魔方的數學模型研究及其應用

哈金才，李若雪，哈瑞

(1.北方民族大學，寧夏銀川 750021；2.北京郵電大學，北京 100876)

魔方做為一類益智玩具，從雜亂的狀態還原到初使狀態用時很快，只能說明其記憶力好，反應速度快等。魔方也是數學家的研究對象，他們發現魔方包含了很多相關數學知識，早在19世紀末在赫爾辛基舉辦的第18 屆全球數學家研討會上，魔方就得到全球數學家的關注。美國數學家大衛·辛格馬斯特自見到魔方起就喜歡上了它，隨后撰寫了Notes on Rubiks Magic Cube、Handbook of Cubik Math 等專著，在專著中給出了魔方符號標記法，并從數學群論和組合學的方面對魔法進行研究。之后，物理學家發現魔方的轉動規律同量子物理學中的一些重要概念有著驚人相似之處。 這一點首先由南加利福尼亞大學教授所羅門·高洛姆發現，并于1981年在《美國物理學報》上發表。 同樣，計算機學家也研究關于魔方的算法，以及還原魔方需要旋轉的最少最佳步數等。

由于數學中許多群論知識，例如作用、置換、傳遞性、共軛、換位子等概念都在魔方中有所體現，研究魔方的數學變換規律，研究魔方的數學還原模型和表示方法，可以極度考驗一個人的數學邏輯推理能力和對復雜的過程進行數學歸納研究的能力，所以該文將對魔方運用數學相關知識去深入研究魔方的數學變換規律和模型，并應用于其他相關學科中。

1 魔方的起源和構成

魔方的出生地是匈牙利首都布達佩斯，那里藝術學院的教師埃諾·魯比克，他為了培養學生的立體想象能力，創造了玩具魔方，并在1977年3月28日獲得了匈牙利的00170062 號專利證書，隨后，1978年8月美國邏輯游戲公司的創始人貝拉·斯扎萊第一次生產魔方并銷售。 1978年11月，維也納商人梯鮑爾·萊斯濟開始嘗試研究將魔方恢復初始狀態，他找到了魯比克向他學習怎樣復原魔方。隨后，萊斯濟又將魔方這個玩具介紹給英國著名的玩具專家湯姆·克萊默，在克萊默的大力推進下，1983年9月ABC 電視臺推出了一檔名為“神奇的魔方”的節目，熱播一年吸引了無數的觀眾。隨后魯比克又在2009年紐倫堡國際玩具展上推出的球形魔方“魯比克360”。

19世紀80年代，魔方逐步走向歐洲大陸，之后在全球傳播，許多魔方愛好者試圖用最快的方法還原魔方，這一想法是他們的的終極目標；2003年，世界魔方協會（WCA）誕生了，從此競速魔方正式成為一項體育運動，中國的魔方界也得到了再次發展。 2007年10月在廣州市舉辦的魔方公開賽，標志著我國與世界魔方正式接軌，2015年11月中國魔方協會正式在民政局注冊成立。

2 魔方的數學知識

2.1 魔方的基本定義

我們日常生活中見到的魔方大多數是三階的，其實魔方的種類很多，常見的魔方有：普通魔方；二階魔方；三階魔方；四階魔方；五階魔方；六階魔方；變種魔方等。

魔方的幾個基本定義如下。

（1） 六 個 面（face，F）： 頂（up，U）、 底(down，D)、 前（front，F）、后（back，B）、左（left，L）、右（right，R）。

（2）12 條邊（Edge，E）。

（3）8 個角（Cornor，C）。

（4）面小塊（Face Cubie），簡稱面塊，就是各個小面中間的小塊，一共有6 個。

（5）邊小塊(Edge Cubie），簡稱邊塊，就是魔方各個邊中央的小塊，一共有12 個。

（6）角小塊（Cornor Cubie），簡稱角塊，就是魔方各個角上的塊，一共有8 個。

（7）轉動：是指將魔方的某個面上的所有塊順時針旋轉π/2，逆轉動是逆時針旋轉π/2。

（8）階：魔方的邊有多少小塊就是幾階魔方。

（9）復原：將魔方從混輪狀態還原到初始狀態的過程就是復原。

魔方的中間塊分別記為：頂（U）、底(D)、前(F)、后(B)、左（L）、右（R）；各個邊小塊記為：uf/fu、ur/ru、ub/bu、ul/lu、fl/lf、fr/rf、bl/lb、br/rb、df/fd、dl/ld、dr/rd、db/bd； 各個角 小 塊 記 為：urf/rfu/fur、ufl/flu/luf、ulb/lbu/bul、ubr/bru/rub、dfr/frd/rdf、dlf/lfd/fdl、dbl/bld/ldb、drb/rbd/bdr。

（1）魔方群。

設魔方轉動的合成運算是從左向右的，對ΑX1X2∈｛U，D，L，R，F，B｝，X1X2表示先轉動X1，然后轉動X2.例如FB 表示先轉動F，再轉動B.魔方的狀態用m 表示，X(m)表示魔方在m 的狀態下經過X 的轉動后形成的新狀態，對魔方的轉動，滿足（M1M2）（c）=（M2（c））.

