

例2（2017·全國卷Ⅲ）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y=x2+mx-2與x軸交于A，B兩點，點C的坐標(biāo)為（0，1）。當(dāng)m變化時，解答下列問題：（1）能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況？說明理由。（2）證明過A，B，C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值。解：（1）不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況，理由如下：設(shè)A（x1，0），B（x2，0），則x1，x2滿足x2+mx-2=0，所以x1x2=-2。又C的坐標(biāo)為（0，1），故AC的斜率與BC的斜率之積為-1x1·-1x2=-12，所以不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況。（2）證明：BC的中點坐標(biāo)為x22，12，可得BC的中垂線方程為y-12=x2x-x22。

由（1）可得x1+x2=-m，所以AB的中垂線方程為x=-m2。

聯(lián)立x=-m2，y-12=x2x-x22又x22+mx2-2=0，可得x=-m2，y=-12。

所以過A，B，C三點的圓的圓心坐標(biāo)為-m2，-12，半徑r=m2+92。

故圓在y軸上截得的弦長為2r2-m22=3，即過A，B，C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值。

定值問題小結(jié)：求證或判斷某幾何量是否為定值時，可引進適當(dāng)?shù)膮⒆兞浚苯忧蟪鱿鄳?yīng)幾何量的值，說明證明其為定值。

參考文獻：

[1] 教研通訊，2014.

[2] 教研通訊，2016.

作者簡介：唐群海，福建省泉州市，泉州實驗中學(xué)。