魔方的全部旋轉形成的集合，運算是以合成為原理，構成的群叫做魔方群。

（2）魔方是S48的子群。

魔方表面一共有54 個小面，中間塊的位置變化可以不考慮，因為中間塊無法單獨進行轉動，且只有中間塊的變化不能引起魔方現在狀態的變化因此魔方群可以看成限定在另外48 個小面上的變換。通過以上可以對魔方群有一個清晰的了解，魔方是S48的魔方群。 將魔方進行編號，例如：

2.2 魔方的還原

2.2.1 魔方實現的五種變化

（1）改變兩個角塊的方向，保持他們的位置和其他全部小塊的位置不動。

（2）改變兩個邊塊的方向，保持他們的位置和其他全部小塊的位置不動。

（3）交換任意兩對角塊的位置，保持他們的方向和其他全部小塊的位置不動。

（4）交換任意兩對邊塊的位置，保持他們的和其他全部小塊的位置不動。

（5）交換任意一對角塊和任意一對邊塊的位置，保持他們的方向和所有小塊位置不動。

2.2.2 魔方的狀態和原理

魔方的8 個角塊分別進行如下標記。

在U 上的ufl 標記為1；在U 上的ufr 標記為2；在U 上的ubr 標記為3；在U 上的ubl 標記為4；在D 上的dbl 標記為5；在D 上的dfl 標記為6；在D 上的dfr標記為7；在D 上的dbr 標記為8。

魔方的12 個邊塊如下標記。

在U 上的ub 標記為9；在U 上的ur 標記為10；在U 上的uf 標記為11；在U 上的ul 標記為12；在B 上的bl 標記為13；在B 上的br 標記為14；在F 上的fr 標記為15；在F 上的fl 標記為16；在D 上的db 標記為17；在D 上的dr 標記為18；在D 上的df 標記為19；在D上的dl 標記為20。

魔方一共有26 個小塊，面塊和角塊一共有20 個，在這一節只考慮改變這20 個小塊位置的變換，我們定義小塊基本旋轉的置換表示如下。

以上的六個置換群記為，Tp，Tp∈S8，和S12是S20的子群。

魔方還原的原理有有三種：（1）倒轉原理；（2）部分倒轉原理；（3）共軛原理。

2.2.3 魔方的數學還原模型

規定：順時針的轉動用FBLRUD 表示，逆時針的轉動用F-1B-1L-1R-1U-1D-1表示。

(1)劍橋數學家康韋的還原方法：①還原底層四個邊塊；②還原底層四個角塊；③還原中層四個邊塊；④頂層四個邊塊歸位；⑤成對交換頂層角塊；⑥把翻轉的小塊正過來。

第一步只需考慮已經完成的邊塊位置，不需要考慮其他小塊是否打亂。

第二步執行以下操作還原：B1：F-1U-1F；B2：RUR-1；B3：F-1UFRU2R-1。

第三步執行以下操作還原：C1：URU-1R-1U-1F-1UF；C2：U-1F-1UFURU-1R-1。

第四步執行以下操作還原：D：UFRUR-1U-1F-1。

第五步執行以下操作還原：E：FDF2D2F2D-1F-1。

第六步執行以下操作還原：F1：（F-1RFR-1）2=Ma；F2：（RF-1R-1F-1）2=Mc； F3：（MDR）4=Me。

(2)群論專家喬伊納的“先角后邊法”：先讓8 個角塊就位，再讓所有12 個邊塊就位。

（3）目前常用的還原方法用數學模型描述如下。

第一步： 還原底層十字，在這個基礎上進行FU2B2FBR-1F-1B-1U-1F-1B-1L-1FBD-1。

第二步： 還原魔方底層四個角塊進行LU-1L-1UR-1UR-1U-1R-1B-1UBL-1ULR-1U2R，此時魔方第一層已經還原，得到狀態。

第三步： 還原第二 層LUL-1UFU-1F-1；ULU-1L-1U-1BUB-1；URU-1R-1U-1F-1UF；U-1R-1URUB-1U-1B。

第四步：頂層十字，隨后頂層角塊位置歸位； 多次進行R-1ULU-1RUL-1U2。

第五步：頂層角塊方向歸位；進行RU2R-1U-1RU-1R-1。

第六步： 頂層邊塊歸位； 進行RU-1RURURU-1R-1U-1R2，得到最終狀態，矩陣描述為：

2.3 魔方中的數學結論

魔方是一個體現數學群論中許多定義和相關性質的工具，例如作用、置換、傳遞性、本原性、軌道等概念都在魔方中得到了表示，共軛和換位子在旋轉魔方的過程中主要功能是化繁為簡。

用EA表示魔方的所有邊塊上的小面，VA表示魔方所有角塊上的小面，EB表示魔方所有的邊塊，VB表示魔方所有的角塊。 很明顯EA和VA的并是A，交是空集；EB和VB的交是B，并是空集。

定理1 魔方群S 中的不可交循環是可交換的。

定理2 魔方群S 中的全部交換都是一些不相交循環的乘積。

定理3 魔方群中的不相交置換是可以交換的。

定理4 魔方群的不相交面轉動是可以交換的。

定理5 魔方群S 在EA、EB、VA、VB上的作用是傳遞的。

定理6 魔方群中兩個元素有一樣的循環結構，則他們是共軛的（以上證明略去）。

換位子：轉動魔方的過程中，每轉動一次，就有5×4=20 個小面重新分布，換位子在轉動過程中僅僅改變了少部分的小面或塊，起到了簡化魔方還原過程的功能。

假設[h，i]=hih-1i-1表示將魔方先進行hi 轉動，再進h-1i-1行轉動.在這個過程中，可以驗證：[h，i]2在不改變角塊的情況下改變了3 個邊塊；[h，i]3在不改變邊塊的情況下改變了2 對角塊。

3 魔方的應用

魔方在許許多多科學領域中都有應用，他不僅是益智玩具，還蘊含著許多與科學有關聯的知識，具有獨特的優點，魔方具有一定的科研優勢和應用價值。

3.1 魔方在教學中的創新應用

20世紀魔方被稱為“至今發明的最具有教育意義的玩具”，魔方在教育領域開始得到重視。 在國外中小學大力開展了魔方數學課程，可以提高學生的空間想象能力、邏輯推理能力、記憶力等。 2008年在國內教師鄭燕第一次提出開設“魔方與數學”選修課進行嘗試，并對相關課題實施進行了研究。 魔方作為教學工具有以下優點。

3.1.1 知識性

魔方包含著很多領域的科學知識，教師在教學中可以引導學生主動去發現魔方和數學的關系，以及相關數學理論，教育學生主動觀察，并且學會數學的角度去發現規律，用理性思維對問題進行思考，使學生在創新教學中更好的學習和掌握一系列數學概念。

3.1.2 趣味性

魔方作為一個益智玩具，可以很好調動學生對于學習的喜愛，培養學生的學習興趣。教學過程中引入魔方不僅彌補了平時講課的紙上談兵，也能使學生產生濃厚的興趣。

3.1.3 實踐操作性

將魔方引入教學中，使學生動手實踐轉動的過程中尋找其中隱含的數學含義和發散邏輯思維，實踐轉動魔方中不僅激發思考問題，而且通過實踐轉動，可以去探索、去思考、去發現及解決問題。 魔方引入教學是學生自主探索實踐學習的一種好學習法。

3.2 魔方在計算機方面的應用

魔方一共有210×12!×37×8!種不同的狀態，科學家們開玩笑將魔方恢復初始狀態需要旋轉的最小步數稱為“上帝之數”（God’s number）。 魔方因為“上帝之數”這個玩笑，從此進入了計算機學家的眼中。 大家注意到，魔方的任一狀態恢復初始狀態都是容易做到的，但是難在旋轉的過程不一定最優的，步數也不一定是最少的，所以人們尋找“上帝之數”，這是一個有難度的世界數學問題。這個數學難題對于數學家并不是無解的，在1995年，就有了關于上帝之數的算法，找出恢復一定魔方組合的最少旋轉次數大概用時15min，但是如今科學家們被攔在了4 325 億億這個數字面前。 如果一億臺電腦同時工作，也需要一千萬年以上的時間才能計算出來，對于算法這個方法數學家認為是不可行的，所以數學家們嘗試運用數學的知識去解決這個問題，雖然魔方的狀態有很多種，數學家運用群論知識來解決它，直到最近幾年，才利用計算機證明了三階魔方的“上帝之數”是20。 隨著科技的發展，人類對于魔方的“上帝之數”上下界的取值將會越來越逼近真正的上帝之數。魔方在計算機領域中，科學家在不斷進行著研究完善上帝之數的算法，目前已經計算出二階和三階魔方的算法，四階及以上的上帝之數目前還無法計算。

3.3 魔方在其他領域的應用

魔方在物理學領域的應用，19世紀80年代Golomb 發現魔方的旋轉規律同量子物理中的夸克緊閉原理幾乎一樣； 魔方在心理學和特殊教育學中也有應用，例如，改良過的魔方可以應用在盲人教學中，使盲人分辨不同的方塊； 魔方還可以應用在自閉兒童的心理輔導以及有網癮的青少年行為糾正上等。

魔方在力學、管理學、設計學、晶體學、生物學等方面都有應用。現如今已經將魔方與多個領域聯系起來，不同專業的人一定能夠從魔方中得到不同的見解，通過魔方來說明本專業的某一個知識點。

4 結語

該文綜述了魔方的起源、 發展歷史及其國內外發展現狀，對魔方的系列概念進行了基本定義，還運用線性代數和群論方面的數學知識，給出了魔方涉及的群論相關知識點，如作用、置換、傳遞性、共軛、換位子等，通過數學知識研究了魔方的數學還原模型和相關應用。

綜上所述，數學工作者運用群論、線性代數等知識研究魔方的還原過程，物理學者對魔方的轉動規律同夸克緊閉原理進行比較，將進一步發現新規律，計算機學者主要研究魔方的各種算法及改進等，愿望在其他領域有更進一步的突破。